第三章检测题及答案

一、填空题（每空2分，共30分）

1．若集合A 的基数为n ，则()A P A ?= 。2n

n ?

２．设A =｛｛Φ，｛Φ｝｝｝，则A ×(())P P Φ= 。

其中()P A 表示集合A 的幂集．{,{}},{,{}{,}},{}ΦΦΦΦΦΦ

3．设{{,{,}}}A a b c =，则()P A = 。其中

()P A 表示集合A 的幂集．,{{,{}{},}}a b c Φ

4．设A ={1，2，3}，A 上的二元关系R ={1,1,1,2,1,3,3,3}????????，则关系R 具有 性，不具有 性 。反对称，传递；自反、对称、反自反。 5．设R 是集合A 上的二元关系，则()S R = ，()t R = 。1

R R -U ；

1

i

i R

∞

=U

6．设R 是集合A 上的具有自反性、对称性、反对称性和传递性的二元关系，则

R = ，R 的关系矩阵是 。（A

I ，1

00010001?? ?

?

? ?

???

L

L M M M M L 或单位矩阵） 7． 在偏序集,A ≤中，其中A ={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是A 中的整除关系，则集合B ={2,3,4,6}的极大元是 4,6 ，极小元是 2,3 ，最大元是 无 ，最小元是 无 ，上

确界是 12 ，下确界是 1 。

二、单项选择题（每小题2分，共14分）

1．设1R 和2R 是集合A 上的任意两个关系，则下列命题为真的是（ ）．(1)

(1)．若1R 和2R 是自反的，则1R ο2R 也是自反的； (2)．若1R 和2R 是非自反的，则1R ο2R 也是非自反的； (3)．若1R 和2R 是对称的，则1R ο2R 也是对称的； (4)．若1R 和2R 是传递的，则1R ο2R 也是传递的．

２．集合A 上的关系R 为一个偏序关系，当且仅当R 具有（ ）。(2) (1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性；

(3)．反自反性、对称性和传递性； (4)．反自反性、反对称性和传递 ３．集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有（ ）。(1) (1)．自反性、对称性和传递性； (2)．自反性、反对称性和传递性； (3)．反自反性、对称性和传递性； (4)．反自反性、反对称性和传递性

４．集合A 上的等价关系R ，其等价类的集合｛[]A

a a R ∈｝称为（ ）．(3)

(1)．A 与R 的并集，记为A ∪R ； (2)．A 与R 的交集，记为A ∩R ；

(3)．A 与R 的商集，记为A ／R ； (4)．A 与R 的差集，记为A －R ．

５．设集合{0,1,2,3}A =，R ={<0,0>,<0,2>,<1,2>,<1,3>,<2,0>,<2,1>,<3,3,>}是A 上的二元关系，则R 的关系矩阵R M 是( )。（2）

（1）．??

??????????1100100000110101

（2）.?

?

????

?

?????1000001111000101

（3）. ?

?

??????????0111101001011000 （4）. ?

?

???

???????0101100011000111 ６．设{1,2,3}X =上的关系R 的关系图如下，从关系图可知R 具有的性质是（ 4 ）。

（1）．自反性、对称性和传递性； （2）．自反性、反对称性；

（3）．反自反性、对称性和传递性； （4）．反自反性、反对称性和传递性

7．设{,,}A a b c =，集合A 上的等价关系R 所确定的A 的划分的是{{a },{ b , c }} ，则

R =( 1 )

（1）． {< a , a >,,,,} （2）．{< a ,b >,,,} （3）．{< a ,b >,,} （4）．{< a , a >,< a ,b >,,,,}

三、简答题（共30分）

1．设{1,2,4,6,8,12,18,72}A =,”/”为A 上的整除关系, 说明〈A ，／〉是否为偏序集，若是，画出其哈斯图。

解：〈A ，／〉是偏序集。其哈斯图为：

2．设A ={1,2,3,5,6,10,15,30} ， “／” 为集合A 上的整除关系。〈A ，／〉是否为偏序集? 若是，画出其哈斯图；

解：〈A ，／〉是偏序集。其哈斯图为：

3．设集合{,,,,}A a b c d e =上的偏序关系“≤”={,,,,,,,c a c c d a d b

,,,,,,a a b a b b e e c e a e d d c d ,,,,,,,}，画出偏序关系“≤”的哈斯图。

解：偏序关系“≤”的哈斯图为:

4．对上题中的偏序集≤,A ，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填

入表中。

子 集

上 界

下 界

上 确 界 下 确 界

{,,}a b c

a

d

a

d

{,,}c d e

,a c

无 c 无 A

a

无

a

无

5．设 A ={1,2,3,4,5,6}，集合A 上的关系

R ={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。 （1）画出R 的关系图，并求它的关系矩阵；

（2）求(),()r R S R 及 ()t R 。 解：（1）R 的关系图为

R 的关系矩阵为

???

???

???

?

?????

??

???=100

100001000011000000000010000010100R M （1分） （2）(){1,1,2,2,3,3,5,5}r R R =U ， （1分） (){3,1,5,1,5,2,3,6}S R R =U （1分）

(){1,4,2,4,}t R R =U （2分）

6．设Z 是整数集，R 是Z 上的模3同余关系，即{,,,(mod3)}R x y x y Z x y =∈≡，试根据等价关系R 决定Z 的一个划分 。

答案：由R 决定的Z 的划分为：[][][]}2,1,0{R R R ， 其中：

[][][]}

,8,5,2,1,4,7,{2},7,4,1,2,5,8,{1}

,9,6,3,0,3,6,9,{0ΛΛΛΛΛΛ---=---=---=R R R

四．证明题（共26分）

１．（10分）设R 是非空集合A 上的二元关系，证明 ()t R =

Y ∞

=1

k k

R

．

证： （1）显然1k

k R R

∞

=?

U 。

（2）对任意 1

,,k

k b c R

∞

=∈

U ，则必存在正整数,i j ，使得,,,i j a b R b c R ∈∈ ，于是

1

,i j i j

k

k a c R R R

R ∞

+=∈=?o U ， 故

Y ∞

=1

k k R 是可传递的. （3）设1R 是A 上的任意一个包含R 的可传递关系。 任意1

,k

k a b R

∞

=∈

U ，则存在正整数n ，使得,n

a b R ∈，因此必存在元素121,,,,

n b b b -L 使得1121,,,,,,n a b b b b b R -∈L 。因为 1R R ?，所以

11211,,,,,,n a b b b b b R -∈L ，而1R 是可传递的，因此,a b ∈1R ，即

11

k

k R

R ∞

=?U ，故

有()t R =

Y ∞

=1

k k

R

。