气动系统建模仿真

气动系统建模仿真

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气压控制伺服系统的数学建模及仿真模型建立

关于气动伺服系统的数学建模,主要是通过分析系统的运动规律，运用一些己知的定理和定律,如热力学定律、能量守恒定律、牛顿第二定理等，通过一些合理而必要的假设和简化,推导出系统被控对象的基本状态方程，并将其在某一工作点附近线性化,从而获得的一个近似的数学模型。虽然这些模型不是很准确,但还是能够反映出气动伺服控制系统的受力和运动规律，并且借此可以分析出影响系统特性的主要因素，给系统的进一步分析和控制提供依据和指导。

另外,利用Si ｍｕlin ｋ工具包可以不受线性系统模型的限制,能够建立更加真实的非线性系统，同时其模型分析工具包括线性化和精简工具。因此，本文在数学模型的基础之上,利用S ｉｍｕl ｉnk 对所研究的气压力控制系统尝试建立一个非线性数学模型，并对该模型进行计算机仿真。

由于气动系统的非线性,如气体的压缩性较大,且在气缸的运动过程中容腔中气体的各参数和变量是实时变化的，所以对气动系统的精确建模是比较困难的。所以为了建立系统的模型,我们对控制系统作一些合理的假设，来简化系统的数学模型。假设如下:

(１）气动系统中的工作介质—空气为理想气体; （2)忽略气缸与外界和气缸两腔之间的空气泄漏; （3)气动系统中的空气流动状态为等熵绝热过程； (4)气源压力和大气压力恒定;

(５)同一容腔中的气体温度和压力处处相等。

1) 比例阀的流量方程

在实际的伺服控制系统中气体的流动过程十分复杂,气动元件研究中使用理想气体等熵通过喷管的流动过程来近似代替。一般计算阀口的流量时采用Sa ｎville 流量公式:

k

k s d k s d

s

m P P P P k RT k P q 1212A +???

?

??-????

??-=

０.528<

s

d

P P ≤1 )

1(212A 1

1+?

?

?

??+=-k RT k k P q k s m

0≤

s

d

P P ≤0.528 其中:P s —为阀口上游压力;

P d —为阀口下游压力。

０.528为临界压力比。当阀口上、下游的压力比小于等于0.528时,气体通过阀口的流量达到最大值，即气体以音速流动,此时下游压力的降低不会使质量流量再增加,出现了所谓的“壅塞”现象，这种现象使气体流经阀时具有很强的非线性,也是以空气作为传动介质系统中的固有特征。当控制阀上、下游压力之比大于０．５28小于1时,通过阀口的气体质量流量不仅取决于阀的结构，而且还取决于阀口上、下游压力,此时通过阀口的气体流动状态为亚音速流动

[2６]

。

由于气动元件内部的结构比较复杂,不同于渐缩喷管。这使流动的音速和

亚音速分界点不是压力比为0.５28的点。为解决这个问题，流量计算的新的发展趋势是通过临界压力比b 来计算描述气动元件的过流能力,并用这个参数来计算经过比例阀的流量。

因此，比例阀进出气口的流量方程为：

2111

1

11

1

1

211Q 2201(1)

k k k

d v s s s s m k d v s s

P P P k c x P b RT k P P P P k c x P b k RT k P ωω+-?

?????

-≤

≤ ? ??-?????=??

???≤

≤ ??++???

(１-1)

21

000 2

222

2

1

1

2

2

2

1

1

Q

22

1(1)

k

k k

d v

m

k

d v

P P P

k

c x P b

RT k P P P

P

k

c x P b

k RT k P

ω

ω

+

-

?

????

?

-≤≤

? ?

?-

?????

=?

?

??

?≤≤

?

?++

??

?

(1-２)

其中:

Cd—流量系数

ω—阀口面积梯度

x v—阀芯位移

Ps、P0—气源压力、大气压力

P１、Ｐ2—气缸左、右腔压力

利用Simuｌｉnk工具对进气口式进行建模，如图１-1所示,对其子系统封装如图1－２所示。

图1-1 阀进

同理可对出气口进行建模并封装子系统。

２) 压力微分方程

根据质量守恒定律,假定工作介质为连续的，储藏到某控制体中去的质量的储藏率应该等于流入的质量流量减去流出的质量流量。即：

()dM d V dV d M

M V

dt dt dt dt

ρρ

ρ?

?

-=

==+∑∑入

出 将气体状态方程代入上式并化简可得:

1dM dV V dp p dt RT dt k dt ??

=+ ???

假定T １=T 2=T,忽略温度变化的影响，将气缸两腔参数分别代入上面公式，得:

111

1

1

()

m dx

k RTQ P A dP dt dt

V -=

(1-３）

222

2

2

()

m dx k RTQ P A dP dt dt

V +=

(１－4)

其中：

A 1、Ａ2—气压缸左、右腔面积 V 1、Ｖ2—气缸左、右两腔体积

Qm １、 Ｑｍ2—气缸进出左、右两腔的流量 x —气缸活塞位移

用Simul ｉｎｋ对(3）式建模如图１-３所示,子系统封装如图1-5所示。同

图1-2 阀进口流

理对（4）式进行建模如图1-4所示，子系统封装如图1-6。

图1-3 气缸左腔

图1-4 气缸右腔

３) 气缸活塞的力平衡方程

根据牛顿第二定律可得到气缸的力平衡方程如下: P 1Ａ

1

－P

２

A

２

-F

ｆ

= m 2

2d dt y +K y+ F

(1-5)

其中:

Ｆf —作用在气缸上的摩擦力 F —作用在气缸上的的外力负载

m —气缸上运动部件的质量及负载质量总和 K —负载弹簧刚度

根据力平衡方程(5)式在Simulin ｋ中建立模型如图1-7所示，进行子模型封装如图1-8所示。

图1-5 气缸1腔流量

图1-6 气缸2腔流量

4）气缸摩擦力模型

摩擦力是影响气动伺服控制系统性能的重要因素,摩擦力的大小、方向取决于滑动摩擦副的材料、表面粗糙度、润滑条件、受力大小及温度等因素。气缸的摩擦力对气动伺服系统的影响最大,特别是气缸低速运动时更为明显,所以研究摩擦力的影响因素对系统的建模至关重要。气缸摩擦力是非线性的,通常将气缸摩擦力分为动摩擦力和静摩擦力,其中动摩擦力又分为库伦摩擦力和粘性摩擦力。当气缸在静止时摩擦力较大,而它一旦开始运动时,摩擦力随着速度增加急剧下降，在达到一定速度，即临界速度后又随着速度的上升而增加。这一摩擦特性产生了气缸在低速运动时的爬行现象,同时影响气动伺服定位系统的性能。

当前工程上位置控制系统中应用较为广泛的气缸摩擦力模型是St ｒib ｅ

图1-7 气缸力

图1-8 气缸力平衡

c ｋ摩擦模型,其摩擦力与速度关系曲线如图1-9所示,摩擦力首先随着速度的增加而降低，到一定速度后又随着速度的上升而下降，其公式为:

(())sgn()s

u u u c s c F F F F e

u Cu

δ

??- ???

=+-+

其中： Fs —静摩擦力 Fc —库仑摩擦力 u —活塞速度

ｕs —S ｔribeck 分离速度 δ—待定系数，介于0.5到2之间

Ｓｔrib ｅｃｋ摩擦模型较好地描述了低速下的摩擦力的行为,用一个衰减指数项体现了负斜率摩擦现象。但是Str ｉbe ｃｋ模型没有考虑到摩擦滞后、变化的临界摩擦力等非线性因素带来的影响,在速度穿越零时,摩擦力发生突变，并且突变值较大，在力控制系统中直接反馈到的变量是力,摩擦力的突变会导致反馈力发生突变，进而引发系统高频振荡，不符合实际情况。实际情况中,摩擦力还具有时间依赖性, 即摩擦记忆的特性。摩擦记忆就是接触表面间相对运动速度发生改变时， 摩擦力滞后一段时间才会发生变化的现象,而LuGue 模型较好的考虑了这一方面的因素,加入了摩擦力的记忆特性，避免了因为摩擦力突变而产生的高频振荡现象。因此本仿真模型中采用LuGu ｅ模型,LuGue 模型不仅考虑了Str ｉbe ｃk 速度负斜率影响，并且能反映预滑

图1-9 气缸Stribeck 模

动位移、摩擦滞后、变化的临界摩擦力和粘性滑动等非线性特性，是目前较为完善的一个模型,具有较高的精度。

LuGre 模型将摩擦的接触面看成是在微观下具有随机行为的弹性鬃毛，摩擦力由鬃毛的挠曲产生,其摩擦力模型为：

01

2dz

F a z a a v dt

=++

(1-６)

()

v dz

v dt g v =-

(1-7）

2

0()()s v v c s c a g v F F F e

??

- ???

=+-

(１-8)

其中：

v —摩擦表面的相对速度

Z —粘滞状态下相对运动表面间的相对变形量 a 0—移动前的微观变形量ｚ的刚度 a 1—dz/ｄt 的动态阻尼 a 2—粘性摩擦系数

根据（1－6)、(1－７） (1-8)三个方程表述的摩擦力模型在S ｉm ｕlink 中建模如图1－10所示,然后进行子系统封装。

由Ｌu Ｇre 模型作出气缸在低速时的摩擦力与速度的关系如图1-11所示。此模型中的摩擦力具有记忆特性，在速度过零点时不会发生突变，而是有一定的滞后,在速度增加到反方向的某一个值时才缓慢的回到零,不会产生高频振荡。并且摩擦力随速度变化关系也满足St ｒibeck 负效应,符合摩擦力变化趋势，比较适合应用于气压力控制系统仿真模型中。

上面已经对气压力控制系统的４个方程进行了建模,将4个子模型联系起来就可以完成对整个系统的建模。

图1-10 气缸LuGre

图1-11 气缸LuGre 模型

气压力控制系统的线性化

气压力伺服系统为比较复杂的非线性系统,特性也比较复杂，对其进行控制会比较困难，因此对其进行线性化，虽然线性化不能准确的给出实际系统模型,但它对系统的定性分析提供了一种有效的手段。

下面针对系统的数学模型在某一工作点对系统进行线性化处理。 首先对阀的流量方程(１-1)式(１-2）式进行线性化处理，由Sanvil ｌｅ流量公式知，阀的流量方程仅是阀芯位移x ｖ和气缸中气体压力P １和P 2的函数，在工作点分别对这些变量取一阶偏微分即可得出微分方程的近似线性化方程：

1111m m v c Q K x K P =- (2-１) 2222m m v c Q K x K P =- （２-2)

式中:

2111

1

m11011

1

20.52811Q |x 2200.5281(1)

k k

k

d s s s s

m v

k d s s

P P P k c P RT k P P P K P k c P k RT k P ωω+-?

?????

-≤

≤ ? ??-??

????==?

??

???≤

≤ ??++???

21000

222m2201

1

2

220.52811Q |x 2200.5281(1)

k k

k

d s

m v

k d s

P P P k c P RT k P P P K P k c P k RT k P ωω+-?

?????

-≤

≤ ? ??-??????=

=?

??

???≤

≤ ??++???

m1

11Q P c K ?=-

? m2

22

Q P c K ?=-

? 然后对压力微分方程进行线性化处理,对(１-３)式(１－4)式进行拉氏变换得出：

()110111

(y )m k RTQ P A s P s s V -=

从而

()1m110111

Q s V kRT k

P s P A y V =

- （２-3）

同理 ()2m220222

Q s V kRT k P s P A y V =-- (2－4)

其中

10V V Ay =+,20V V Ay =-

气缸的力平衡方程:A 1P １- A 2P 2-Ｆ-F ｆ= m 22d y

dt

+ Ｋy

在摩擦力模型中,有一部分与速度成正比的粘性摩擦力，因此线性化过程中可将摩擦力模型简化为f j p F F B v =+，则力平衡方程变为:

A 1Ｐ1- A 2P 2-F -Ｆj ＝ m 22d dt y ＋Ｂp dt

dy

＋K y

进行拉氏变换，得

()()j

21122p F F A P s A P s ms y B sy Ky s

+--

=++ （２－

5)

将式（２-1） ,(２-2），（2-3) ，(2-4)代入式 (2-５) ，得

2

221012021122121211

2212()m m p

v c c j kP A kP A kRTA K kRTA K ms B s K sy x V V V V kRTPK kRTP K F F V V ??????++++=+-?? ? ??????

???+-+ ???

可此求得由阀芯位移到气缸活塞位移的传递函数为：

()()11221222210120212Y s m m v p kRTA K kRTA K V V X s kP A kP A s ms B s K V V ??

+ ?

??=??

??++++??

????

?

=11221222

210120212m m p kRTA K kRTA K mV mV B kP A kP A K s s s m m mV mV ??

+ ???????++++??

????

?

在力控制系统中,被控制量是力，将输出力由力传感器转换为反馈电压信号与指令电压信号相比较,得到偏差信号，此偏差信号经过控制器输入伺服阀，使伺服阀到气压缸的流量发生变化，从而使输出力向着减小误差的方向变化。

在力控制系统中，输出力F g 为：

F g ＝P 1Ａ1-P 2A 2-F ｆ＝ m 22d dt

y

＋Ky+Ｆ

将上式进行拉氏变换，得

()()()2g F s =t m s K y s +

()()21122g 1222

210120212F s m m v p kRTA K kRTA K K s V V m X s B kP A kP A K s s s m m mV mV ????

++ ???????=??

??++++??

????? 又已知电压到阀芯位移的传递函数为二阶振荡环节,即

()sv 2

2G 21sv

sv sv

sv K s s s ξωω=

??++ ???

其中：

ωv —伺服阀固有频率 ζ—伺服阀阻尼比

K ０—伺服阀增益 综合各部分的传递函数假设，系统的开环传递函数可由下式表示：

()2112212222

2101

202212G s 21m m sv f p sv sv sv kRTA K kRTA K K s K K V V m B s s kP A kP A K s s s m m mV mV ξωω????

++ ???????=??????++++++ ?

?? ??????? K f 为其他部分增益之积

必须指出，在以上分析中，特别是对一些关系式的推演过程,没有考虑气流的泄漏影响;另外,还忽略了连接管道的分布阻力和管道柔度的影响,即我们采用的是集中参数模型，把管路内阻力归并到控制滑阀口处，把弹性变形归并到气缸内的活塞位移和气体的容积变化。这种分析和分析液压伺服控制系统一样,也是在控制阀阀芯位移和气缸活塞位移变化在中间平衡位置附近的小扰动变化范围内进行的,即以阀的稳态特性的线性化为基础的。

在此引入气压弹簧的概念,假定一个理想的无摩擦无泄漏的气压缸，两个工作腔内充满压力气体并被完全封闭。由于气体具有可压缩性，当活塞受外力的作用时,活塞可以在气压缸内移动，活塞的移动使气动缸内的一腔压力升高，另一腔压力降低。

根据等熵的假定条件,体积弹性模数e β与稳态时的腔内工作压力i p 成正比，即e i kp β=。

则有

1101

V k

P P Ay =

2202

V k

P P Ay =

则气压弹簧刚度K h 满足12h K y AP AP =-，得

2

2102012

p kP A kP A K V V =+ 同液压弹簧一样，气压弹簧只有在动态时才有意义,在稳态时不存在。假设气缸在初始位置处于平衡位置，即A Ｐ1０＝AP 20,则

101211p K kP A l l ??=+

???

当活塞处在中间位置时,l 1＝l 2=ｌ／2,此时

1010422p kP A K kP A l l l ??=+=

???

上面的式子表明，气压弹簧刚度是活塞位置和工作点压力的函数,最低刚度出现在活塞行程的中间位置,此时气压固有频率最低。当活塞偏离中间位置

时，气压弹簧刚度增大，固有频率将增加。由传递函数可知，气压系统与液压系统的传递函数具有相同的形式,其动态特征参数也很相似。明显的差别就是可压缩工作介质，体积弹性模数e β完全取决于稳态时的腔内工作压力i p 和

气体状态变化指数,即根据等熵的假定条件,e i kp β=,因此，

e β的提高受到限制,初始工作压力过高,不仅带来安全问题，且系统元件密封液不易解决。常规工业中使用的气体压力很低,因而气压伺服系统的固有频率和刚度都很低，和液压系统相比,响应速度慢，延滞时间长。在系统设计时，应在工艺允许的条件下，尽量采用高的供气压力和尽可能短的连接管道,以提高伺服系统的输出刚度。 系统仿真分析

在力控制系统开环传递函数中

()2112212222

21012022

12G s 21m m sv f p sv sv sv kRTA K kRTA K K s K K V V m B s s kP A kP A K s s s m m mV mV ξωω????

++ ???????=??????

++++++ ??? ??????

? = 2

2112222

12022022

0012211m m m

sv f m sv sv sv kRTA K kRTA K s K K V V s s s s s ωωωξξωωωω????++ ? ?????????++++ ???????

其中K f 为其他部分增益之积

由此可见，系统传递函数由比例环节，二阶微分环节，积分环节和两个振荡环节共同组成的。二阶微分环节和振荡环节的转折频率分别为负载固有频率ωm ,系统固有频率ω0，以及伺服阀固有频率ωsv ,并且ωm <ω0。

下面分析下各个参数对系统传递函数的影响 a)m K

m

ω=

为负载固有频率，它随着负载弹簧刚度的增大而增大,随负载质量的增大而减小。

b) 2

2101

202101202012

12

kP A kP A kP

A kP A K K m mV mV m ml ml ω=

++=++为气压弹簧与负载弹簧并联耦合的刚度与负载质量形成的动力机构的固有频率。它不仅与负

载有关，还与气压弹簧刚度有关,气缸两腔面积越大，压强越大，气压弹簧刚度越大，并且气压弹簧刚度还受到活塞位置的影响。

c ） 00

101202

12

22p p

B B m kP A m kP A m Km l l ?ω=

=+

+为动力机构的阻尼比。粘性

阻尼越大,负载质量越小，系统阻尼比越大。负载弹簧刚度越大，气缸两腔面积越大,压强越大，系统阻尼比越小，系统阻尼比也受到活塞位置的影响。

d) 120101202

1212

m m sv f

kRTK kRTK K

K K K kP A kP A l l K l l ??=+ ???++为系统增益。负载弹簧刚度越大,伺服阀及控制器增益越大,系统增益越高。气缸两腔压力、面积越大，系统增益越低。系统增益也因活塞位置的不同而不同。

由上面分析知,系统的传递函数会随着活塞位置的变化而变化，所以我们在分析系统稳定性的时候，要选取系统最不容易稳定的点进行分析,使这一点稳定,系统才能稳定。

以下分具体情况进行讨论。

1) 负载固有频率ωm 大于伺服阀固有频率ωsv

系统的伯德图如图3-1所示,在伺服阀固有频率ωsv 处斜率变为-60dB ／10oc ｔ,通过负载固有频率时斜率变为-2０dB/10oc ｔ,过了ω0时斜率又恢复为-60ｄB ／10ｏct 。由于这种情况下ωm 较大，负载弹簧刚度也一般很大,大于气压弹簧固有频率，因此ωｍ与ω0距离较近，且斜率一直为负值,因此ω0处的谐振峰值不会高于ωs ｖ处幅值，因此谐振峰值不是导致系统不稳定的原因。

由伯德图可以看出,此时相角穿越频率略小于伺服阀固有频率ωs ｖ,但是相角穿越频率处的幅值为正值，幅值裕度为负,系统不稳定,而系统增益是导致不稳定的原因。此时穿越频率较大,快速性较好，而降低系统的穿越频率有利于系统的稳定性,同时快速性也能满足要求。因此只需采用比例调节使幅值穿越频率降到小于相角穿越频率，使系统的幅值裕度和相角裕度为正值,系统稳定性较好,系统快速性受到的影响也不大。随着系统各个参数变化，系统增益也发生变化，因此比例系数也要相应的发生变化。校正后的系统伯德图如

图3-2所示。

以一个仿真系统为例,负载分别为惯性负载和弹性负载,m=1k ｇ,K=1０0０000Ｎ/m ，控制系统的输出力为F=2000Ｎ,选取单出杆气压缸,缸径D ＝100mm ，活塞杆直径为d ＝20m ｍ,气缸行程为ｌ=300mm,伺服阀的固有频率

图3-1 气压力伺服系统

图3-2 比例校正后的气

ωsv=500ｒａｄ/s，阻尼比ζｓv=0．５, 此时ωm>ωsv。按上面的Simｕｌｉnk模型进行仿真,力响应曲线为图3-3,此时系统不稳定,对此进行比例控制，=0.01此时力响应曲线如图3-4所示,系统稳定。

比例系数为K

ｐ

图3-3 力响应曲线图3-4 比例校正后的下面分析各个参数在这种情况下对稳定性的影响。

a)质量负载m的影响

根据传递函数的公式知，m的大小影响负载固有频率,系统固有频率及阻尼比,但是对系统增益没有影响。ｍ的增大使负载固有频率和系统固有频率减小,使ωm向ωsv靠近，并且使系统的阻尼比减小，谐振峰值增加。因此,在其他条件不变的情况下,增大ｍ不利于系统的稳定。但是m的增大如果在一定范围内，即负载固有频率不低于伺服阀固有频率,则系统可以通过比例调节达到稳定。

b)负载弹簧刚度Ｋ的影响

根据传递函数的公式知，K的大小影响负载固有频率、系统固有频率、阻尼比及其系统增益。K的增大使负载固有频率、系统固有频率增加，并且距离靠近，影响可以近似抵消，使斜振频率远离伺服阀固有频率,但是系统阻尼比减小,由于谐振峰值不是影响稳定性的主要原因，对系统影响较小。K值越大，系统增益越大,但是系统增益与K的关系并不是线性的，K值越大，增益变化越慢。总体来说,K的增加对系统的影响是多方面的,在负载固有频率不低于伺服阀固有频率的范围内，总体影响较小。

c)气缸两腔压力及面积的影响

气缸两腔压力及面积影响系统固有频率、阻尼比及系统增益。气缸两腔面积、压力越大,系统固有频率越大,阻尼比越小，系统增益越小。在负载固