2017山东单招数学模拟及答案

2017年山东单招数学模拟试题及答案

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合2|{2-+=x x x A ≤0，}Z x ∈，则集合A 中所有元素之和为 ▲ ． 2．如果实数p 和非零向量a 与b 满足0)1(=++b p a p ，则向量a 和b ▲ ． （填“共线”或“不共线”）．

3．△ABC 中，若B A sin 2sin =，2=AC ，则=BC ▲ ．

4．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的

取值范围是 ▲ ．

5．若复数ai z +-=11，i b z 32-=，R b a ∈,，且21z z +与21z z ?均为实数，

则

=2

1

z z ▲ ． 6． 右边的流程图最后输出的n 的值

是 ▲ ．

7．若实数m 、∈n {1-，1，2，3}，且n m ≠，则曲线

12

2=+n

y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ▲ ． 8． 已知下列结论：

① 1x 、2x 都是正数???

?>>+00

2

121x x x x ，

② 1x 、2x 、3x 都是正数???

?

??>>++>++000321133221321x x x x x x x x x x x x ，

C

D

B

A E

则由①②猜想：

1

x、

2

x、

3

x、

4

x都是正数

?

9．某同学五次考试的数学成绩分别是120， 129， 121，125，130，则这五次考试成绩

的方差是▲．

10．如图，在矩形ABCD中，3

=

AB，1

=

BC，以

A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧

DE

上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率

是▲

第10题图11．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是▲ cm3．

图1（俯视图）图2（主视图）

第11题图

12．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，

月份x 1 2 3 4

用水量y 4.5 4 3 2.5

由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是▲．

13．已知xOy平面内一区域A，命题甲：点(,){(,)|||||1}

a b x y x y

∈+≤；命题乙：点A

b

a∈

)

,

(．如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是▲．

1234

0.

x x x x>

x

y

B

C

A

M O

N

D

14．设P 是椭圆

116

252

2=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则AF PA PF PA ?+

?4

1

的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，

31=AB ．

（1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； （2）求三棱锥C AB A 11-的体积． 16．（本小题满分14分）

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；

（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

17．（本小题满分14分）

如图，已知圆心坐标为(3,1)的圆M 与x 轴及直线x y 3=

分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与

圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=

分别相切于

C 、

D 两点．

（1）求圆M 和圆N 的方程；

（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度． 18．（本小题满分14分）

已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈．

（1）求函数)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间；

（2）若函数)(x f 在0x x =处取到最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++的值； （3）若x e x g =)(（R x ∈），求证：方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数解． （参考数据：ln 20.69≈，14.3≈π） 19．（本小题满分16分）

已知函数x x x x f 323

1)(23

+-=

（R x ∈）的图象为曲线C ． （1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分18分）

已知数列}{n a 的通项公式是1

2-=n n a ，数列}{n b 是等差数列，令集合

},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从

小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．

（1）若n c n =，*N n ∈，求数列}{n b 的通项公式；

（2）若φ=B A ，数列}{n c 的前5项成等比数列，且11=c ，89=c ，求满足

4

5

1>+n n c c 的正整数n 的个数．

三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题，请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 21．（本小题为必做题．．．

，满分12分） 已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的弦长AB 为20，O 为坐标原点．

（1）求实数k的值；

（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？

，满分12分）

22．（本小题为必做题

．．．

甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E．

(ξ

)

，满分8分）

23．（本小题为选做题

．．．

F E

D

A

B

C

如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于

F .

（1）求

FC

BF

的值； （2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．

24．（本小题为选做题．．．

，满分8分） 已知直线l 的参数方程：12x t

y t

=?

?

=+?（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：

)4

sin(22π

θρ+=．

（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系．

25．（本小题为选做题．．．

，满分8分） 试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =??

?

?

??2001，N =???

?

????10021．

26．（本小题为选做题．．．

，满分8分） 用数学归纳法证明不等式：2111

11(1)12

n N n n n n n

*

++++

>∈>++且．

参考答案

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1．2- 2．共线 3．4 4．1(,1)(,)2-∞-?+∞ 5．i 2

321--

6．5 7．

4

1

8．0432431421321>+++x x x x x x x x x x x x 9．16.4 10．3

1

11．7 12．25.57.0?+-=x y

13．2 14．9- 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．） 15． （本小题满分14分）

解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，

则BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，------------------------------------------------------------3分

又由于AC=BC=BB 1=1，AB 1=3，则AB=2，

则由AC 2+BC 2=AB 2可知，AC ⊥BC ，--------------------------------------------6分

又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面B 1CB ，

所以有平面AB 1C ⊥平面B 1CB ；--------------------------------------------------9分

（2）三棱锥A 1—AB 1C 的体积6

1

121311111=??=

=--AC A B C AB A V V ．----------14分

（注：还有其它转换方法）

16．（本小题满分14分）

解：（1）x

x x y )2642(5.0100++++++=

即5.1100

++

=x

x y （0>x ）；------------------------------------------------7分

（不注明定义域不扣分，或将定义域写成*N x ∈也行）

（2）由均值不等式得：

5.215.1100

25.1100=+?≥++

=x

x x x y （万元）-----------------------11分

当且仅当x

x 100

=，即10=x 时取到等号．----------------------------------------13分

答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半

径，则M 在∠BOA 的平分线上，

同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA

的平分线，

∵M 的坐标为)1,3(，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，

则⊙M 的方程为1)1()3(2

2=-+-y x ，------------------------------------

4分

设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的的切点为C ，连接MA 、MC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ：ON=MA ：NC ， 即

31

3=?=+r r

r r ， 则OC=33，则⊙N 的方程为9)3()33(2

2=-+-y x ；----------------8分

（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A 点直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦

的长度，此弦的方程是)3(3

3

-=

x y ，即：033=--y x ， 圆心N 到该直线的距离d=

2

3

，--------------------- -------------------------11分

则弦长=33222=-d r ．----------------------------------------------------14分

另解：求得B （

2

3

,23），再得过B 与MN 平行的直线方程033=+-y x ，

圆心N 到该直线的距离d '=

2

3

，则弦长=33222=-d r ． （也可以直接求A 点或B 点到直线MN 的距离，进而求得弦长）

18．（本小题满分14分）

解：（1）)4

sin(2cos sin )(π

-=-=x x x x f ，

令]2

2,22[4

π

ππ

ππ

+-

∈-

k k x （Z k ∈） 则]4

32,4

2[π

ππ

π+

-

∈k k x ，------------------------------------------------2分 由于]2,0[π∈x ，则)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间为]43,

0[π和]2,4

7[ππ

； --------------

-4分

（注：将单调递增区间写成]43,

0[π ]2,4

7[ππ

的形式扣1分） （2）依题意，4

320π

π+

=k x （Z k ∈），------------------------------------------6分

由周期性，)3()2()(000x f x f x f ++

12)4

9cos 49(sin )23cos 23(sin )43cos 43(sin

-=-+-+-=ππππππ；-----------------8分

（3）函数x e x g =)(（R x ∈）为单调增函数，

且当]4

,

0[π

∈x 时，0)(≤x f ，0)(>=x e x g ，此时有)()(x g x f <；-------------10

分

当??

?

???+∞∈,4πx 时，由于785.04ln 4≈=ππ

e ，而345.02ln 212ln ≈=，

则有2ln ln 4>π

e ，即4()24

g e π

π

=>，

又

()g x 为增函数，∴当??

?

???+∞∈,4πx 时，()2g x > ------12分

而函数)(x f 的最大值为2，即()2f x ≤， 则当??

?

?

??+∞∈,4πx 时，恒有)()(x g x f <， 综上，在[)+∞,0恒有)()(x g x f <，即方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数 解．--------------------------------------------------------------------------------------------14分

19． （本小题满分16分）

解：（1）34)(2+-='x x x f ，则11)2()(2-≥--='x x f ，

即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------4分

（2）由（1）可知，?????-≥--≥111

k

k ---------------------------------------------------------6

分

解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x 得：(][)

+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------9分

（3）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，

21x x ≠，

则切线方程是：))(34()323

1(112

112131x x x x x x x y -+-=+--， 化简得：)23

2()34(2

13112

1x x x x x y +-

++-=，--------------------------11分 而过B ),(22y x 的切线方程是)23

2()34(2

23222

2x x x x x y +-++-=， 由于两切线是同一直线，

则有：343422

2121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------13分 又由2

232213123

2232x x x x +-=+-

， 即0))((2))((3

221212

2212121=+-+++--

x x x x x x x x x x 04)(3

12

2212

1=+++-x x x x ，即012)(2

2211=-++x x x x 即0124)4(2

22=-+?-x x ，04422

2=+-x x

得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两点。----------------------------------16分 20．（本小题满分18分）

解：（1）若n c n =，因为5，6，7A ? ，则5，6，7B ∈， 由此可见，等差数列}{n b 的公差为1，而3是数列}{n b 中的项， 所以3只可能是数列}{n b 中的第1，2，3项， 若31=b ，则2+=n b n ， 若32=b ，则1+=n b n ， 若33=b ，则n b n =；-----------------------------------------------------------4分

（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）

（2）首先对元素2进行分类讨论：

①若2是数列}{n c 的第2项，由}{n c 的前5项成等比数列，得

93482c c ===，这显然不可能；

②若2是数列}{n c 的第3项，由}{n c 的前5项成等比数列，得22

1=b ， 因为数列}{n c 是将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的， 所以0>n b ，则21=b ，因此数列}{n c 的前5项分别为1，2，2，22，

4，

这样n b n 2=，

则数列}{n c 的前9项分别为1，2，2，22，4，23，24，25，8， 上述数列符合要求；---------------------------------------------------------10

分

③若2是数列}{n c 的第k 项（4≥k ），则1212-<-b b ， 即数列}{n b 的公差1

所以752516=+<+=d b b ，1，2，4<9c ，所以1，2，4在数列}{n c 的

前8项中，由于φ=B A ，这样，1b ，2b ，…，6b 以及1，2，4共9

项，

它们均小于8，

即数列}{n c 的前9项均小于8，这与89=c 矛盾。

综上所述，n b n 2=，---------------------------------------------------------

12分

其次，当4≤n 时，

4

5

21>=+n n c c ，

4542356<=c c ，4

53467>=c c ，-------------------------------------------14分

当7≥n 时， 24≥n c ，因为}{n b 是公差为2的等差数列，

所以21≤-+n n c c ，----------------------------------------------------------16分

所以

4

5

24211111=+≤-+=-+=+++n n n n n n n n n c c c c c c c c c ， 此时的n 不符合要求。所以符合要求的n 一共有5个。-------------------18分

三、附加题部分：

21．（必做题）（本小题满分12分）

解：（1）将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x ，----------------------2分 由△01664>+=k 可知4->k ，

另一方面，弦长AB 2016645=+?=k ，解得1=k ；-------------6分

（2）当1=k 时，直线为12+=x y ，要使得内接△ABC 面积最大，

则只须使得224

1

=?='C C

x y ，-----------------------------------------------10分 即4=C x ，即C 位于（4，4）点处．----------------------------------------12分

22．（必做题）（本小题满分12分）

解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；

E 表示事件“恰有一人通过笔试”

则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++

4.05.04.06.05.04.06.05.06.0??+??+??=

38.0=---------------------------------------------------------------------6

分

（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为

0.3p =，

---------------------------------------------------------------------9分

所以~(30.3)B ξ，，故9.03.03)(=?==np E ξ．-------------12分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件

A B C ，，，

则()()()0.3P A P B P C ===

所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==?-?=，

2(2)30.30.70.189P ξ==??=，3(3)0.30.027P ξ===．

于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=?+?+?=．

23．（选做题）（本小题满分8分）

证明：（1）过D 点作DG ∥BC ，并交AF 于G 点， -------------------------2分 ∵E 是BD 的中点，∴BE=DE ， 又∵∠EBF=∠EDG ，∠BEF=∠DEG ， ∴△BEF ≌△DEG ，则BF=DG ， ∴BF ：FC=DG ：FC ，

又∵D 是AC 的中点，则DG ：FC=1：2，

则BF ：FC=1：2；----------------------------------------------4分 （2）若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由（1）知BF ：BC=1：3，

又由BE ：BD=1：2可知1h ：2h =1：2，其中1h 、2h 分别为△BEF 和△BDC 的高，

G F

E

D

A

B

C

则6

1

2131=?=??BDC BEF S S ，则21:S S =1：5． -----------------------8分

24．（选做题）（本小题满分8分）

解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ；-----------------------2分

)4

(sin 22π

θρ+=即)cos (sin 2θθρ+=，

两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：

2)1()1(22=-+-x x --------------------------------------------------------------4分

（2）圆心C 到直线l 的距离25

5

212|112|2

2<=

++-=

d ， 所以直线l 和⊙C 相交．---------------------------------------8

分

25．（选做题）（本小题满分8分）

解：MN = ?

?????2001????????10021=??

?

?

????20

021，---------------------------------------------------4分

即在矩阵MN 变换下???????

?

=??????''''→??????y x y x y x 221，-------------------------------------6分

则

x y ''=''2sin 2

1

， 即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=．----------8

分

26．（选做题）（本小题满分8分）

证明：（1）当2n =时，左边＝11113

123412

++=>，∴2n =时成立 ----------2分

（2）假设当(2)n k k =≥时成立，即2

1111

112

k k k k ++++

>++ 那么当1n k =+时，左边222

1111

()1

1

(1)

k k k k =

++

+++

+++ 222

111111

()1

1(1)k k k k k k

=

+++

+++

-+++ 222

111

1(21)111(1)

k k k k k k k -->++?-=+>++ ∴1n k =+时也成立 --------------------------------------------------7分

根据（1）（2）可得不等式对所有的1n >都成立 ----------------------------------8分