2006年高考第一轮复习数学11集合的概念与运算

第一章集合与简易逻辑

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?考点目标定位

1?理解集合、子集、补集、交集、并集充的概必念要条解属于、包含、相等关系的意义 2?掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合

3?理解逻辑联结词“或” “且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条 件的意义?

4?学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思 维品质? ?复习方略指南

本章内容在高考中以考查空集与全集的概念， 元素与集合、集合与集合之间的关系， 集

合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容

?逻辑联结词与充要

条件这部分，以充要条件为重点考查内容

?

本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：

1?复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面 是对集合知识的应用?

2?主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对 集合中的元素的属性要分清楚 ?

3?要注意逻辑联结词“或” “且”“非”与集合中的“并” “交”“补”是相关的，二者相 互对照可加深对双方的认识和理解 ?

4?复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌 握逻辑

知识的目的?

5?

集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通

1.1 集合的概念与运算

?知识梳理 1?集合的有关概念

2?元素与集合、集合与集合之间的关系 （1） 元素与集合：或“ "?

（2） 集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系 3?集合的运算

（1） 交集：由所有属于集合 A 且属于集合B 的元素所组成的集合， 叫做集合A 与B 的

交集，记为 A A B ,即卩A A B={x|x € A 且x € B}.

（2） 并集：由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合

B 的并集，记为 A U B ，即A U B={x|x € A 或x € B}.

（3） 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A U S ）,由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为」S A ,即's A={xx € S 且 x 「A}.

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1. （ 2004 年全国 n, 1 ）已知集合 M={ x|x 2V 4} , N={ x|x 2— 2x - 3v 0}，则集合 M A N 等于 A.{x|x v — 2}

B.{x|x >3}

C.{x|— 1 v x v 2}

D.{ x|2v x v 3}

解析：皿=例/< 4}={ x|— 2 v x v 2} , N ={ x|x 2 — 2x — 3v 0}={ x|— 1 v x v 3}，结合数轴，

??? M A N={ x|— 1v x v 2}. 答案：C

2. （2005年北京西城区抽样测试题）已知集合 A={x € R |x v 5 — , 2 }, B={1 , 2, 3, 4},

则（* R A ）A B 等于

A.{1 , 2, 3, 4}

B.{2 , 3 , 4}

C.{3, 4}

D.{4}

解析：*R A={ X € R |x > 5— .2},而 5— 2 €（ 3 , 4） , ?（」R A ）A B={4}. 答案：D

3. （ 2004 年天津，1）设集合 P={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} , Q={x € R |2

A. P A Q=P

B.P A Q 手 Q

C.P U Q=Q

D.P A Q~P

解析：P A Q={2 , 3 , 4 , 5 , 6}, ? P A Q 二P.

答案：D

4. ___________________________________________________ 设U 是全集，非空集合 P 、Q 满足P ：Q ：U ,若求含P 、Q 的一个集合运算表达式， 使运算结果为空集0,则这个运算表达式可以是 ____________________________________________________________ .

解析：构造满足条件的集合，实例论证 .

x

U= {1 , 2, 3}, P= { 1}, Q= { 1 , 2},则(，u Q ) = {3}, (' U

P ) ={2 , 3}，易见

(* u Q )n P= .

答案：(「u Q )n P

5?已知集合 A ={ 0, 1}, B ={ x | x € A , x € N *}, C ={ x | x 匸 A },则 A 、B 、C 之间 的关系是 _________________________ ?

解析：用列举法表示出 B ={ 1} , C ={",{ 1} { 0} , A },易见其关系.这里A 、B 、 C 是不同层次的集合，C 以A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系， 不同层次的集 合之间只能是从属关系?

答案：B ?A , A € C , B € C ?典例剖析

"x

X € P

【例1】(2004年北京，8)函数f (x )=』

’其中P 、M 为实数集R 的两

-x x E M ,

个非空子集，又规定 f (P ) ={y|y=f (x ), x € P}, f (M ) ={y|y=f (x ) , x € M}.给出下列四个 判断，其中正确判断有

①若P n M=._ ,贝U

③若 P U M=R ,贝U f (P )

A.1个

剖析：由题意知函数

而f ( P )n f ( M ) = : f (X 1), + o )M ,故①错误侗理可知②正确.设P= :X 1 , +a), M= (-a , X 2： , T |X 2|

f ( P ) = : f (X 1), +a) , f ( M ) = : f (X 2) , +o),

f ( P ) U f ( M ) = : f (X 1), + o)M R ,故③错误.同理可知④正确. 答案：B

【例 2] 已知 A={ x|x 3 + 3x 2 + 2x > 0}, B={x|x 2 + ax + b < 0}且 A n B={x|0< x < 2}, A U B ={ x | x >- 2},求 a 、b 的值.

解：A={ x| — 2< x <- 1 或 x > 0},

设 B= : X 1 , X 2L 由 A n B= (0 , 2]知 X 2 = 2 , 且一1< X 1 w 0 ,

f (P )n f (M ) = ._ ②若 p n M 丰、,贝y f ( P )n f (M )工 U f ( M ) =R ④若 P U M 工 R ,贝y f ( P )U f ( M R B.2个

C.3个

D.4个

f ( P )、f ( M )的图象如下图所示.

设 P= :X 2 , + a) , M=(- :f (x 1) ,

+a),贝y P n M=.一.

oo xd , ?/ |x 2|< |X 1| , f ( P ) = : f (X 2), +a) , f ( M )=

①

由A U B= (- 2, + s)知一2

②

由①②知X i=— 1 , X2= 2, --a = — ( X i + X2 )= —1, b = X i X2= —2.

评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法.

深化拓展

(2004年上海，19)记函数f (x) = |2 _ % +3的定义域为A, g (x)=

\ x+1

lg [(x- a—1) (2a —x) (a v 1)的定义域为B.

(1)求 A ；

(2)若B二A，求实数a的取值范围.

提示：(1)由2—口 >0,得—1>0,

x+1 x+1

x v—1 或x> 1,即卩A= ( — a, —1)U[ 1, + .

(2)由(x — a —1) (2a —x)> 0,得(x — a —1) (x —2a) v 0.

a v 1,.. a+1 >2a. - - B= (2a, a+1).

1

?/ B-A,. 2a> 1 或a+1w—1，即a》—或a< —2.

2

1 、

而 a v 1,.. — w a v 1 或a w —2.

2

一1

故当B A时，实数a的取值范围是(一a, —2]U[ — , 1).

2

【例3】(2004 年湖北，10)设集合P={m—1v m W 0} , Q={m € R|mx2+4mx —4v 0 对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.P-Q

B.Q P

C.P=Q

D.P A Q=Q

剖析：Q={m€ R|mx+4mx— 4 v 0对任意实数x恒成立},

对m分类：①m=0时，—4 v 0恒成立；

②m v 0 时，需△ = (4m) 2—4x m x (—4)v 0,解得m v0.

综合①②知m W 0,. Q={m€ R|m w 0}.

答案：A

评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.

【例4】已知集合A={ (x, y) x2+mx—y+2=0} , B={ (x, y) |x—y+ 仁0 , 0w x w 2}, 如果A A B M ._ ,求实数m的取值范围.

剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线求+mx —y+2=0与线段x—y+仁0 (0w x w 2)有公共点，求实数m的取值范围” ?这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质

2

x + (m—1) x+1=0.

①

?/ A A B M ._ ,.方程①在区间[0, 2]上至少有一个实数解.

首先，由△ = ( m —1) —4》0，得m》3或m w —1.

当m》3时，由x1+x2= —( m—1) v 0及X1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m w—1时，由x1+x2=—( m—1) > 0及X1X2=1 >0知，方程①有两个互为倒数的正

根.故必有一根在区间(0, 1 ]内，从而方程①至少有一个根在区间[ 0, 2]内.

综上所述，所求m的取值范围是(—a, —1].

「2

丽, x +mx — y+2=0,

解：由丿' 得X—y+1 =0(0 兰xE2),