初中绝对值知识

初中绝对值知识

一、基础知积：

1、几何绝对值概念----在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝

对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的

点的距离

2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即：

∣a∣=｛ a,(a﹥0)

0（a=0）

3、绝对值性质：

（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；

（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。

（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等。

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。

（5）正数的绝对值是它本身。

（6）负数的绝对值是它的相反数。

（7）0的绝对值是0。

4、绝对值其它性质：

（1）任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。即：∣a∣＞a ; ∣a∣＞-a;

(2)若∣a∣=∣b∣则a=b或 a=-b

（3）∣ab∣=∣a∣*∣b∣;∣a/b∣=∣a∣/∣b∣(b≠0)

(4)∣a∣2=∣a2∣=a2

(5)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

对于∣a+b∣＜∣a∣+∣b∣等号当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个0时等号成立。

对于∣a∣-∣b∣＜∣a∣+∣b∣等号当且仅当a，b异号或a，b 中至少有一个0时等号成立。

5、绝对值等式、不等式：

（1）|a|×|b|=|ab|

（2）|a|÷|b|=|a÷b|（b≠0）

（3）a2=|a|2

这个性质一般用在含绝对值的一元二次方程中，

例：x2-3|x|+2=0，可以变成

|x|2-3|x|+2=0，(|x|-1)(|x|-2)=0，|x|=1或2，x=±1或±2（4）|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|

由此可以得出推论|x|-|y|<=|x-y|<=|x|+|y|，

因为 |x|-|-y|<=|x+(-y)|<=|x|+|-y|

二、解含有绝对值不等式的基本思路：是去掉绝对值符号，使不等

式变为不含绝对值符号的一般不等式。而后其解法与一般不等式的解法相同。去绝对值符号的几种方法：

1、利用定义法去掉绝对值。

根据实数含绝对值的意义：即

{ x(x＞0)

|x|= 0(x=0)

﹣x(x＜0)

2、利用不等式性质去掉绝对值符号：

利用不等式的性质转化|X|＜0或|X|＞0（C＞0）来解。如|ax+b|＞c(c＞0)可化为：ax+b＞c或ax+b＜-C；|ax+b|＜C可化为：-C＜ax+b ＜C，再由此求出原不等式的解集。对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤∣x∣≤b→a≤x≤b或-b≤x≤- a”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法.

3、利用平方法去掉绝对值符号：

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用∣x∣2=x2可在两边脱去绝对值符号来解。解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4、利用零点分段法去掉绝对值符号。

所谓零点分段法：就是指若数X1，X2，…….X n分别使含有|X- X1|,|X- X2|…|X- X N|的代数式中相应绝对值为零,称X1，X2，…….X n为相应绝对值的零点,零点X1，X2，…….X n将数轴分为:m+1段,利用绝对值的变化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对

值符号的一般不等式来解.即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集.

三、常见去掉绝对值符号的几种题型：（见附件）