2019年高考数学(理科)专题八平面向量精准培优专练(含答案)

D．

【解析】考虑b在a上的投影为a?b

，所以只需求出a，b即可．

培优点八平面向量

1．代数法

例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a⊥(a+b)，则b在a方向上的投影为（）

A．3B．-3C．-3333

【答案】C

由a⊥(a+b)可得：a?(a+b)=a2+a?b=0，

所以a?b=-9．进而a?b-933

==-．故选C．b232

2．几何法

例2：设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b=2，则a-b=_______．

【答案】23

【解析】可知a，b，a+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，

由a=b=a+b=2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a=2的菱形，

从而可求出另一条对角线的长度为3a=23．

3．建立直角坐标系

uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv

例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD?BE=__________．

B D C

uuuv uuuv1

【答案】AD?BE=-

【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，

如图建系：A 0,

?1?1

??，

B -,0?，

C ,0?，

(x,y)，∴CE uv=??x-1,y??，CA v=? -1,3?

?3 x-?=-

1x=

?y=

3y=

2??

，∴E ?,

36??

∴AD= ?0,-

??，

BE=

??，∴

AD?BE=-．

?2??66?

4，若

a-λb与b垂直，则实数λ的值为（v uv v

2B．4D．

2，所以(a-λb)?b=2-λ?4=0?λ=

，故选D．

AB，

?2??2??2?

下面求E坐标：令E

uu uu

?2? 22??

，

由CA=3CE可得：?

uuu?uu?53?uuu uu uv1

对点增分集训

一、单选题

1．已知向量a，b满足a=1，b=2，且向量a，b的夹角为

）A．-

2C．-

【答案】D

【解析】因为a?b=1?2?cos

π2

2．已知向量a，b满足a=1，b=2，a+b=7，则a?b=（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】A

【解析】由题意可得：a+b2=a2+b2+2a?b=1+4+2a?b=7，则a?b=1．故选A．

3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60o，点M在AB边上，且AM=

D．

【解析】因为AM=AB，所以DB=AB-AD，DM=AM-AD=AB-AD，

uuuv uuuv uuuv uuuv)?1uuuv uuuv?1uuuv24uuuv uuuv uuuv2

则DB?BM=AB-AD? AB-AD?=AB-AB?AD+AD

()

2C．

uuuuv uuuv

则DM?DB=（）

A．-1B．1C．-

【答案】B

1uuuv uuuv uuuv uuu uv uuuv uuuv1uuuv uuuv

?3?33

141

=?4-?2?1?+1=1．故选B．

332

uuuv uuuv uuuv

4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a，AC=b，则AO=（）

A．a+b

B．a+b

C．a+b

D．a+b

【答案】B

uuuv1uuuv

【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE=AC，

uuuv1uuuv uuuv

又因为O是BE边的中点，所以AO=AB+AE，

uuuv1uuuv uuuv1uuuv1uuuv11

所以AO=AB+AE=AB+AE=a+b，故选B．

22224

5．在梯形ABCD中，AB∥C D，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，动点P和Q分别在线段BC和CD上，

uuv uuuv uuu

且BP=λBC，DQ=

1uuuv uuuv uuuv

DC，则AP?BQ的最大值为（）

8λ

A．-2B．-

4D．

【答案】D

【解析】因为AB∥CD，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，

因为BP=λBC，DQ=

1uuu v

uuu v

则λ∈(01]，B(2，)，P2-λ,3λ，Q ?

?8λ

，3?，

()?1

uu uv uu uv

所以AP?BQ=2-λ，3λ?

?8λ

-2，3?=5λ+

令f(λ)=5λ+

4λ-

4-且λ∈(01]，

max

=f(1)=5+

6．已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60?，P为线段AC上任意一点，则PB?PC的范围是（

D．[-2，]

C．?-，?

(0)

则线段AC的方程为

x()

()

设P(x,y)，则PB?PC=(-x，-y)23-x，-y=x2+y2-23x=4x2-103x+4．

∵0≤x≤23，∴-≤PB?PC≤4．故选C．

所以ABCD是直角梯形，且CM=3，∠BCM=30?，

以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

uu v uu uv

8λ

DC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，

，0

()?

4λ-

，

由基本不等式可知，当λ=1时可取得最大值，

则f(λ)14-4-18=98．故选D．

uu v uu uv

）A．[1，]B．[0，]?44

【答案】C

【解析】根据题意，△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60?，

则根据余弦定理可得BC2=4+16-2?2?4?cos60?=12，即BC=23．∴△ABC为直角三角形

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A(0，)，C23，，

1，0≤x≤23．

u uv u u uv

uu v uu uv

2 b 且 (a + b )? (3a - 2b ) = 0 ，则 a 与 b 的夹角为（

B ． 2

C ． 2 b 且 (a + b )? (3a - 2b ) = 0 ，则 (a + b )? (3a - 2b ) = 0 ，

2 b 2 +

2 b ? b ?

cos θ - 2 b 2 = 0 ， 2 ， θ =

，∴ a 与 b 的夹角为 4 ，故选 A ．

uuu (uu uu

)

9．设向量 a ， b ， c ，满足 a = b = 1， a ? b = - ， a - c , b - c = 60o ，则 c 的最大值等于（

【解析】设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，因为 a ? b = - ， a - c , b - c = 60o ，

因为 AB = b - a ， AB 2 = (b - a )2 = b 2 + a 2 - 2a ? b = 3 ，所以 AB = 3 ， sin120? = 2 ，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，

v v v v v v

7．已知非零向量 a ， b ，满足 a = 2

）

A ．

3π 4 D ． π

【答案】A

【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =

∴ 3a 2 + a ? b - 2b 2 = 0 ，∴ 3 a 2 + a ? b ? cos θ - 2 b 2 = 0 ，

∴ 3 ?

1 2

∴ cos θ =

2 π π

u uv u uuv

8．在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，以 A 为中点的线段 PQ = 2a ，则 BP ? CQ 的最大值为（

）

A ． -2

B ．0

C ．2

D ． 2 2

【答案】B

【解析】∵在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，∴ BA ⊥ CA ，

∵ A 为线段 PQ 中点，且 PQ = 2a ，

uu uuu uuu uu uuu

uuv ∴原式 = -a 2 + BA ? AQ - AQ ? CA = -a 2 + AQ BA - CA = -a 2 + AQ ? CB = -a 2 + a 2 cos θ ，

uuv uuuv

当 cos θ = 1 时，有最大值， BP ? CQ = 0 ．故选 B ．

A ．1

B ． 2

C ． 3

D ．2

【答案】D

uu v uu uv uuu 1 2

所以 ∠AOB = 120 ? ， ∠ACB = 60? ，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，

uu uv u u uv

由正弦定理知 2R =

所以 c 的最大值等于直径 2，故选 D ．

10．已知 a 与 b 为单位向量，且 a ⊥ b ，向量 c 满足 c - a - b = 2 ，则 c 的取值范围为（

）

A ． ??1,1 + 2 ??

B ． ??2 - 2,2 + 2 ??

）

v v

uuuv uuu v

所以D(1,b)，C(3,b)．BD在BC上的摄影BM=BD cosθ=1+b2cosθ，

12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E是线段BC上的点，且DE=BC，则AD?AE的A．?,?B．?,?C．?,?D．?,+∞?

C．??2,22?D．??3-22,3+22?

【答案】B

【解析】由a，b是单位向量，a?b=0，可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，

由向量c满足c-a-b=2，∴(x-1,y-1)=2，

∴(x-1)2+(y-1)2=2，即(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1,1)，半径r=2，

∴OC=2，∴2-2≤c=x2+y2≤2+2．故选B．

uuuv u u u uuuv uuuv uuu

11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，-1，则BD在BC上的投影的取值范围是（）A．(-1,+∞)B．(-1,3)C．(0,+∞)D．(0,3)

【答案】A

【解析】建立如图所示的直角坐标系：设B(a,0)，

则C(3,b)，D(a-1,b)，则3-(a-1)=a，解得a=2．

uuuv

当b→0时，cos→-1，得到：BM→-1，当b→+∞时，θ→0，BM→+∞，故选A．

1uuuv uuuv

取值范围是（）

?84?

?93?

?48?

?33?

?88?

?93?

?4?

?3?

【答案】A

【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

则 A (0,1) ， B (-1,0) ， C (1,0 ) ，设 D (x ,0 )，则 E x + ,0 ? ， -1 ≤ x ≤ ? ．

据此有 AD = (x , -1) ， AE = x + , -1? ，

2 1 ?2 8 uuuv uuuv 则 AD ? AE = x 2 + x + 1 = x + ? + ．

据此可知，当 x = - 时， AD ? AE 取得最小值；

当 x = -1 或 x = 1 时， AD ? AE 取得最大值； uuuv ? 3 的取值范围是 ? , ? ．故选 A ． 1? 2 =- 又 a 与 b 的夹角的取值范围为 [0, π]，故 a 与 b 的夹角为 π ．

? 2 ? ? 1 ? ?

3 ? ? 3 ? uuuv 2 ? ?

? 3 ? 3 ? 9

1 uuuv uuuv 8

3 9 uuuv uuuv

4 3 3

uuuv uuuv AD ? AE

? 8 4 ? ? 9 3 ?

二、填空题

13．已知向量 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ ) ，若 c ∥(2a + b )，则 λ = ________．

【答案】 1

．

【解析】因为 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ，所以 2a + b = (4,2 )，

又 c = (1,λ ) ，且 c ∥(2a + b )，则 4λ = 2 ，即 λ = 1 2

．

14．若向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ，且 a ⊥ (a + b ) ，则 a 与 b 的夹角为__________．

【答案】 π

【解析】由 a ⊥ (a + b ) 得， a ? (a + b ) = 0 ，即 a 2 + a ? b = 0 ，

据此可得 a ? b = a ? b ? cos a , b = -a 2，∴ cos a , b = - 1 2 2

，

uuuv uuuv

15．已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ? BD 的最大值为________．

( )(

)

∴ AE ? BD = AD + λ AB ? AD - AB = AD 2 - λ AB 2 + (λ - 1) A B ? AD = 4 - 4λ ，

可得 C (0,0 )， A (0,2 )， B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为 x

2 3 +

(

)

设 P (x , y )，则 y = 2 - x

3 ， 0 ≤ x ≤ 2 3 ， PB = 2 3 - x , - y ， PC = (-x , - y ) ，

(

)

+ (2 y ) 2

= 4x + 4 y - 8 3x + 12 = 4x + 4 2 - x ?2

? - 8 3x + 12

3 x 2 - 40 x - 5 3 ?2

? + 3 ， ? ? 由 x = 5 3

【答案】4

uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

【解析】设 DE = λ DC = λ AB ，则 AE = AD + DE = AD + λ AB ，

uuuv uuuv uuuv 又 BD = AD - AB ，

uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

uuuv uuuv

∵ 0 ≤ λ < 1 ，∴当 λ = 0 时， AE ? BD 取得最大值 4，故答案为 4．

uuv uuuv

16．在 △ABC 中， ∠C = 90 ? ， ∠B = 30? ， AC = 2 ， P 为线段 AB 上一点，则 PB + PC 的取值范围为____．

【答案】 ?? 3,2 7 ??

【解析】以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，

( ) y

2 = 1 ，

uuv

u uuv

u uv u u uv 则| PB + PC 2 = 2 3 - 2 x 2

? 2 2 2 ?

3 ?

= 16 3 3 x + 28 = 16 ? 3 4 ?

uuv uuuv 4 ∈ ?0,2 3 ?? ，可得 PB + PC 的最小值为

为

uuv uu uv

即 PB + PC 的取值范围为 ?? 3,2 7 ?? ．故答案为 ?? 3,2 7 ?? ．

，

uuv uu uv

时，则 PB + PC 的最大值