(高清版)2019年江苏省苏州市中考数学试卷

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江苏省苏州市2019年初中毕业暨升学考试

数 学

（本试卷满分130分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题要求的。） 1.5的相反数是

（ ）

A .15

B .15-

C .5

D .5- 2.有一组数据：2，2，4，5，7这组数据的中位数为

（ ）

A .2

B .4

C .5

D .7

3.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26 000 000万元，数据26 000 000用科学记数法可表示为

（ ）

A .8

0.2610?

B .8

2.610?

C .6

2610?

D .7

2.610?

4.如图，已知直线//a b ，直线c 与直线a b ，分别交于点A B ，.若154∠=o

，则2∠=

（ ）

A .126o

B .134o

C .136o

D .144o

5.如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与O ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为

（ ）

A .54o

B .36o

C .32o

D .27o

6.小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量

的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为 （ ） A .15243x x =+ B .15243x x =-

C .15243x x =+

D .15243x x

=- 7.若一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的图像经过点()01A -，，()11B ，，则不等式1kx b +＞的解为

（ ）

A .0x ＜

B .0x ＞

C .1x ＜

D .1x ＞

8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平

距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是

（ ）

A .55.5m

B .54m

C .19.5m

D .18m

9.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，416AC BD ==，，将ABO △沿点

A 到点C 的方向平移，得到A

B

C '''△，当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距

离为

（ ）

A .6

B .8

C .10

D .12 10.如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作D

E AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为

（ ）

A

.

B .4

C

.

D .8

a

D

C

D

B

D

B

C

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------题--------------------

无--------------------

效---

-------------

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第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上） 11.计算：23a a ?= . 12.因式分解：2

x xy -= .

13.

x 的取值范围为 . 14.若28a b +=，3418a b +=，则a b +的值为 .

15.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图1是由边长10 cm 的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图2是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为______cm （结果保留根号）.

16.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为 .

17.如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=?。P 为?

AB 上的一点，过点P 作PC OA ⊥，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ，若2,1PD CD ==，则该扇形的半径长为 .

18.如图，一块含有45?角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm ，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均

为

，则图中阴影部分的面积为

2cm （结果保留根号）

三、解答题（本大题共10小题，共76分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

19.（本题满分5分）

计算：()2

22π+---

20.（本题满分5分） 解不等式组：(

)15

2437x x x ++??

21.（本题满分6分） 先化简，再求值：2361369x x x x -?

?÷- ?+++??

，其中3x .

22.（本题满分6分）

在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.

（1）从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是： ； （2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求

抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.

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25.（本题满分8分）

如图，A 为反比例函数k

y x

=（其中0x ＞）图像上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，

4OB =.连接OA ，AB ，且OA AB ==

（1）求k 的值；

（2）过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k

y x

=（其中0x ＞）的图像于点C ，连接OC

交AB 于点D ，求AD

DB

的值.

26.（本题满分10分）

如图，AE 为O e 的直径，D 是?BC

的中点BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F . （1）求证：DO AC ∥；

（2）求证：2DE DA DC ?=;

（3）若1

tan 2

CAD ∠=，求sin CDA ∠的值.

A

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27.（本题满分10分）

已知矩形ABCD 中，5cm AB =，点P 为对角线AC

上的一点，且AP =.如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为()t s ，APM ?的面积为()

2cm S ，S 与t 的函数关系如图②所示：

（1）直接写出动点M 的运动速度为 cm /s ，BC 的长度为 cm ; （2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()cm/s v .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM △与DPN △的面积为

()21cm S ，()

22cm S .

①求动点N 运动速度()cm/s v 的取值范围;

②试探究12S S ?是否存在最大值.若存在，求出12S S ?的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.

图1

图2

图3

28.（本题满分10分）

如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知ABC △的面积为6. （1）求a 的值；

（2）求ABC △外接圆圆心的坐标；

（3）如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三

象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB △的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.

（图①）

（图②）

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江苏省苏州市2019年初中毕业暨升学考试

数学答案解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题 1.【答案】D

【解析】∵5(5)0+-=，∴5的相反数是5-，故选D 。 【考点】相反数的概念 2.【答案】B

【解析】这组数据已经从小到大进行排序，且共有5个数，∴中位数为第3个数，即为

4，故选B.

【考点】求一组数据的中位数 3.【答案】D

【解析】726000000 2.610=?，故选D.掌握用科学记数法表示较大的数的方法是解答本

题的关键.

【考点】用科字记数法表示较大的数 4.【答案】A

【解析】如图，∵a b ∥，∴3154∠=∠=?，∴23180∠+∠=?， ∴2180318054126∠=?-∠=?-?=?，故选A.

【考点】平行线的性质，平角的定义 5.【答案】D

【解析】∵AB 是O e 的切线，OA 是半径，∴OA AB ⊥，即90BAO ∠=?，∠B=36°，∴

54AOC ∠=?，∴1

272

ADC AOC ∠=∠=?，故选D.

【考点】切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理

6.【答案】A

【解析】根据题意软面笔记本每本售价为x 元，则硬面笔记本每本售价为() 3x +元，∴

15元能买

15x 本软面笔记本，24元能买24

3

x +本硬面笔记本,根据“两人买到相同数量的笔记本”可列方程1524

3

x x =+，故选A.

【考点】列分式方程解应用题 7.【答案】D

【解析】由题意可得方程组1,1,b k b -=??=+?解得1,

2,b k =-??=?

∴一次函数的解析方式为21y x =-，

当211x -＞时，解得1x ＞，即不等式的解集为1x ＞，故选D.

【考点】一次函数的图像与性质 8.【答案】C

【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，则四边形DCBE

是矩形，

m DE BC ==，在Rt ADE △中，30ADE ∠=?，

∴tan3018(m)AE DE ?=?==，又1.5m BE CD ==，

∴18 1.519.5(m)AB AE BE =+=+=，即教学楼的高度是19.5m ，故选C.

作辅助线构造直角三角形和矩形是解答本题的关键.

数学试卷 第11页(共26页) 数学试卷 第12页(共26页)

【考点】解直角三角形的应用 9.【答案】C

【解析】在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相垂直平分，∵4AC =，16BD =，∴

2AO CO ==，8BO DO ==，由平移可知'2CO AO ==，'8'B O BO ==，∴42''6AO AC CO =+=+=，在Rt ''AB O △中，由勾股定理得'10AB =，即点A 与

点'B 之间的距离为10，故选C.

【考点】菱形的性质，平移的性质，勾股定理 10.【答案】B

【解析】如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点E 作EN BC ⊥于点N ，AM EN ∥，

2AB AD ==，AD AB ⊥，∴BAD △是等腰直角三角形，∴45B ADB ∠=∠=?，由

勾股定理得BD =

∴AM BM MD ===又∵AD DE ⊥，∴90ADE ∠=?，

∴45EDN ∠=?，∴DEN △是等腰直角三角形，∵1DE =，

∴DN EN =∴

1

2

EN AM =，易证~CEN CAM V △，∴12CE CN EN CA CM

===，∴点E

是AC 的中点，点N 是CM 的中点，

∴22

CN MN MD DN

==+=

=，∴BC =∴11

422

ABC S AM BC ?=?==，即ABC △的面积为4，故选B.

作两条垂线是解答本题的关键。

【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求三角

形的面积

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题 11.【答案】5

a

【解析】23235a a a a +?==.掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键. 【考点】整式的运算

12.【答案】()x x y -

【解析】2()x xy x x y -=-.根据整式采取提公因式法分解因式是解答本题的关键。 【考点】因式分解 13.【答案】6x ≥

【解析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得60x -≥，解得6x ≥，即x 的取值范

围是6x ≥.

掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键. 【考点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式 14.【答案】5

【解析】根据题意，可得方程组28,3418,a b a b +=??+=?。解得2,3,a b =??=?

2

35a b ∴+=+=

列方程组求出a 和b 的值是解答本题的关键. 【考点】解二元一次方程组，求代数式的值 15. 【解析】如图，在正方形ABGC 中，10

cm AB AC ==，490B C ∠=

?，AD BC ⊥，在

Rt ABC △中，由勾股定理得BC =，∴m CD DB ==，又BEF

△是

等腰直角三角形，∴BE EF DE ==，∴2BD

BE DE DE =+=，∴cm DE =，即小正方形的边长为

cm 2

.

确定“七巧板”中各个图形边长的关系是解答本题的关键.

【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，数学文化 16.【答案】

827

【解析】由题意可知，大正方体被分割成27个小正方体，只有大正方体每个顶角上的小

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正方体的三个面涂有红色，∴共有8个小正方体的三个面涂有红色，∴所求概率

827

P =

. 【考点】概率 17.【答案】5

【解析】如图，连接OP ，在扇形AOB 中，OA OB =，090A B ∠=?，∴AOB △是等腰

直角三角形，∴45OAB OBA ?∠=∠=，∵PC OA ⊥，∴ACD △是等腰直角三角形，∴1AC CD ==，∵2PD =，∴3PC =，设扇形的半径为r ，则OA OP r ==，∴.1OC r =-，

在Rt OPC △中，由勾股定理得222OP OC PC =+，即222(1)3r r =-+，解得5r =，即扇形的半径为5.

设未知数利用勾股定理列方程是解答本题的关键.

【考点】等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程 18.

【答案】10+

【解析】如图所示，AB AC ⊥，8 cm AB AC ==，∴232cm ABC S =V ，

∵

PD DM EN HG EQ ====Q ，

∴AM BH CQ ===，∴

2cm HN EG ==，

∴82(6DE MN ==--，

∴

22

1

(22cm 2

DEF S DE ?==-，

∴(

(2=322210cm ABC DEF S S S -=--=+△△阴影

，即阴影部分的面积为

2(10cm +.

求内部小等腰直角三角形的直角边长是解答本题的关键.

【考点】等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理 三、解答题

19.【答案】解：原式3214

=+-=

【解析】先计算二次根式、绝对值、实数的零次幂，再进行加减运算，从而求出原式的

值.

【考点】实数的综合运算

20.【答案】解：由15x +＜，解得4x ＜， 由()2437x x ++＞，解得1x ＜， ∴原不等式组的解集是1x ＜.

【解析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取公共部分即为原不等式组的解

集.

【考点】解一元一次不等式组

21.【答案】解：原式233

3

(3)x x x x --=÷++

2

33

3(3)

x x x x -+=

?-+ 13

x =

+.

当3x

时，原式2===.

【解析】先将括号内的分式通分，计算分式的减法，再将分式除法转化为乘法，约分后

将分式化为最简分式，最后将x 的值代人最简分式，求出原分式的值. 【考点】分式的化简求值，分解因式 22.【答案】（1）

12

.

数学试卷第15页(共26页)数学试卷第16页(共26页)

由表格可知，共有12种可能的结果，并且它们的出现是等可能的，其中两次抽取卡片数

字和大于4的情况包括：(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共8种.

所以P（抽取两张卡片数学和大于4）

82

==

123

.

【解析】（1）由题知盒子中的卡片总数，再确定标有奇数的卡片数，代入概率公式，求

出概率；

（2）先列表或画树状图得出所有等可能的情况数，再确定两张卡片标有的数字之和大于

4的情况数，代入概率公式求出概率.

【考点】求随机事件的概率

23.【答案】（1）

30

=150

0.20

.

答：参加这次调查的学生人数为150人.

（2）36

m=，16

n=.

（3）12000.16192

?=

答：估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有192人.

【解析】（1）根据参加“书法”课外兴趣小组的人数和对应的百分比，可求出参加这次

问卷调查的学生人数，再根据条形统计图中已知的人数，求出参加“航模”课外兴

趣小组的人数，补全条形统计图；

（2）根据参加调查的学生人数和参加“摄影”课外兴趣小组的人数，可求出m的值；根

据参加调查的学生人数和参加“围棋”课外兴趣小组的人数，可求出n的值；

（3）用参加“围棋”课外兴趣小组的人数占总调查人数的百分比，乘该校学生总人数，

可估计出选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数.

【考点】统计，用样本估计总本

24.【答案】（1）证明：∵线段AC绕点A旋转到AF的位置，

AC AF

∴=.

CAF BAE

∠=∠

Q，

CAF CAE BAE CAE

∴∠+∠=∠+∠，

即EAF BAC

=

∠∠.

在ABC

△和AEF

△中，

,

,

.

AB AE

BAC EAF

AC AF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴()

ABC AEF SAS

△≌△，∴EF BC

=.

（2）∵AE AB

=，

∴65

AEB ABC?

∠=∠=.

∵ABC AEF

V V

≌，

∴65

AEF ABC?

∠=∠=

180

FEC AEB AEF

?

∠=-∠-∠

180656550

????

=--=

∵FGC

∠是EGC

△的外角，28

ACB=?

∠，

∴502878

FCC FEC ACB???

∠=∠+∠=+=.

【解析】（1）根据旋转性质得两条线段相等，根据已知角代换得两个角相等，结合已知

线段相等，可证明ABC AEF

△≌△，得对应边相等；

（2）根据等边对等角求出AEB

∠的度数，根据全等三角形的对应角相等求出AEF

∠的

度数，进而求出FEC

∠的度数，再利用三角形外角的性质，可求出FGC

∠的度数.

数学试卷 第17页(共26页) 数学试卷 第18页(共26页)

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性

质

25.【答案】（1）过点A 作AE OB ⊥于点E.

∵OA AB ==4OB =，

∴1

22

OE BE OB ===，

在Rt OAE △中，

6AE ==，

∴点A 坐标为()2,6.

∵点A 是反比例函数k

y x

=图象上的点，

∴62

k

=，解得12k =.

（2）记AE 与OC 的交点为F.

∵4OB =且BC OB ⊥，点C 的横坐标为4，

又∵点C 为反比例函数12

y x =图象上的点，

∴点C 的坐标为()43，

，∴3BC =. 设直线OC 的表达式y mx =，将()43C ，

代人可得34

m =， ∴直线OC 的表达式3

4

y x =

， ∵AE OB ⊥，2OE =，∴点F 的横坐标为2将2x =代入34y x =可得3

2

y =号，

即32EF =. ∴39

622

AF AE EF =-=-

=. ∵AE ，BC 都与x 轴垂直，∴AE BC ∥，∴AFD BCD ∠=∠，FAD CBD ∠=∠， ∴ADF BDC △∽△，

∴

3

2

AD AF DB BC ==. 【解析】（1）过点A 作x 轴的垂线AE ，根据已知条件求出OE 的长，再根据勾股定理求

出AE 的长，从而求出点A 的坐标，即可求出k 的值；

（2）根据OB 的长得点C 的横坐标，代人反比例函数解析式求出点C 的坐标，从而求

出直线OC 的函数解析式，根据OE 的长得点F 的横坐标，代入直线OC 的解析式，求出EF 的长，从而求出AF 的长，根据平行线判定ADF BDC V V ∽，得对应线段成比例，从而求出

AD

DB

的值. 【考点】反比例函数的图象与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质

26.【答案】（1）证明：∵D 是?BC

的中点，∴??CD DB =， ∴CAD BAD ∠=∠， ∴2CAB BAD ∠=∠.

在O e 中，2DOB BAD ∠=∠. ∴CAB DOB ∠=∠. ∴DO AC ∥.

（2）证明：∵??

C D OB =，∴CAD BCD ∠=∠. 又∵ADC CDE ∠=∠， ∴ACD CED △∽△.. ∴

DA DC

DC DE

=

， ∴2DE DA DC ?=

（3）解法一：如图1，作CG AD ⊥于点G .

图1

∵AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，

数学试卷 第19页(共26页) 数学试卷 第20页(共26页)

∴90ACB ∠=?. ∵1tan 2CAD ∠=

，∴12

CE AC =， 设(0)CE k k =>，则2AC k =，

AE =.

∵ACD CED △∽△， ∴

1

2

CD ED CE AD CD AC ===. 设(0)DE x x =>，则2,4CD x AD x ==. ∵AD AE DE =+，

∴4x x =+

，得x =.

∴2CD x =. ∵CG AD ⊥，∴90CGA CGD ?∠=∠=， 则ACE CGA ∠=∠.

又∵CAE AGC ∠=∠，∴ACE AGC △∽△.

∴CE AE

GC AC

=

，即k GC

GC =. 在Rt CDG △

中，3sin 5

CG CDA CD ∠===. 解法二：如图2，链接BD .

∵AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点， ∴90ACB ∠=?.

∵DO AC ∥，∴90OFB ACB ∠=∠=?，

∴90BFD ∠=?.

∴CAD CBD ∠=∠（同弧所对的圆周角相等）. ∴1tan tan 2CBD CAD ∠=∠=

，∴1

2

DF BF =. 设(0)DF k k =>，则2BF k =.

设OB OD r ==，则OF OD DF r k =-=-. 在Rt BOF △中，有222OF BF OB +=. 即222()(2)r k k r -+=，化简得52

r k =. ∴32

OF OD DF r k k =-=-=

. ∴33

2sin 55

2

k

OF CBA OB k ∠=

==. ∵CDA CBA ∠=∠（同弧所对的圆周角相等）. ∴3sin sin 5

CDA CBA ∠=∠=

. 【解析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，结合圆周角定理得出同位角相等，从而判定

两直线平行；

（2）根据已知角相等和等弧所对的圆周角相等，证明ACD △、CED △，得比例式，改

为乘积式即可；

（3）作CG AD ⊥，根据直径所对的圆周角是直角结合锐角函数的正切值，求出

CE

AC 的值，设CE k =，利用勾股定理表示出AE ，根据相似三角形的性质求出CD ED

AD CD

=

的值，设DE x =，再由AD AE DE =+，列出方程，从而表示出CD ，再根据两组对应角相等证明ACE AGC V V ∽，将含k 的代数式表示的线段长代入比例式，表示出CG 的长，利用锐角三角函数的定义即可求解；或连接BD ，根据直径所对的圆周角

是直角及平行线的性质得90BFD ∠=?，根据圆周角的性质得CAD CBD ∠=∠，根据已知正切值得器的值，设DF k =，OB OD r ==，根据已知条件表示出其他线段的长度，再利用勾股定理得到r 与k 的关系，即可得到sin CDA ∠.

【考点】圆的性质，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角

数学试卷 第21页(共26页) 数学试卷 第22页(共26页)

函数的定义，勾股定理 27.【答案】解：（1）2，10.

（2）①∵动点M ，N 相遇后停止运动，

∴动点M 和动点N 运动的距离之和为20(cm)AB BC DC ++=..

又∵动点M ，N 运动速度分别是2(cm /s),(cm /s)v ，且两个动点的运动时间均为(s)x ， ∴220x xv +=，∴20

2v x +=

. ∵动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ）， ∴5215x ≤＜，解得5

152

2

x ≤＜， 设20y x =

.由反比例函数的图象和性质得：883y ＜≤，即8283v +＜≤，∴2

63v ＜≤..

答：动点N 运动速度(cm /s)v 的取值范围为2

63

v ＜≤.

②解法一：过点P 作PQ AD ⊥于点Q ，PH BC ⊥于点H .

10,5,AD CD AC ==∴=Q

,90AP PQ AD ADC ?=⊥∠=Q ， //PQ CD ∴， APQ ACD ∴△∽△，

APQ ACD ∴△∽△， AP PQ AQ AC CD AD ∴==， 2,4PQ AQ ∴==， 3,6PH DQ ∴==.

∵动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），

1 ABC MPC MAB S S S S ???=--

111

1053(152)(25)5222

x x =??-??---? 215x =-+

2DCP MCP DCU S S S S ???=+-

111

563(152)5(152)222

x x =??+??--??- 2x =.

∴12(215)2S S x x ?=-+?

2430x x =-+

2

15225444x ?

?=--+ ??

?

∵51515242

≤＜， ∴当15

4

x =时，12S S ?取得最大值，最大值为2254.

答：当15

4

x =时，12S S ?取得最大值，最大值为2254.

图1

图2

图3

解法二：过点P 作PQ AD ⊥于点Q ，PH BC ⊥于点H . ∵10AD =，5CD =

，∴AC =..

∵AP =PQ AD ⊥，90ADC ∠=?， ∴PQ CD ∥，∴APQ ACD △∽△， ∴

AP PQ

AC CD

=

，∴2PQ =. ∵动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ）， ∴12MAD APD S S S S ??+=-

11

1051021522

=??-??=， ∴2115S S =-.

∴()2

12111152251524S S S S S ?

??=-=--+ ??

?.

数学试卷 第23页(共26页) 数学试卷 第24页(共26页)

∴当115

2

S =

时，12S S ?取得最大值，最大值为2254.

∵1 ABC MPC MAB S S S S ???=--

111

1053(152)(25)5222x x =??-??---? 215x =-+

∴当115

2

S =时，12S S ?取得最大值，最大值为2254.

答：当15

4

x =时，12S S ?有得最大值，最大值为2254.

【解析】（1）根据函数图象可求出动点M 的运动速度和BC 的长；

（2）①根据动点M ，N 相遇后停止运动可求出两点运动的距离之和，从而列出方程，求

出v 与x 的关系式，再求出x 的取值范围，根据反比例函数的图象与性质可求出v 的取值范围；②作垂线，根据勾股定理求出AC 的长，利用平行线判定APQ ACD △∽△，根据比例式求出相关线段的长，从而求两个三角形的面积与x 的函数关系式，根据两个三角形的面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得x 的值和函数的最大值；或作垂线，根据勾股定理求出AC 的长，利用平行线判定

APQ ACD △∽△，根据比例式求出PO 的长，从而求出两个三角形的面积之和，用

其中一个三角形的面积代换另一个三角形的面积，根据两个三角形面积之积列出二次函数关系式，配方后，根据顶点坐标得其中一个三角形的面积和函数最大值，再利用其中一个三角形的面积与x 的函数关系式求得x 的值.

【考点】矩形的性质，反比例函数与二次函数的图象与性质，勾股定理，平行线的判定，

相似三角形的判定与性质

28.【答案】（1）∵抛物线2(1)y x a x a =-++-. ∴令0y =，解得1x =或x a =， ∵点A 位于点B 的左侧，

∴点A 的坐标为(,0)(0)a a <，B 的坐标为(1,0) 令0x =，解得y a =-， ∴点C 的坐标为(0,)a -.

∴1AB a =-，∴1

(1)()62

ABC S a a =-?-=V ，

即2120a a --=. 解得3a =-或4a =. ∵0a ＜，∴3a =-.

（2）∵3a =-，∴(3,0),(0,3)A C -， ∴3AO OC ==，又90AOC ∠=?， ∴45OAC OCA ∠=∠=?，

∴线段AC 的垂直平分线与AOC ∠的角平分线所在的直线y x =-重合. ∵45OAC OCA ∠=∠=? ∵(3,0),(1,0)A B -，

∴线段AB 的垂直平分线是过点10-(，)且平行于y 轴的直线.

ABC △外接圆圆心在线段AB 的垂直平分线上，又在线段AC 的垂直平分线上.

∴ABC V 外接圆圆心的坐标为11-(，).

（3）过点A 作AE PB ⊥于点E ，过点Q 作QF PB ⊥于点F ，记P A 与BQ 的交点为G ，

延长PQ 与x 轴交于点H .

∵4AB =，点P 到x 轴的距离为d ， ∴1

22

APB S AB d d =

??=V . ∵2QPB S d =V ，∴APB QPB S S =V V ， ∴11

2

2

PB AE PB QF ??=

??， ∴AE OF =，∴,AE PB QF PB ⊥⊥，

∴四边形AEFQ 为矩形，∴AQ BP ∥.

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∵PAQ AQB ∠=∠，∴GQ GA =.

∵AQ BP ∥，∴,PAQ APB AQB QBP ∠=∠∠=∠， ∴GB GR =，∴GB GQ GP GA +=+，即PA BQ =.

在APB △与QBP △中，,,,PA BQ APB QBP PB BP =??

∠=∠??=?

∴APB QBP V V ≌.

∵45CAO ?∠=，且AQ BP ∥， ∴45ABP CAO ?

∠=∠=. 又∵APB QBP V V ≌，

∴45QPB ABP ?

∠=∠=，∴90PHB ∠=?， ∴点P 在抛物线223y x x =--+上， 设点P 的坐标为()

2,23t t t --+， ∴点H 的横坐标也为t ，

∵BH PH =，∴()

2123t t t -=---+， 解得4t =-或1t =（舍去）.

∴点P 的横坐标为4-，∴点Q 的横坐标也为4-. ∵直线AC 经过点(3,0),(0,3)A C -，

∴利用待定系数法可得直线AC 的表达式为3y x =+. ∵点Q 在AC 上，∴点Q 的坐标为(4,1)--.

【解析】（1）根据抛物线的解析式，求出点B 的坐标并用含a 的代数式表示出点A 和C

的坐标，从而表示出线段的长，利用三角形的面积列方程求出a 的值，从而求出抛物线的解析式；

（2）根据a 的值求出点A ，C 的坐标，得OA OC =，再证得等腰直角三角形，从而判定

两线重合，再根据线段AB 的垂直平分线求得今ABC 外接圆圆心的坐标； （3）作垂线，表示出APB △的面积，结合QPB △的面积，得AE QF =，可证四边形AERQ

是矩形，再根据等角对等边证得GQ GA =，利用平行线的性质进行代换，证明

PA BQ =，从而证明APB QBP V V ≌，求出QPB ABP ∠=∠，从而判定P ，Q ，H 三

点的横坐标相等，根据抛物线解析式设定点P 的坐标，根据BH PH =列方程，求出方程的解，从而求出点Q 的横坐标，根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而求出点Q 的坐标.

【考点】二次函数的图象与性质，三角形的面积公式，角平分线和线段的垂直平分线的

性质，三角形的外接圆，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程