五年级下册奥数教程
目录
第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)
练习卷 (5)
第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)
练习卷 (10)
第三讲分数除法应用题 (11)
练习卷 (15)
第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)
练习卷 (20)
第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)
练习卷 (24)
第六讲 百分数（浓度问题） (25)
练习卷 (28)
综合演习（1）.................................................................. 29 综合演习（2） (31)
第一讲 分数乘法
例题讲学
例1 （1）
1514×19 （2） 27×26
11 【思路点拨】 观察这两道题中数的特点，第（1）题中的1514比1少151，可以把15
14
看作
1-151，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与26
11中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和26
11
相乘，再运用乘法分配律使计算简便。
或拆成与1有关的两数之差或和；或者把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。
同步精练
1. 3613×35
2. 23
22
×10
3. 8×1514
4. 25
3×126 5. 17×1211 6. 2625
24
? 例2 1
200019991998
20001999-??+
【思路点拨】 仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧！
特点一般都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便。
同步精练
1. 186
548362361
548362-??+
2. 1
201120102009
20112010-??+
例3
6
51
541431321211?+?+?+?+? 【思路点拨】 在这道题中，每个分数的分子都是1，分母是两个连续的自然数的乘积。看下面规律：
211?=1-21， 321?=21-31， 431
?=31-4
1， …… 111)1(1+-=+?n n n n
把每个分数都拆写成两个分数的差，使部分分数前后互相抵消，使计算简便。
前后抵消，从而使计算简便。
同步精练 1. +?+?+?4
31321211……+
100991
? 2.
21+61+121+201+30
1
3. 20
1
20182181621614214122+
?+?+?+?
练 习 卷
1. 27×2617
2. 3845
44
? 3. 611511? 4. 10099
14
? 5. 1996
199419951
19961995?+-?
6. 7
69999997599999749999739997299719+++++
7． 1999
1
199919981199819971199719961+
?+?+?
第二讲 长方体和正方体（巧算表面积）
例题讲学
例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？
【思路点拨】 先根据题意画图：
从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6个正方形的面，当把它们拼起来时就少了2个正方形的面。这时，求长方体的表面积只相当于求（12-2=）10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时，求长方体的表面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。
当物体拼合时表面积之和少了，可以根据用原来的面去掉减少2.还可以求出拼成后大物体的长、宽、高，再根据物体形状直接求表面积。
同步精练
1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？
2．把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是多少平方厘米？
例2把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？
【思路点拨】把长方体截成两个长方体后，两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积。这个长方体几个面中，上、下面的面积最大，所以要看哪个面的面积最大，于是本题就按平行于上、下面的方式去截，才使表面积之和最大。
同步精练
1.把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木料截成两个完全一样
的长方体，怎样截才能使截成之后，得到两个长方体的表面积之和最大？
最大是多少？
2. 把两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
3．把两个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少？
例3 求出下面立体图形的表面积。（单位：厘米）
【思路点拨】 从图上看出，这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的，求它的表面积时，可以把正方体的右侧面平移到长方体上，这个立前、后四个面的面积。
同步精练
1. 在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（如图），求这个立体图形的表面积。
2.求下列组合图形的表面积。（三个正方体的棱长从上往下 依次是1厘米、2厘米、4厘米）
3. 18个棱长为2厘米的小正方体堆成如下图的形状，求它的表面积。
例4如图，从右面这个图形的顶点处挖去一个小正方体，那么所得物体的表面积现在是多少平方厘米？（每个小正方体的棱长为1厘米）
【思路点拨】
从顶点处挖掉一个小正方体后，原来的小正方体露在外
面的3个面就少了，但这时又有3个同样大小的面露了出来，
所以表面积是没有大小变化的。
同步精练
1.如上图，如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体，那么此时
正方体的表面积是多少了呢？
2.如下图，在一个棱长为6厘米的大正方体的6个面上分别挖去一个小
正方体，现在剩下图形的表面积是多少？
2.从一个长方体的上面往下挖通，求现在物体的表面积是多少。
（原长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米、12厘米，挖去的图形为长、宽都是4厘米的小长方体。）
练习卷
1.长方体的底面积是12平方厘米，宽2厘米，高和宽相等，表面积是（）平方厘米，底面周长是（）厘米。
2.一个正方体的底面积是25平方分米，它的表面积是（）平方分米。
3.一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新的长方体表面积比原来增加了（）平方米。
4.把一根长2.4米，宽0.8米，高0.4米的木料锯成大小相等的2段，它的表面积最少增加多少平方米？
5.将两本长25厘米、宽20厘米、厚5厘米的书包成一包，怎样才能节约包装纸？请画图表示，并求出需要多少包装纸？
6.求下面立体图形的表面积。（单位：厘米）
7.把一个棱长为3厘米的正方体外面全部涂上红色，再把它切成棱长为1厘米的小正方体，共切成多少块？在这些小正方体中： ①三面涂红的有多少块？ ②两面涂红的有多少块？
③一涂红的有多少块？ ④任何一面都没有涂红的有多少块？
第三讲 分数除法应用题
例题讲学
例1 加工一批零件，第一天加工210个，第二天加工240个，这两天共加工了这批零件的5
3
。这批零件共有多少个？
【思路点拨】
根据题意，把这批零件的总数看作单位“1”，两天共加工210+240=450正好占这批零件总数的5
3
。求单位“1”的量用除法计算。
求单位“1”时，用除法，可以用“具体的量÷它所对应的分率”。
同步精练
1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的
14 ？个
210个
240个
3
2
，超市现在一共有水果多少千克？
2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的4
3
少300千米，这条铁路全长多少千米？
3.修路队修一条路，第一天修了全长的5
1，第二天修了1000米。这时已修的米数占全长的
15
8
。这条路全长多少千米？
例 2 李添三天看完一本书，第一天看了这本书的10
3
，第二天看了24页，还剩下全书的5
2未看。这本书共有多少页？
【思路点拨】 根据题意画线段图，帮助理解题意，分析数量关系。
破口，要找出24页所对应的分率，即总页数-第一天看的-剩下的=1-103-52=10
3，用24除以它所对应的分率
10
3
，即可求出全书页数。 之所在。
同步精练
1.电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的3
1，再修24台就正好修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台？
2.一筐萝卜卖掉5
1
以后，又卖出6千克，这时卖出的正好是剩下的2
1。这筐萝卜原有多少千克？
3.筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的4
1，第二天修了全长的5
2，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米？
例 3 一捆电线，第一次用去全长的41，第二次用去余下的5
1，这时还剩下108米。这捆电线共长多少米？
【思路点拨】 这道题中已知的具体数量是“还剩下108米，”所以要找出它所对应的分率——还剩下几分之几。
第一次用去全长的41，第二次用去余下的51，而余下的51即是（1-4
1）的
51=203
，108米对应的分率是（1-41-20
3）=53，所以用108除以53求出这捆电线的总长度。
“具体量÷对应分率=单位1”
同步精练
1.工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的5
2，第二个星期用去总
数的9
4，这时用去的比剩下的多31吨，这批原料共有多少吨？
2.牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的7
4，第二天又做了余下的5
3，这时还剩42个零件没做。牛师傅计划做多少个零件？
3.一批木料，先用去总数的72，又用去剩下的5
2，这时用去的比剩下的多10立方米，这批木料共有多少立方米？
例4 有一堆苹果，吃了4
1后又买来324个，这时这堆苹果的个数比原来多了51。原来这堆苹果有多少个？
【思路点拨】① 这道题中仅有一个具体数量“又买来324个”所以解决问题的关键即是找准324的对应分率，也就是找出“又买来的324个苹果占几分之几”根据已知条件吃了4
1
，还剩下4
3，而买来324个之后，比原来多了
51
，也就是占原来的56，所以买来的324个苹果就占（56-43=）20
9，所以用324除以对应的分率就可以求出单位“1”，即原来的苹果总数了。
【思路点拨】② 吃了4
1后总数少了，而当买来324个苹果之后，却比原来的总数还多了5
1，这说明这324个苹果不但把吃了的补上了，而且还多出来了5
1，所以324个苹果就占（4
1
+5
1=）
209，故而用324÷20
9
即可以求出单位
“1”了。
同步精练
2后，有运进170千克，这时大米的总重量比
1.食堂原有一批大米，吃了
5
1，原来食堂有大米多少千克？
原来还多了
6
4，第二天又新进150件新玩具，这时玩具总
2.玩具店开业当天卖出玩具
9
1。玩具店原来有玩具多少件？
数比原来却少了
6
练习卷
1.某家具店要生产一批沙发，第一周生产了64套，第二周生产了86套，
3。家具厂还要生产多少套沙发？
两周共生产了这批沙发总数的
10
2，两
2.服装厂第一车间有工人150人，第二车间的工人数是第一车间的
5
5，全厂有工人多少人？
个车间的人数正好是全厂工人总数的
6
3.一根钢筋截去8米后，所剩部分比原长的5
3还多2米。这根钢筋原长多少米？
4.学校植树，第一天完成了计划的8
3，第二天完成了计划的12
5
，第三天植树55棵，结果超过计划的4
1，学校计划植树多少棵？
5.欣欣原有一些糖果，吃了43后，妈妈又给她买来14颗，这时的糖果总数是原来的6
5。欣欣原来有糖果多少颗？
第四讲 长方体和正方体（巧算体积）
例题讲学
例1 把一块棱长为6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材。铸成的钢材有多长？
【思路点拨】 把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积没有变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。所以先求出正方体的体积，也就是长方体的体积。用体积除以长方体钢材的横截面面积，就可以求
抓住体积不变这个隐藏的量，熔铸前体积等于熔铸后的体积，再根据“体积÷横截面积=长”这个公式，从而轻松解决问题。
同步精练
1.把一块棱长为0.8米的正方体钢坯，锻造成底面积是0.16平方米的长方体钢材，锻造成的钢材有多高？
2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米？
3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水，把这些水全部倒入一个长4分米、宽3分米、高15分米的长方体水箱内，这时水深多少？要注满水箱还需要再倒入多少升水？
例2 一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃钢中，有10分米深的水。放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？
【思路点拨】将物体放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的体积其实就是物体的体积。本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。
=上升的
同步精练
1.一个长方体容器，底面积是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水。现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？
2.一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入
水中后，容器中的水面刚好上升了4厘米，求每块铁块的体积。
3.在一只长120厘米、宽60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明进
入浴缸后，水刚好没到李明颈部。已知水上升了20厘米，求出李明颈部以下的体积是多少立方分米？
例3 如图，一个长方体，高截去2cm，表面积就减少了48平方厘米，
【思路点拨】当高少了2cm后，首先明白表面积少了
哪些面？应该是前后左右四个小面，因为上面虽然也少了，
但又多出来一个上面，所以少了4个小面，因为剩下的部分是一个正方体，所以这四个小面是完全相等的，故用48除以4从而得出一个小面的面积，再用一个小面的面积除以2，从而能求出正方体的棱长，也是原长方体的长和宽，
接着求出原长方体的高，最后求出体积。
关键是看截去一个小长方体后，表面积是少了哪些面，一般会认