八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：

ACF BDE ???。

思路：从结论ACF BDE ???入手，全等条件只有

AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ???，从而得到A B ∠=∠。 证明AC CE ⊥，BD DF ⊥

在Rt ACE ?与Rt BDF ?中

∴Rt ACE Rt BDF ???(HL)

∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =

在ACF ?与BDE ?中

∴ACF BDE ???(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：

21C ∠=∠+∠。

思路：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

证明：延长AD 交BC 于F

在ABD ?与FBD ?中

90

ABD FBD BD BD

ADB FDB ?∠=∠?=??∠=∠=? ∴ABD FBD ???(ASA ∴2DFB ∠=∠ 又1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。 例3. 如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段

AE 为边的ABE ?绕点B 顺时针旋转90到CBF ?的位置，而线段CF 正好是CBF ?的边，故只要证明它们全等即可。

证明：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点

在ABE ?与CBF ?中

∴ABE CBF ???(SAS)

∴AE CF =。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

AB //CD ，AD //BC

∴12∠=∠，34∠=∠

在ABC ?与CDA ?中

∴ABC CDA ???(ASA)

∴AB CD =。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。

思路：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和

NCA ∠的平分线”

，也需要作出点P 到两外角两边的距离。 证明：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F

AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E

CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F

PD PE =，PE PF =

PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F

∴BP 为MBN ∠的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。

思路：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF

在ABE ?与FDE ?中

∴ABE FDE ???(SAS)

ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又ADB BAD ∠=∠

AB DF =，AB CD =