金融工程--课后习题详解

七．习题

1. 布莱克－舒尔斯定价模型的主要缺陷有哪些？

2. 交易成本的存在对期权价格有什么影响？

3. 怎样理解下面这个观点：组合中一份衍生证券合约的价值往往取决于该组合中其他合约的价值？

4. 什么是波动率微笑、波动率期限结构和波动率矩阵？它们的作用何在？

5. 当波动率是随机的且和股票价格正相关时，人们在市场上可能会观察到怎样的隐含波动率？

6. 假设一个股票价格遵循复合期权模型，隐含波动率会是怎样的形状？

7. 如果我们对随机波动率的概念进一步深入下去，使得波动率的波动率也是随机的，结果会如何？

8. 设前一天收盘时S&P500为1040，指数的每天波动率为1％，GARCH(1,1)模型中的参数为0.06α=，0.92β=，0.000002ω=。如果当天收盘时S&P500为1060，则新的波动率估计为多少？（设μ＝0）

9. 不确定参数模型的定价思想是什么？

10. 如何理解跳跃扩散模型和崩盘模型？

11. 期权交易者常常喜欢把深度虚值期权看作基于波动率的期权，为什么？ 答案：

1. （1）交易成本的假设：BS 模型假定无交易成本，可以连续进行动态的套期保值，但事实上交易成本总是客观存在的。（2）波动率为常数的假设：实际上波动率本身就是一个随机变量。（3）不确定的参数：BS 模型假设波动率、利率、股利等参数都是已知的常数（或是已知的确定函数）。但事实上它们都不是一个常数，最为典型的波动率甚至也不是一个时间和标的资产价格的确定函数，并且完全无法在市场观察到，也无法预测。（4）资产价格的连续变动：在实际中，不连续是常见的，资产价格常常出现跳跃。

2. 交易成本的存在，会影响我们进行套期保值的次数和期权价格：交易成本一方面会使得调整次数受到限制，使基于连续组合调整的BS 模型定价成为一种近似；另一方面，交易成本也直接影响到期权价格本身，使得合理的期权价格成为一个区间而不是单个数值。同时，不同的投资者需要承担的交易成本不同，具有规模效应，即使是同一个投资者，处于合约多头和空头时，期权价值也不同。

3. 在放松布莱克－舒尔斯模型假设之后，常常出现非线性的偏微分方程，这意味着同一个组合中的期权头寸可能出现互相对冲和保值，减少了保值调整成本，从而使得整个组合的价值并不等于每个期权价值之和，因此组合中一份衍生证券合约的价值往往取决于该组合中其他合约的价值。

4. 应用期权的市场价格和BS 公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方面的变动规律：（1）“波动率微笑”：隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同；

（2）波动率期限结构：隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。通过把波动率微笑和波动率期限结构放在一起，可以构造出一个波动率矩阵，它是我们考察和应用波动率变动规律的基本工具之一。波动率微笑和波动率期限结构的存在，证明了BS 公式关于波动率为常数的基本假设是不成立的，至少

期权市场不是这样预期的。实际从业人员常常从隐含波动率矩阵中获取市场对资产价格分布的信息和预期，从而为衍生证券尤其是那些交易不活跃的期权定价。

5. 当股票价格与波动率正相关时，隐含分布的左尾较小而右尾较大。当股票价格上升时，波动率上升，较高的股票价格出现的概率变大（比波动率为常数时），当股价下跌，波动率下降，较低的价格出现的概率较小。因此，隐含波动率将是股票价格的增函数。正好呈现与图7.3相反的形状。

6. 复合期权模型下，股票价格分布右尾较对数正态分布小而左尾较大。波动率微笑就会呈现如图

7.3的形状。实值看涨期权和虚值看跌期权的隐含波动率较高，而虚值看涨期权和实值看跌期权的隐含波动率较低。

7. 随机波动率的一般模型为：

1dS Sdt Sdz μσ=+

()()2,,,,d p S t dt q S t dz σσσ=+

其中，我们可以再进一步为q 建模：

3dq adt bdz =+，

然后可以再为b 建模，一直下去。从理论上说，这样当然会越来越接近现实，精确度更高。随着市场竞争的加剧，只有精确度提高才能获得更高的利润。但是这也同时要求更高的计算能力，即使计算能力许可，还需要考虑成本效益问题。这需要在模型的拓展和现实应用方面作一定的权衡。

8. 12010400.01923n ε-==，

2220.0000020.060.019230.920.010.0001342n σ=+?+?=，因此0.01158n σ=。

9. 不确定性参数模型的定价思想为：我们不再假设已经知道参数的精确价值，而是假设我们知道的这些参数位于某个特定的区间之内（我们选择的区间代表了我们对期权或期权组合的参数值在有效期间上下限范围的预测），之后考虑最悲观的情况下我们的期权至少值多少。这样，只要我们的参数区间不被突破，就可以保证永远不会损失。

10. 跳跃扩散模型除了使用原先的连续布朗运动来反映连续扩散过程之外，还引入了泊松过程来描述资产价格的跳跃，这时过程中包括两个部分，一是确定的部分，二是每隔一段时间常常会发生的非确定的跳跃。为了得到期权价值，Merton 提出了一个重要的思想：即如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就不应该获得期望收益。尽管跳跃扩散模型更接近现实，但是由于参数预测的困难、方程难以求解和完全保值的不可能性，使得它在现实中应用不太广泛。而崩盘模型的主要思想是：假设最糟糕的情况确实发生，度量标的资产价格变化可能导致的最大损失，之后使用数值方法中的二叉树模型，根据可能获得的最低收益来为期权定价。从而弥补了价格出现极端运动时保值失效的缺陷。这样，除非我们非常不幸，最糟的情况确实发生了，否则我们就可以获得更多的收益。同时崩盘模型没有对崩盘发生的时间和规模分布作任何假设，减少了参数预测的问题，也没有使用预期的概念。

因而能够更有效的考察巨幅变动发生的情景。

11. 一个深度虚值期权价值很低。波动率的降低进一步降低了它的价值。然而，这个下降程度很小，因为期权价值不可能小于零。另一方面，波动率的提高可能导致期权价值的大幅（百分比）上升。因此，这样的期权和基于波动率的期权具有一些相同的性质。

习题

1. 如何理解二叉树数值定价方法？

2. 一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10％，波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。并应用控制方差技术对这一估计进行修正。

3. 如何构造有红利情况下的二叉树图？

4. 一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权，执行价格为500，目前指数为495，无风险利率为年率10％，指数红利率为每年4％，波动率为每年25％。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图，为期权定价。

5. 如何理解蒙特卡罗模拟方法？其主要优缺点是什么？

6. 假设无红利股票价格运动服从对数正态分布，股票当前价格为100美元，执行价格为105美元，波动率为20％，无风险利率为5％，一年后到期。时间步长选择为0.01，运用Excel 软件计算出股票价格的一条模拟路径。

7. 假设用蒙特卡罗模拟方法为一个波动率是随机的无红利欧式看涨期权定价？这时如何用控制方差法和对偶变量技术提高蒙特卡罗方法的效率？

8. 有限差分方法的主要特点是什么？

9. 一个无红利股票的美式看涨期权还有四个月到期，执行价为21美元，股票现价为20美元，无风险利率为10％，波动率为30％。运用显性有限差分法为该期权定价。股票价格区间为4美元，时间区间为1个月。

10. 有红利的情况下，如何应用有限差分法？

答案：

1. 二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时运用风险中性定价原理获得每个结点的期权价值，从而为期权定价。其中，模型中的隐含概率p 是风险中性世界中的概率。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯定价偏微分方程。

2.

运用二叉树方法得到欧式看跌期权?E

f 为2.62美元，由布莱克－舒尔斯公式计算可得 2.38E f =，因此美式看跌期权的更优估计值为?A A E f f f =+-?E

f 2.47=美元。

3.（1）连续红利率的情形： 将风险中性概率修正为d

u d e p t q r --=?-)(，其他条件不变，应用倒推法为期权定价。

（2）已知红利率δ的情形：

只要调整除权日之后各结点处的证券价格为：

j i j d u S --)1(δ 0,1,,j i =L L

其他条件不变。

（3）确定数额红利的情形：

假设有效期内只有一次红利，除权日为τ。把t i ?时刻证券价格S 分为两个部分：一部分是不确定的*S ，而另一部分是期权有效期内所有未来红利D 的现值。用通常的方法构造出*S 的二叉树（其中使用的波动率*σ为*S 的标准差），之后应用

*()()S i t S i t ?=? 当i t τ?>时

*()()()r i t S i t S i t De τ--??=?- 当i t τ?≤时

把*S 的二叉树图转化为S 的二叉树。

4.

5. 蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。

6. 使用的公式为()()2exp 2S t t S t r q t σ???+?=--?+? ????，注意从Excel 软件中可以得到取标准正态分布随机数的函数。

7.在波动率是随机的情况下，一次模拟过程需要两组标准正态分布的随机数，一组用于模拟波动率的运动过程，一组则用于在波动率已知的条件下产生资产价格的运动过程。

当使用控制方差法时，?A

f 表示波动率随机情况下进行模拟得到的期权价值，?B

f 表示波动率为常数时运用相同的随机数流获得的期权价格估计，用B f 代表波动率为常数时的应用布莱克－舒尔斯公式得到的期权价值，期权的较优估计值

为：?A A

f f =?B B f f +-。 当使用对偶变量技术时，每个波动率和资产价格还要分别采用两组对称的随机数。用{}1V 和{}2V 来表示用于估计波动率时的两组随机数，{}1V 中的每个数正好与{}2V 中的每个数关于零对称，同样关于零对称的{}1S 和{}2S 则表示估计股票价格时的随机数。这样需要平行地进行六次模拟：

模拟1：波动率为常数条件下用{}1S 进行；

模拟2：波动率为常数条件下用{}2S 进行；

模拟3：用{}1S 和{}1V 进行模拟；

模拟4：用{}1S 和{}2V 进行模拟；

模拟5：用{}2S 和{}1V 进行模拟；

模拟5：用{}2S 和{}2V 进行模拟； 用i f 表示第i 次模拟得到的价格，则()340.5f f +得到一个{}1S 条件下的期权价格，()560.5f f +则得到{}2S 条件下的期权价格，总的期权价格估计为()()34560.50.50.5f f f f +++????。如果再结合控制方差技术，则期权价格估计为()()3415620.50.50.5B B f f f f f f f f +-+++-+????。

8. 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。

9.根据题意，0.10r =，0.0833t ?=，4,0.30,20,21,0.3333S S X T t σ?====-=

股票价格

（美元）

4 3 到期时间 2 1 0 40

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 36

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 32

0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 28 0.07 0.04 0.02 0.00 0.00

24

0.38 0.30 0.21 0.11 0.00 20

1.56 1.44 1.31 1.17 1.00 16

5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 12

9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 8

13.00 13.00 13.00 13.00 13.00 4

17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 0

21.00 21.00 21.00 21.00 21.00

10. 类似于有红利的二叉树模型。将股票价格减去未来股利的现值得到*S ，为其建立格点，注意应使用*S 的波动率。

九．习题

1. 奇异期权的主要类型有哪些？

2. 分别为弱式路径依赖期权、强式路径依赖期权、多维期权、高阶期权举出数例。

3. 分析障碍期权的性质。

4. 为以下障碍期权写出对应的偏微分定价方程和相应的边界条件：

期权分别有上部障碍u S 和下部障碍d S ，如果资产价格在到期前触及任何一个障碍，期权敲出，并获得一个即时回报()T t φ-，否则到期时期权回报为()max ,0S X -。

5. 基于某个资产价格的欧式向下敲出期权的价值与基于该资产期货价格的欧式向下敲出期权价值相等吗（该期货合约到期日与期权到期日相同）？

6. 解释为什么几何平均有一个精确公式而算术平均无法得到精确定价。

7. 某个基于不付红利股票的欧式几何平均资产价的刚推出的看涨期权（连续观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。

8. 某个基于不付红利股票的欧式算术平均资产价的刚推出的看涨期权（离散观测），有效期限为6个月，初始股票价格为30美元，执行价格为30美元，无风险利率为每年5％，波动率为年30％，求该期权的价值。

9. 为什么亚式期权比障碍期权更易保值？

10. 利用如图9.3中的三个时间步长的树图估计某货币美式浮动执行价回溯看涨期权的价值，其中初始汇率为1.6，国内无风险利率为年5％，国外无风险利率为年8％，汇率波动率为15％，有效期18个月。

11. 某个衍生证券，如果六个月内某股票价格大于60，则支付100美元，否则为零。假设目前价格为45，无风险利率为年8％，红利率3％，波动率20％，求期权价值。

12. 考虑一个欧式折扣看跌期权（European Rebate Put ），其特征如下：如果股票价格在期权到期前下跌超过10％，期权到期时支付()max ,0X S -，否则到期时支付期权最初成本的20％。这个期权合约可以如何进行分解？

答案：

1. （1）分拆与组合： 最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。（2）路径依赖：期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两种。强式路径依赖期权模型中必须增加考虑路径变量而弱式路径依赖则无需增加这样的变量。（3）时间依赖：期权模型中的一些变量会随时间而变化。（4）多维期权：存在多个独立变量的期权。（5）高阶期权：即标的资产本身包括期权。

2.（1）弱式路径依赖：美式期权、障碍期权；

（2）强式路径依赖：亚式期权、回溯期权；

（3）多维期权：彩虹期权、资产交换期权；

（4）高阶期权：复合期权、选择者期权。

3. 障碍期权是路径依赖期权，它们的回报以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息，关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的损益情况仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。

障碍期权通常比常规期权便宜，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。

4. 偏微分方程为：

2222

12f f f rS S rf t S S σ???++=??? 边界条件为：()(),max ,0T f S T S X =-

和()()(),,d u f S t f S t T t φ==-

5. 不相等，如果在期权有效期内，期货价格高于现货价格，可能现货价格会触及障碍水平而被敲出，但期货价格则可能不会触及障碍水平。

6. 这是因为一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。但是它们的算术平均值则不然。这样，对几何平均期权，可以通过转换波动率和红利率，仍然利用布莱克－舒尔斯公式得到解析解，而算术平均则只能使用近似方法或是数值方法求解。

7. *0.17σ=，0.0325q =， 1.54c =

8. 运用二阶矩近似法计算，()0.050.51130

30.3780.050.5e M ?-?==?，2936.9M =，则

*030.378,17.41%F σ==，从而算出期权价值为1.637。

9. 因为在亚式期权中，越接近到期日，回报越确定，且保值比例?接近零。这使得应用标的资产进行保值相当容易。而障碍期权中，当资产价格接近障碍水平时，?却是不连续的，这给保值带来了困难。

10. 用最低价格M 和现价S 之比()()()

M t Y t S t =来建立标的资产价格树图，如图9.4所示。每个结点的损益结果是1Y -，树图显示期权价值为0.0818×1.6＝0.131个单位的本币。

0.89940.1006

0.80890.19110.7275

0.27251.00000.0000

图9.4 第10题的树图

11.这是一个现金或无价值看涨期权，价值等于

()0.080.52100e N d -?，()22ln 45600.080.030.220.5 1.9282d +--?==-，()20.0269N d =，从而期权价值为2.59美元。

12. 该期权具有以下两个特征：（1）如果期权下跌超过10％，到期时支付

()max ,0T X S -，这等于一个向下敲入看跌期权；

（2）如果期权下跌不到10％，则到期时支付期权最初成本的20％，即支付现金，这等于一个向下敲出看涨期权。因此，这个期权的价值可以分解为：

()()()()12,,;,;0.9,;0.2,,,0.9f S t f S t X T S f S t S f S t T S =+-

即一个以0.9S 为障碍水平，执行价格为X 的向下敲入看跌期权和一个以0.9S 为障碍水平，执行价为()0.2,S f S t -的向下敲出看涨期权之和。这两个期权都在T 时刻到期。

十．习题：

1、 美国某公司拥有一个β系数为1.

2、价值为1000万美元的投资组合，

当时标准普尔500指数为270，请问该公司应如何应用标准普尔500

指数期货为投资组合套期保值？

2、 美国某公司打算用芝加哥商品交易所的期货合约为其德国马克头寸套

期保值。假设美元和德国马克各种期限的利率均相等且不变并分别用

r 和r f 表示，该公司保值时间为τ，期货合约到期时间为)(τ>T T ，请

证明其最优保值比率为))((τ--T r r f e 。

3、

假设现在是1月30日，你正管理一个价值600万美元的债券组合，该组合的平均久期为8.2年。9月份长期国债期货价格为108—15，交割最合算债券的久期为7.6年。请问你应如何规避今后7个月利率变动的风险。 4、

某银行发现其资产负债不匹配，其存款为浮动利率，贷款为固定利率，请问应如何应用互换来抵消这种风险？ 5、 假设你管理一个价值6000万美元的投资组合，其β系数等于2.0，市

场无风险利率为5%，标准普尔500指数为300，该指数和该组合每年

的股息收益率都是3%，请问为了防止该组合价值低于5,400万美元，应购买什么期权对它套期保值？

6、 某种不支付股息股票价格的年波动率为25%，市场无风险利率为10%，

请计算该股票6个月期处于平价状态的欧式看涨期权的Delta 值。

7、 某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权，假设现在日元

的汇率为1日元=0.80美分，期权的协议价格为0.81美分，美国和日

本的无风险利率分别为8%和5%，日元的年波动率为15%，请计算该

期权的Delta 、Gamma 、Vega 、Theta 、Rho 值，并解释其含义。

8、 某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合：

种类 头寸 期权的Delta 期权的Gamma 期权的Vega

看涨 ―1000 0.50

2.2 1.8

看涨 ―500 0.80 0.6 0.2

看跌 ―2000 ―0.40

1.3 0.7

看涨 ―500 0.70

1.8 1.4

现有一种可交易期权,其Delta 值为0.6，Gamma 值为1.5，Vega 值为

0.8，请问：①为使该组合处于Gamma 和Delta 中性状态，需要多少

该可交易期权和英镑头寸？②为使该组合处于Vega 和Delta 中性状

态，需要多少该可交易期权和英镑头寸？

9、 在上例中，假设有第二种可交易期权，其Delta 值为0.1，Gamma 值

为0.5，Vega 值为0.6，请问应如何使该组合处于Delta 、Gamma 和Vega

中性状态？

习题答案：

1． 该公司应卖空的合约份数为：

1.2×10，000，000/(500×270)＝88.9≈89份

2． 在τ时刻，期货价格和现货价格的关系为:

()()f r r T F S e τττ--=

假设保值比率为h, 则通过保值可以卖出的价格为：

()()00()f r r T h F F S hF S hS e

τττττ---+=+- 如果()()f r r T h e τ--=，则卖出的价格恒等于hF 0, 这时保值组合的方差

为0。也就证明了()()

f r r T h e τ--=是最优保值比率。 3． 每份期货合约的价值为108.46875×1，000＝108，468.75美元。应该卖空的合约份

数为：

6,000,0008.259.760108,468.757.6

?=≈份 4． 该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率、接受浮动利率的利率互换协

议。

5． 当该投资组合的价值降到5400万美元时，你的资本损失为10％。考虑到你在1年

中得到了3％的现金红利，你的实际损失为7％。令E （R P ）表示投资组合的预期收益率，E(R I )表示指数的预期收益率，根据资本资产定价模型有：

E(R P ）-r f =β[E(R I )- r f ]

因此当E(R P ）＝－7％时，E(R I )＝[E(R P )-r f ]/ β+ r f =-1%。由于指数1年的红利收益率等于3％，因此指数本身的预期变动率为－4%。因此，当组合的价值降到5400万美元时，指数的预期值为0.96×300＝288。因此应购买协议价格等于288、期限1年的欧式看跌期权来保值。所需的欧式看跌期权的数量为：

2×60，000，000/(300×100)＝4000份

其中每份期权的规模为100美元乘以指数点。

6． 在本题中，S=X, r=0.1, σ=0.25, T-t=0.5, 因此，

210.3712d == N(d 1)=0.64。

该期权的Delta 值为0.64。

7． 在本题中，S=0.80, X=0.81, r=0.08, r f

=0.05, T-t=0.5833

2121120.10160.0130

()0.5405,

()0.4998

d d d N d N d ===-=-==

一份看涨期权的Delta 值为： ()0.050.58331()0.54050.5250.f r T t e N d e ---?=?=

由于21/20.005161()0.3969,d N d --'=== 因此，一份看涨期权的Gamma 值为：

() 4.206.f

r T t --'== 一份看涨期权的Vega 值为：

()1()0.39690.97130.2355.f r T t d e --'=?=

一份看涨期权的Theta 值为：

()

()()12()()0.050.80.54050.97130.080.810.95440.49480.0399.

f f r T t r T t r T t f r SN d e rXe N d ------'-=???-???=- 一份看涨期权的Rho 值为： ()2()()0.810.58330.95440.49480.2231.r T t X T t e N d ---=???=

8． 该组合的Delta 值为：

-1000×0.50-500×0.80-2000×（-0.40）-500×0.70=-450

该组合的Gamma 值为：

-1000×2.2-500×0.6-2000×1.3-500×1.8=-6000

该组合的Vega 值为：

-1000×1.8-500×0.2-2000×0.7-500×1.4=-4000

（1）买进4000份该可交易期权就可得到Gamma 中性组合，因为4000份该期权多头的Gamma 值为4000×1.5=6000。买进期权后，整个组合的Delta 值变为：

4000×0.6-450=1950。

为了使新组合同时处于Gamma 和Delta 中性，还得卖出1950英镑。

（2）买进5000份该可交易期权就可得到V ega 中性组合，因为5000份该期权多头的Vega 值为5000×0.8=4000。买进期权后，整个组合的Delta 值变为：

5000×0.6-450=2550。

为了使新组合同时处于Gamma 和Delta 中性，还得卖出2550英镑。

9． 令w 1为第1种可交易期权的头寸，w 2为第2种可交易期权的头寸，为了使该组合

处于Gamma 和Vega 中性状态，w 1和w 2必须同时满足如下条件：

6000=1.5w 1+0.5w 2

4000=0.8w 1+0.6w 2

解得：w 1=3200, w 2=2400。此时整个组合的Delta 值为：

-450+3200×0.6+2400×0.1=1710

因此，只要买进3200份第1种期权，2400份第2种期权，同时卖出1710英镑就可以使新组合同时处于Delta 、Gamma 和Vega 中性状态。

十一。习题

1． 某市场变量的年波动率为20％，计算此变量相应的日变化率。

2． 某项资产的年波动率为35％，该资产目前的市场价值40万美元，计算

该资产99％置信度一星期时间的VaR 美元值。

3． 目前资产A 和资产B 的日波动率分别为1.5%和1.8％，这两种资产收益

率之间的相关系数的估计值是0.3，一个由30万美元的资产A 和50万美元的资产B 组成的投资组合，其99％置信度10天的VaR 是多少美元？

4． 一家金融机构持有10万德国马克现汇，目前的即期汇率为1德国马克＝

0.6250美元，汇率的日波动率是0.7%。计算10天期95％置信度的VaR 美元值。

5． 考虑某一由单一资产的期权组成的投资组合，如果期权的标的资产价值

是20亿美元，日波动率为3％，该投资组合的Delta 值是0.5，估算该投资组合99％置信度1天的VaR 的美元值。

6． 一家公司持有价值4000万美元的债券头寸。该有价证券组合的修正久期

为3.7年。假设收益率曲线只会出现平行移动，收益变动率（以日变动大小的标准差度量）是0.09%。估算该有价证券组合90%/20天期的VaR 。

7． 一家金融公司的有价证券组合由美元对英镑的汇率期权构成。该有价证

券组合的Delta 值是56.0。现在汇率是1.5000。有价证券组合价值的变动和汇率的波动率间的关系近似为线性关系。若汇率的日波动率是0.7%，估计99％/10天期的VaR 值。

8． 若一家公司的有价证券组合由股票、债券头寸、外汇和实物商品构成。

假设其中没有衍生工具。解释（a ）用线性模型（b ）用历史数据模型计算VaR 时的假设条件。

9． 解释为什么当有价证券组合中包含期权时线性模型只能对VaR 值进行近

似估计？

10． 解释为了计算VaR 值，利率互换如何映射成标准期限的零息票债券

组合。

习题答案：

1．由于该市场变量的年波动率为：0.2year σ=，因此其日波动率是：

0.20.0126

15.8745

day σσ===

2．根据波动率的关系式：0.35/7.21110.0485week year σσ===。又资产

价值$400,000S =。(199%)(0.01) 2.33N

N -==-%%。所以一星期99％ 置信度的在险价值为2.33 X 0.0485 X 400,000 = $45,202。

3．该投资组合价值日变动率的方差为：

2222300,0000.015500,0000.0182300,000500,0000.0150.0180.3125,550,000

?+?+?????=

该资产组合价值日变动率的标准差是$11,204.91=。10天

99％置信度的在险价值为：2.3311,204.91$82,558.98?=。

4．10万德国马克的美元现值为，100,0000.625$62,500?=。

(0.05) 1.645N =-%。所以该外汇头寸10天期95％置信度的在现价值为：

1.64562,5000.007$2,275.85??=

5. 该投资组合的VaR 为：

200.50.03(16978N

-???-=%美元。 6. 根据久期模型我们知道：

B D y B

?=-? 其中B ?是一天债券组合的价值变动，y ?是其收益率一天平行移动的

变动，而D 为修正的久期。所以， 3.7D =，而y ?的标准差是0.09%y σ=。

根据B DB y ?=-?，有 3.740000000.0009$13320B y DB σσ==??=。

由于( 1.282)0.9N -=，所以，该有价证券组合90%/20天期的VaR 是：

13320 1.282$76367=

7. 有价证券组合价值的日变动量P ?与汇率的日变动量S ?的近似关系为：

56P S ?=?

汇率的日变化率x ?等于//1.5S S S ?=?。于是有：

56 1.5P x ?=??

即

84P x ?=?

x ?的标准差等于汇率日波动率，即0.7%。因此P ?的标准差为：

840.0070.588?=。

所以，有价证券组合99%/10天期的VaR 是：

0.588 2.33 4.33?=

8. 线性模型假设每种市场变量的日变化率都服从正态概率分布。历史数据

模型假设以前观测到的市场变量的日变化率的概率分布在将来仍然适用。

9. 期权价值变动与基本标的变量变动不是线性相关的。当基本标的变量值

的变动是正态分布的时，期权价值的变动却不是正态分布的。而线性模型则是假定期权价值的变动是正态的，因此，线性模型只能是一种近似估计。

10. 对于浮动利率方，其浮动利息等效于在下一支付日到期的零息票债券。

对于固定利率方实际是有息票债券，其等效于零息票债券的有价证券组合。因此，利率互换可以映射成对应不同利息支付日为到期日的零息票债券的有价证券组合。然后，可以再将每个零息票债券映射成其相邻的标准到期期限零息票债券的相应头寸。