概率论模拟卷1~6及答案

[模拟试卷1]

一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为、和，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

二、（12分）设随机变量X 的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。

三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。

四、（12分）设 , ，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a 、b 是不全为零的常数）。

五、（12分）设从大批发芽率为的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。六、（12分）设总体的概率密度为

是取自总体的简单随机样本。求：（1）的矩估计量；（2）的方差。

七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。试求常数，使得服从分布。

八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上（取显著性水平＝）附表一： , , , ,

[模拟试卷2]

一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。若每

个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()?

??<<=其他

,01

2x Ax x f ，求：（1）参数A ；

（2）}35.0{<

三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为

?<<<<+=其它,01

0,10,),(y x y x y x f ．

（1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。

五、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。现要以的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电

六、（8分）在总体)4,12(~N X ，从X 中随机抽取容量为6的样本),(61X X Λ.求样本均值与总体均值之差的决对值大于2的概率。七、（14分）设总体X 的密度函数为

?<<=-其它

,01

0,)(1x x x f θθ 其中θ是未知参数，且0>θ。试求θ的最大似然估计量。

八、（14分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布)75.0,54(N ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：

54.0

如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取05.0=α）附表一：

5871.0)2222.0(=Φ,9495.0)64.1(=Φ,9505.0)65.1(=Φ,9750.0)96.1(=Φ,9826.0)108.2(=Φ,9901.0)33.2(=Φ,9929.0)45.2(=Φ，9950.0)575.2(=Φ.

一、填空（16分） [模拟试卷3]

1、设A 、B 为随机事件，P （A ）=，P(B)=，)|(A B P =，则=)|(B A P ___________. P （B A ?）=___________.

2、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是___________.

3、设随机变量X 的密度函数为???<<=其它,

0,2)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察

中事件{X ≤

}出现的次数，则P{Y=2}___________. 4、设X~N （1，4），Y~N （0，16），Z~N （4，9），X 、Y 、Z 相互独立，则U=4X+3Y-Z 的概率密度是（2U-3）=（4U-7）=___________.

5、设，，21X X …n X 是来自正态分布N （2,σμ）的样本，且2

σ已知，X 是样本均值，

总体均值μ的置信度为α-1的置信区间是___________.

二、（12分）设有甲乙两袋，甲袋中装有m 只白球，n 只红球，乙袋中装有M 只白球,N 只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少三、（12分）某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数服从参数为λ的泊松分布，已知任一分钟内无问讯的概率6

-e

为，求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。

四、（12分）设（X 、Y ）具有概率密度 ??

?<<<=其它

010,),(y x c y x f

1）求常数c ；2）求P{Y >2X}；3）求F （，）五、（12分）设随机变量（X ，Y ）具有密度函数 ??

?<<<=其它

0,,1),(x x y y x f

求E （X ），E （Y ），COV （X 、Y ）。六、（12）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为，而为了使整个系统正常工作，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

七、（12分）设总体X 的密度函数为

?<<=-其它,01

0,)(1x x x f θθ 其中θ是未知参数，且0>θ。试求θ的最大似然估计量。

八、（12分）某工厂生产的铜丝的折断力测试（斤）服从正态分布N （576，64），某日抽取10根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：

578 572 570 568 572 570 572 596 584 570 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤（05.0=α）

[模拟试卷4] 一、（12分）（1）已知2

)()(==B P A P ,证明：)()(B A P AB P = （2）证明：若,0)(>A P 则

)

()

(1)|(A P B P A B P -

≥ 二、（14分）设X~N （2

,σμ），023.0}96{,72=≥=X P μ。求（1）}8460{≤≤X P （2）Y=1-2X 的概率密度

三、（12分）设X 与Y 是具有相同分布的随机变量，X 的概率密度为

?????<<=其它,0

0,83)(2

x x x f

已知事件}{a X A >=和}{a Y B >=相互独立，且4

3)(=?B A P 求（1）常数a （2）)(X

E -

四、（14分）设（X 、Y 的概率密度为

???<<=-其它,0

0,),(y x e y x f y

求：（1）相关系数 XY ρ （2）}2

{Y X P >

五、（12分）设供电站供应某电去1000户居民用电，各户用电情况相互独立，已知每户日用电（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布，现要以的概率保证该地区居民供应电量的需要，问供电站每天至少向该地区供应多少度电

六、（12分）设总体X~N （2

,σμ），，假设我们要以的概率保证偏差1.0<-μX ，试问在

5.02=σ时，样本容量n 应为多少

七、（12分）设),,,(21n X X X Λ为来自总体概率密度为

??<≥=--θ?θθx x e x f x ,0,),()( 的一个样本，求θ的矩估计量M ^θ。

八、（12分）电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min ）为42，65，75，

78，59，57，68，54，55，71 。问是否可以认为整批保险丝的平均熔化时间为70（min ）（05.0=α，熔化时间为正态变量）

[模拟试卷5]

一、（12分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对二、（12分）甲袋中有两个白球四个黑球，已袋中有四个白球两个黑球。现在掷一枚均匀的硬币，若得到正面就从甲袋中连续摸球n 次（有返回），若得反面就从乙袋中连续摸球n 次（有返回）。若已知摸到的n 个球均为白球，求这些球是从甲袋中取出的概率。三、（12分）（1）设某商店中每月销售某种商品的数量（件）服从参数为7的泊松分布，求一个月内至少售出2件的概率（2）设随机变量X 的分布函数求常数A 及X 的数学期望和方差

四、（14分）某种电池的寿命X 服从正态分布),(2

σa N ，a=300（小时），σ=35（小时），

（1）求电池寿命在250小时以上的概率（2）求x ，使寿命在a-x 与a+x 之间的概率不小于（3）任取1000个这种电池，求其中最多有50个寿命在250小时以下的概率。五、（12分）设随机变量（X ，Y ）具有密度函数

?<<<=其它

0,,1),(x x y y x f

（1）求X 与Y 的相关系数（2）问X 与Y 是否不相关（3）X 与Y 是否独立，为什么六（12分）（1）在总体N （52，2

3.6）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在到之间的概率。

（2）设总体)5.0,(~μN X ，假如我们要以的概率保证偏差1.0<-μX ，则样本容量n 应为多少七、（12分）设总体X 服从指数分布，它的密度函数为

?≤>=-0,

,,),(x x e x f x λλλ （1）求参数λ

θ1

λ的最大似然估计

（2）验证所得θ的估计量的无偏性

八、（14分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下：

已知各包重量服从正态分布N （2

,σμ）

（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取05.0=α）（2）求参数2

σ的90%置信区间。

[模拟试卷6]

一、(12分)一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球。今从此袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率；（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。二、12分)设随机变量)1,1(~-U X ,求2

X Y =的分布函数与概率密度。

三、10分)设某昆虫的产卵数X 服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概

率为,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的产卵数X 与孵化为成虫数Y 的联合分布律。

四、(14分)设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

??<<=其它,01

,),(22y x y cx y x f ,

a) 确定常数c 的值;

b) Y X ,是否相互独立为什么 c) Y X ,是否不相关为什么

五、(10分)一批种子中良种占1/6，从中任取6000粒，问能以的概率保证其中良种的比例

与1/6相差多少这时相应的良种粒数落在哪个范围六、(12分)设总体X 服从二项分布，它的概率分布为

k l k k l q p C k X P -==)(,l k Λ,1,0=,p q p -=<<1,10，

求未知参数p 的极大似然估计.

七、(12分) 某种仪器间接测量硬度，重复测量5次，所得数据是175，173，178，174，176，

而用别的精确方法测量硬度为179（可看作硬度的真值），设测量硬度服从正态分布，问此种仪器测量的硬度是否显著降低（05.0=α）

八、(10分)已知随机过程)(t X 的均值t t X =)(μ，协方差函数21211),(t t t t C XX +=，试求

t t X t Y sin )()(+=的均值)(t Y μ和协方差函数),(21t t C YY .

九、(8分)设)(t X 是平稳过程，且)(t X μ=0，||1)(ττ-=X R ，（|τ|≤1），Y =

)(dt t tX ，

求)(Y E 和)(Y D .

附：995.0)575.2(=Φ,99.0)33.2(=Φ,1318.2)4(05.0=t ,7764.2)4(025.0=t

[模拟试卷1答案]

一、解：设事件A 表示“顾客买下该箱”，i B 表示“箱中恰好有i 件次品”，2,1,0=i 。则

8.0)(0=B P ，1.0)(1=B P ，1.0)(2=B P ，1)|(0=B A P ，54

)|(4204

191==C C B A P ，

)|(4204182==C C B A P 。

（1）由全概率公式得

∑==?

+?+?===2

94.019

1.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P α；

（2）由贝叶斯公式

85.094

.01

8.0)()|()()|(000=?==

=A P B A P B P A B β。

二、解：(1)由121

=∑

∞

=k k A

，得A =1；（2）∑∑∞

=∞

=+===>505161

121}4{k l k k X P ；

（3）,...7,5,3,21

1{}{2

1==-=

==-k k X P k Y P k 。三、解：（1）区域G 的面积为 6

)(1

2=-==?????dx x x dy dx dxdy x

（X 、Y ）的联合概率密度为

???<<<<=其它,0

,10,6)(2x

y x x x f

（2）X 的边缘概率密度为 ==

?∞

∞

-dy y x f x f X ),()(?????<

0,62x dy x x

=???<<-其它,0

0),(62x x x

Y 的边缘概率密度为 ==

?∞

∞

-dx y x f y f Y ),()(?????<

10,6y dx y y =???<<-其它,01

0),(6y y y

（3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。

四、解：)1(12/)()()()(2

p np h Y D X D Y X D Z D -+=+=+=βαβαβα，

)1(12/)()()()(22222p np h Y D X D Y X D W D -+=+=-=βαβαβα，

)

1(12/),cov(),cov(),cov(),cov()

,cov(),cov(22222p np h X Y Y X Y Y X X Y X Y X W Z --=+--=-+=βαβααββαβαβα 则

)

1(12/)

1(12/)()()

,cov(2

2222p np h p np h W D Z D W Z ZW

-+--==βαβαρ 五、解：设这批种子发芽数为X ，则)9.0,1000(~B X ，由中心极限定理得

所求概率为

}880{≥X P 9826.0)108.2()108.2(1)1

.09.010009.01000880(

1=Φ=-Φ-=???-Φ-=。

六、解：（1）2

)(6)()(0

1θ

θθμθ

-==

?+∞

∞

-dx x x dx x xf X E 。

从而 12μθ=，则用X 代替1μ得θ的矩估计量为X 2?=θ

。（2）由于10

3)(6)()(2

θθθθ

=-==

?+∞

∞

-dx x x dx x f x X E 20

2103)]([)()(2

222

θθθ=-=-=X E X E X D

则n

X D n X D X D D 5)(4)(4)2()?(2

θθ====。

七、解：根据正态分布的性质知

)3,0(~321N X X X ++，)3,0(~654N X X X ++，

则)1,0(~3/)(321N X X X ++，)1,0(~3/)(654N X X X ++，从而)1(~

]3/)[(22321χX X X ++，)1(~]3/)[(22654χX X X ++，

又由于,,,321X X X ，654,,X X X 相互独立及2

χ分布的可加性知

2321]3/)[(X X X ++＋)2(~]3/)[(22654χX X X ++，

则当3

C 时，CY 服从2

χ分布。八、解：检验假设

cm H 12:00=≤μμ，01:μμ>H

检验统计量为n

X U σμ0

，0H 的拒绝域为}{αu u W ≥=。

由于显著性水平α＝，查表得05.0u u =α＝。因为

615.4100

/6.2122.13/0

=-=

x u σμ>05.0u =

则拒绝原假设cm H 12:00=≤μμ，即在显著性水平α＝下，认为该批木材的平均小头直径在12cm 以上。 [模拟试卷2答案]

一、解：假设每个铆钉都已编号，则样本空间S 中的样本点总数

[S ]= 3

C 3

C …

323C 。

设A i =“3个次品铆钉恰好用在第i 个部件上”，i=1，2，…，10

A =“3个次品铆钉恰好用于同一部件”

A i 中的样本点个数[A i ]= 3

C 346

C …

323C ，P(A i )= [A i ]/[S ]=1/19600。

P(A )=

∑

=101

)(i i A P =1/1960。

一、解：(1)由归一性，得

2)(1

==??∞

∞

-A Axdx dx x f

??===

<<3

.015

.075.02)(}35.0{)2(xdx dx x f x p

dt t f x X p x

?∞

<)(}{)3(

?∞

-=≤x

dt t f x 0)(0时，当

??∞

-==<

2)(10时，当

2)(,11

==≥??

∞

-tdt dt t f x x

时当

三、解：由题意，),(Y X 的联合密度函数为

?≥+≤≤≤≤=,,0,

1,10,10,2),(其它y x y x y x f

则

???<<=??

???<<==

-∞

+∞

-其它其它,01

0,2,010,2),()(1

1x x x dy dy y x f x f x X

得

2;3

321

==?

?dx x EX dx x EX 则

1)(22=

-=EX EX DX 同理，18

,32==DY EY 。

则

19412532322),cov(1

-=-=?-

=?-=??-x

ydy xdx EY EX EXY Y X 。则

362181181),cov(2)(=-+=

++=+=Y X DY DX Y X D DU 。四、解：（1）)

()(),cov(Y D X D Y X XY =

????=

+==

10101

127

)()(127

)()(dxdy y x y Y E dxdy y x x X E

)()(dxdy y x xy XY E

144112712731),cov(-=?-=

∴Y X

2212

)()(dxdy y x x X E

14411

)127(125)()(12

)()(21

22=

-==∴=

??Y D X D dxdy y x y Y E

故11

=XY ρ （2）0≠XY ρΘ ∴X 与Y 不独立。

五、解：设第K 户居民每天用电量为k X 度，1000户居民每天用电量为X 度， =k EX 10，

202

=k DX =。再设供应站需供应L 度电才能满足条件，则

99.0)12

201000101000(

}{2

?-Φ=≤L L X P

即

33.23

/10000010000=-L ，则L=10425度。

六、解：设总体由题意：)3/2,12(~N X ，则)3/2,0(~N EX X -，所求概率为 )]3/2/2()3/2/2([1}2|{|1}2|{|-Φ-Φ-=≤--=>-EX X P EX X P ＝)]45.2(1[2Φ-＝)9929.01(2-?=0142.0

七、解：设n x x x ,,,21Λ是X 的子样观察值，那么样本的似然函数为

∏=-=n

i i

x L 1

)(θ

θ，

就有

∑=-+=n

i i x n L 1

ln )1(ln )(ln θθθ，

于是，似然方程为

0ln )(ln 1

=+=∑=n

i i x n d L d θθθ，

从而，可得

∑=-

i i

ln ?θ

八、解：按题意，要检验的假设是

54:00=μH ，54:01≠μH

检验统计量为n

X U σμ0

，0H 的拒绝域为}|{|2αu u W ≥=。

由05.0=α，查正态表得临界值96.1025.0==u u α，

由样本值算得

94.1,46.54==u x

因为96.1

[模拟试卷3答案] 一、（每空2分）

1、；

2、2/5

3、9/64

4、 )434

1ex p(

4341)(2

u u f -=

；-3 ； 3472 5、???

? ??+-n Z X n Z X σσαα22, 二、解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”，事件B=“从乙袋中取出一白球”。 )()|()()|()(A P A B P A P A B P B P += )

)(1(111_n m N M m

Mm Mn n m m N M M n m n N M M +++++=++++++++=

二、解：)(~λπX ，且 6

}0{-==e X P

即 66=?=--λλ

e e

6661}1{}0{1}2{----==-=-=≥e e X P X P X P ≈

四、解：1）由归一性

111

=?=?=????-c cdx dy cdxdy x x

2）4

311}2{5.010

==>?

???-y

dx dy dxdy X Y P 3）4

11}5.0,5.0{)5.0,5.0(210

=≤≤=??-y

dx dy Y X P F 五、解：3

22)()(1

==???-dx x dx xdy X E x x

0)()(1

??-dx ydy Y E x

，??-==1

0)()(x x

dx xydy XY E

0(=-=）（）（）（）

、Y E X E XY E Y X COV 六、解：系统中能够正常工作的部件数X 服从二项分布： X~B(100, 。于是 })

9.01(9.01009.010085)

9.01(9.01009.0100{

1}85{1}85{-???-<

-???--=<-=≥X P X P X P

}35

)

9.01(9.01009

.0100{

1-<-???--=X P ≈9520.0)35()35(1=Φ=-Φ-

七、解：设n x x x ,,,21Λ是X 的子样观察值，那么样本的似然函数为

∏=-=n

i i

x L 1

)(θ

θ，

就有

∑=-+=n

i i x n L 1

ln )1(ln )(ln θθθ，

于是，似然方程为

0ln )(ln 1

=+=∑=n

i i x n d L d θθθ，

从而，可得

∑=-

i i

ln ?θ

七、解：需要检验的假设 220208:==σσH 2

218:≠σH

检验统计量为20

)1(σ

χS n -=

，拒绝域为: )]}1([)]1({[22

1222

-≤-≥

=-n n W ααχχχχY 计算可得x = ，s=70.8 ，从而 2

χ= 对05.0=α，自由度1-n =9 ，查表得

023.19,7.22025.02975.0==χχ

因为197.22

<<χ ，所以接受假设，即可以认为该日生产的铜丝折断力的标准差是8斤。

[模拟试卷4答案]

一、证明（1）)()]()()([1)(1)(AB P AB P B P A P B A P B A P =-+-=?-= 二、（2）)

()

(1)()()()()()()()()|(A P B P A P B P A P A P B A P A P A P AB P A B P -=-≥-==

二、（1）023.0)24

(1}96{1}96{=Φ-=<-=≥σ

X P X P

所以 977.0)24

(

=Φσ

≈)0.2(Φ 进而 12=σ

)12()12(}1212

{

}8460{σ

σσσ

-Φ-Φ=≤

-≤

-=≤≤X P X P

6826.018413.021)1(21)12

(

2=-?=-Φ=-Φ=σ

（3） X~N （72，2

12）所以 Y~N （-143，224）

∞<<∞-?+-=y x y f Y ,}242)143(exp{2241

)(2

三、（1）因为X 与Y 同分布，所以P （A ）=P （B ），又A 与B 独立

)()(2)()()()()(2=

-=-+=?A P A P B P A P B P A P B A P 所以 21)(=

A P ， 2

)(=A P （舍去）又 8183

1}{1}{)(3

a dx x a X P a X P A P a -=-=≤-=>=?

所以 813a -=2

1 进而 3

22=a

（2）4

341583)(2220

+-=?=---?e dx x e

e E x

四、因为

n dx e x x n =?

∞

-，所以

?????>==-∞-?其它,00,)(x e dy e x f x x

y X 所以 10

==?∞-dx xe EX x

?????>==--?其它,0

,)(y ye dx e y f y y o y Y 所以 20

2==?∞-dy e y EY y

3)(0

==??∞-dy dx xe y EXY y y ，20

22==?∞-dx e x EX x ，60

32==?∞

-dy e y EY y

所以 1)(22=-=EX EX DX ，2)(2

2=-=EY EY DY

)

()()

()()(Y D X D EXEY EXY Y D X D Y X COV XY -=

、ρ=22

五、解：设第K 户居民每天用电量为k X 度，1000户居民每天用电量为X 度， =k EX 10，

202

=k DX =。再设供应站需供应L 度电才能满足条件，则

99.0)12

201000101000(

}{2

?-Φ=≤L L X P

即 33.23

/10000010000=-L ，则L=10425度。

六、X ~),

N σμ，997.01)/1

.0(

2}/1

.0/{

}1.0{=-Φ=<

-=<-n

X P X P σσσμ

所以)97.2(9985.0)/1

.0(

Φ==Φn

σ 进而 4415.07.292=?=n

七、1)(0

)

(+=+==

??∞

-∞

--θθθ

?dy e y dx xe

EX y x

所以 1-=EX θ 故 1^

-=X M θ

八、需要检验的假设 70:00=μH 70:01≠μH 九、检验统计量为n

X t 0μ-=

，0H 的拒绝域为)}1(|{|2-≥=n t t W α

计算得： x = s= 所以 177.2/0-=-=

s x t μ

2622.2)110()1(2

05.02

=-=-t n t α 所以)1(2

-≤n t t α

故接受原假设

[模拟试卷5答案] 一、（1）

410

452C C （2）1-

445252

C C C +（3）

410

25C C

二、设事件A 表示掷得正面，事件B 表示所摸到的球为n 个白球，由题意

AB 表示从甲袋中摸到n 个白球，所以n

AB P )31(21)(=

， B A 表示从甲袋中摸到n 个白球，所以n B A P )3

(21)(=

)()()()()()|(B A P AB P AB P B P AB P B A P +==

三、（1）设商店每月销售某种商品的数量为X ，则)7(~p X

7771}1{}0{1}2{----==-=-=≥e e X P X P X P

（2）1lim )01(21===++→A AX F x ，所以 A=1

?≤≤=其它,0

10,2)(x x x f 322102==?dx x EX ，212102

2=?=?dx x x EX 18

1)(22=

-=EX EX DX 四、（1）)35,300(~2

N X ，所以 }250{1}250{≤-=>X P X P

9192.0)5

(1}355035300{

1=-Φ-=-≤--=X P （2）9.01)35

(2}353535{}{≥-Φ=<-<-=+<<-x

x a X x P x a X x a P

645.135

,95.0)35(=∴≥Φx

x ， x=

（3）设任一此种电池寿命在250小时以下的概率为p ，则

08.09192.01}250{=-=<=X P p

则1000个电池中，寿命在250小时以下的电池数X 服从二项分布)08.0,1000(~B X

})

08.01(08.0100008.0100050)

08.01(08.0100008.01000{

}50{-???-≤

-???-=≤X P X P

0)5.3(1=Φ-= 五、（1）解：3

2)()(1

???-dx x dx xdy X E x x

0)()(1

==??-dx ydy Y E x

，??-==1

0)()(x x

dx xydy XY E

0(=-=）（）（）（）

、Y E X E XY E Y X COV ，所以0=XY ρ （2）不相关

（3）不独立，因为（X 、Y ）不是二维正态分布。

六、（1）解：)36

3.6,52(~2

N X ， }6/3.68.26/3.6526/3.62.1{

}8.548.50{<-<-=<

()38(=-Φ-Φ= （2）X ~),

N σμ，997.01)/1

.0(

2}/1

.0/{

}1.0{=-Φ=<

-=<-n

X P X P σσσμ

所以 )97.2(9985.0)/1

.0(

Φ==Φn

σ 进而 4415.07.292=?=n

七、解：设n x x x ,,,21Λ是X 的子样观察值，那么样本的似然函数为

∏=-=n

i x i e L 1

)(λλλ，

就有

i n

i x In L λλλ-=∑=1

)(ln ，

于是，似然方程为

0)(ln 1

=+=∑=n

i i x n d L d λλλ，

从而，可得

∑==n

i i X n 1

λ ，所以 X =^θ （2） λ

θ1

)1()()(1^

====∑=EX X n E X E E n i i

所以X =^

θ是θ的无偏估计。

八、需要检验的假设 70:00=μH 70:01≠μH 检验统计量为n

X t 0μ-=

，0H 的拒绝域为)}1(|{|2-≥=n t t W α

计算可得： 050

.0/,122.1,98.990=-=

==n

s x t s x μ

3646.27)1(025.02

==-t n t α ，)1(2

-≤n t t α 故接受原假设。

（2）1.0=α ，n=8 查表得067.14)7(205.0=χ，167.2)7(2

95.0=χ

259.12=s 故置信区间为

]067.4,626.0[])

1()1(,)1()1([22

2=-----n s n n s n ααχχ [模拟试卷6答案]

一、解：以三个球相应号码的组合为样本点构成样本空间S ，则样本空间S 中的样本点个数

[S ]=3

10C =120。

设事件 A =“最小号码为5”， B =“最大号码为5”，

C=“一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5”。

A 中的样本点个数[A ]= 36C －3

5C =10， P(A )= [A ]/ [S ]=1/12， B 中的样本点个数[B ]= 35C －34C =6， P(B )= [B ]/ [S ]=1/20， C 中的样本点个数[C ]= 1

4C 15C =20， P(C )= [C ]/ [S ]=1/6.

二、解：()???

??<<-=其它

112

x x f X Θ,且2

)(x x g y ==,

()()dx x f y F y

x X Y ?≤=∴2???????≥<<≤=?-11

021

y y dx y y y

???≥<<≤=1

11000

y y y y ,

??<<==其它

01021)(')(y y

y F y f Y Y .

三、解：本题已知随机变量X 的分布律为

{}50

50-==e i i X P i ,Λ,2,1,0=i

由题意易见，该昆虫下一代只数Y 在i X =的条件下服从参数为i ,的二项分布,故有

j i i j i C i X j Y P -===2.08.0}|{，i j ,...,1,0=

由{}{}{}i X P i X i Y P j Y i X P ======|,,得),(Y X 的联合分布律为： 50

502

.08.0},{--===e j C j Y i X P i j

i j

i ，i j i ,,1,0;,1,0ΛΛ==. 四、解：（1）Θ

??<<=1

21),(y x dxdy y x f ,即

??-1

12x ydy cx dx =dx x x c )1(214

12-??-=121

821=??c 4

21=∴c . （2）?????<<=其它,

,421),(22

y x y x y x f Θ,

1,)1(8

21421),()(21

<-===∴??∞+∞

-x x x ydy x dy y x f x f x

X , 即??

???<-=其它,01

),1(821)(242

x x x x f X .

同理，10,2

421),()(25

<<===

∞

+∞

--y y xydx dx y x f y f y

Y , 即?????≤≤=其它

102

7)(2

y y y f Y . 显然有)()(),(y f x f y x f Y X ?≠ 从而X 与Y 不独立

(3)Θ0)1(31)(6

1321

12=-=?=

???-dx x x c ydxdy x cxy dx XY E x , 0)1(8

)(4311=-=?-dx x x X E .

∴0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X .

从而0=XY ρ,即Y X ,不相关

五、解：设X 表示6000粒种子中的良种数，则)6/1,6000(~B X ,由中心极限定理,)6/56/16000,6/16000(~???N X ,设良种比例与

相差q 为所求，则

99.01)8.207(2)8.207()8.207(6561600065616000|61

6000|}616000{=-Φ=-Φ-Φ≈???

???

?????????

?≤???-=≤-q q q q X P q X P 则Φ=，

查表得=，得q =.

则所求范围为：

1000-X <×6000,

即)4.1074,6.925(∈X .

六、解：设n x x x ,,,21Λ是X 的子样观察值，那么p 的似然函数为

∏=-=n

i x l x x l i i i q p C p L 1

)(

就有

∑∑∑===-++=n

i i n i i n i x l

q x l p x C p L i 1

ln )(ln ln )(ln

01)(ln 1=-=∑=q

x pq dp p L d n i i

从而，可得l

X ln p

n i i ==∑=11? 七、解：00:μμ≥H 0:μμ

X t 0μ-=

，0H 的拒绝域为)}1({-<=n t t W α

由样本值得7.3,2.1752

==S x ，从而 417.4-=t

对05.0=α，查-t 分布上侧分位数表得1318.2)4(05.0=t ，由于)4(05.0t t <，故拒绝原假设，即此种仪器测量的硬度显著降低。

八、解：t t t t X E t t X E t Y E t Y sin sin )]([]sin )([)]([)(+=+=+==μ

{}

{}2

122112211211)])(][)([)]()()][()([),(t t t t X t t X E t t Y t t Y E t t C Y Y Y +==--=--=μμ

九、解：???===

0)]([))(()(dt t dt t X tE dt t tX E Y E x