苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.1.4《导数的概念》
1.1.4 导数的概念 导学案
一、教学目标
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
(3)理解导数概念 实际背景,培养学生解决实际问题的能力,进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义,培养学生转化问题的能力及数形结合思想
二、教学重点难点
导数概念的理解,以及运用导数解决问题的能力.
三、教学过程
【复习引入】
1.什么叫做平均变化率;
函数y=f(x)的定义域为D ,x 1.x 2∈D ,f(x)从x 1到x 2平均变化率为:
2121
()()f x f x y x x x -?=?- 2.曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间上的平均变化率
2121
()()f x f x y k x x x -?==?- 3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?
曲线的割线和切线
【数学建构】
1.导数的定义:设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义,0(,)x a b ∈,若x ?无限趋近于0时,比值00()()f x x f x y x x
+?-?=??无限趋近于一个常数A,则称()f x 在0x x =处可导,并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数,记作0x x y ='.
0'
000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x
=+?-?'===?→??当. 2.求导数的步骤:
①求函数的增量:=?y 00()();y f x x f x ?=+?-
②算比值(平均变化率):
=??x y 00()()f x x f x y x x +?-?=?? ③取极限,得导数:0x x y ='=
0.0x x y y x x
=?'=?→?在时 上述求导方法可简记为:一差、二化、三极限.
3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即 0000()()()lim x f x x f x f x k x
?→+?-'==? 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率
0000()()()lim x f x x f x f x k x
?→+?-'==? ,得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.
4.函数在一区间上的导数:
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就说f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x 0,都对应着一个确定的导数 f '(x 0),这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数,我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数,简称为导数,记作
''()()(),0y f x x f x f x y x x x
?+?-===?→??当时的值 【数学应用】
例1 求y=x 2+2在点x=1处的导数.
解:222
[(1)2](12)2()y x x x ?=+?+-+=?+?
2
2()2y x x x x x
??+?==+??? '12,0|2
x y x x x
y =?∴=+??→?=当时 变式:求y=x 2+2在点x=a 处的导数.
例2 若2()(1)f x x =-,求(2)((2))f f ''和.
例3
已知y =
'y ,并求出函数在2x =处的切线方程.
解:
y y x x
?=?=??
'0y y x x x ?∴=
=??==?→当时的值。 【课堂小结】
1.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系.
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数f(x)的导函数 ()f x '.
(3)函数f(x)在点x0处的导数0()f x '就是导函数()f x '在x=x0处的函数值,即
00()()|x x f x f x =''= .这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.
2.求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点x 0处的变化率0()f x ' ,得到曲线在点(x 0,f(x 0))的切线的斜
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即000()()().y f x f x x x '-=-
【课后作业】见学案