芝诺悖论的极限分析

芝诺悖论的极限分析

学生：王慧文指导教师：岳进

摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。

关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断

引言：

数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的容,促进了数学的发展。

芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。

芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。

1、悖论对数学产生的作用

1.1从悖论说起

什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。

1.2数学悖论及其引发的是三次数学危机

数学悖论作为悖论的一种，主要产生在数学研究中。数学悖论，是指在数学领域中既有数学规中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾能够在新的数学规中得到解决。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这些矛盾促使数学的大发展，数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的。

1.2.1第一次数学危机的产生及其影响

希帕索斯悖论导致数学史上的第一次危机。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现

等腰直角三角形一斜边与直角边的比不能归结为整数或整数之比[2]，这一发现严重地触犯了毕达哥拉斯学派的信条，在当时它直接导致了认识上的危机，希帕索斯的这个发现史称希帕索斯悖论，从而引发了数学史上的第一次危机。在那以前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为在当时占统治地位的数学规，希帕索斯发现的无理数，披露了原有数认识，学规的局限性，由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误造成的。

希帕索斯的发现，促使人们对无理数的认识，也告诉人们直觉和经验不一定是对的，而推理和证明才是可靠的。但是，由于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及此后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，从而开始了几何优先发展的时期，在此后多年，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。

1.2.2第二次数学危机的产生及其影响

第二次数学危机主要涉及微积分理论，而其理论基础是建立在无穷小分析之上的在实际应用中，无穷小分析必须既是零，又不是零，以求速度为例，瞬时速度是△s/△t，当△t变成零时的值。△t既等于零又不等于零,当时的英国大主教对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击，他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的结果实际上是依靠双重错误得到不科学却正确的结果这是因为错误互相抵偿的缘故在数学史上，称之为贝克莱悖论[3]。这一悖论的发现，导致了数学史上的第二次危机，引起人们对微积分基础理论的争论。

贝克莱悖论提出以后许多著名数学家试图把微积分重新建立在可靠的基础之上，法国数学家柯西建立起以极限为基础的现代微积分体系，但柯西的体系仍有尚待改进处，比如他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西，缺乏实数理论，法国数学家尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，首次用-εδ方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续导数、和积分等，建立了该学科的严格体系。

1.2.3三次数学危机的产生及其响

严格的实数理论和极限理论的建立，上述两次数学危机得到了解决，但是，由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而由集合论悖论所导致的第三次危机可以看作是前两次危机的继续与深化，它所涉及的问题比前两次更为广泛，因而危机感也更为深刻。

1902年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872－1970）宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性史称罗素悖论，罗素悖论的发现，从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性，于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机[4]。

为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力，由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派，以布劳威尔为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派，这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段，三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支证明论等的形成上。

由上述数学悖论所引起的数学史上的三次危机，都是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力，这些努力促进了数学的发展，促进了数学基础的研究，对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学历史局限性的认识，因而解决数学悖论的过程则是发展认识并超载这种历史局限性的过程，正如黑格尔所说：“矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解”。在数学和逻辑史上，每一次悖论的发现和相对解决，都推进了数学和逻辑的发展。

2、芝诺悖论的容及实质

2.1二分法

芝诺说:“运动没有真理性,运动者在到达目标以前必须走过空间一半。”一半的空间又有其一半,所以运动者首先又须到达这一半的一半,如此类推,以至无穷。这就使得运动者甚至连动都不能动。任何人当然都可以一言不发地站起来走来走去,用行动来宣布运动是真实存在。悖论是以空间的无限可分为基础的。用现在的数学概念来解说,则悖论中对空间“一半一半”地分割如此进行下去,会在靠近物体的出发点处得到一个以零为极限的“无穷小量”。于是悖论中包含的矛盾可以表述为:一方面我们要求分割得到的无穷小量能够达到零,好让运动从它的起点开始,换句话说,只有这个无穷小量最终达到了零,我们才会认为运动在一瞬间开始时不是在做“跳跃”(意味着速度无穷大);另一方面我们又要求这个无穷小量不能达到零,否则,无穷多个零怎么能构成有限的长度?这种自相矛盾的境地,就是我们承认空间无限可分产生的悖论。

2.2阿基里斯

两个物体朝着同一方向运动,其中一个运动得较慢,但是走在前面,另一个运动得较快,追赶着前面的物体。芝诺说:“那走得慢的物体永远不会为那走得较快的追赶上。”因为当第二个到达第一个的出发点的时候,第一个已经前进了,留下一段新的空间,这又需要第二个花费一定分时间才能走过,依此类推,以至无穷。这个论证通常被说成是阿基里斯追赶乌龟的赛跑。这样就会出现与第一个悖论中类似的矛盾:一方面我们要求这个无穷小量达到零,好让阿基里斯追上目标;另一方面我们又要求这个无穷小量不能为零,否则无穷多个零怎么能够组成一段时间呢?因此可以从根本上被归结为同样一个问题:无穷小量到底能不能等于零?这也是数学史上长期争论的的重大基础理论问题。“因此首先我们且承认点和瞬间,并与这个较简单的或至少熟悉的假设和联系来考察这些问题”[5]。

3、芝诺悖论的辨析

3.1芝诺二分法悖论的数学极限辨析

运动着的物体要到达终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先走完这一半的一半，以此类推，以至无穷。假如承认有运动，这运动着的物体连一个点也不能越过。

这个论证过程可以还原如下：

（1）任何运动都是从一个地点到达另外一个地点；因此，如果证明了不可能从任何一个地点到达另外一个地点，那就证明了不可能有运动。

（2）如果一个地点与另外一个地点之间的距离是无穷的，那就不可能从一个地点到达另外一个地点。（3）以上两点结合证明，如果任何一个地点与另外一个地点之间的距离都是无穷的，那就不可能有运动。

（4）任何两地点间的距离都总是可以无穷地分解下去，也就是可以分为无穷多个无穷小的距离，这个事实说明，任何一个地点与另外一个地点之间的距离都是无穷的。

（5）以上两点结合，得出最终结论，运动总不可能。

的确，表面上每一个步骤都可接受，似乎都是正确的。假若接受了（4），即所有的距离都是“无穷”的，那么“有穷”的距离就不存在了，即根据我们千百次的反复经验凝结而成的常识，难道任何情况下都不可能走完？而如果走完是可能的，那我们还可能同时接受（2）么？假如接受了（2），即“无穷”的距离都不可能走完，那么像“半寸”、“一尺”、“两米”这类有着确定数量和确定度量单位的距离，我们还能够真心诚意地把它们归入“无穷”距离这个畴中去么？如果不可能归入，那么我们还可能同时接受（4）么？可见，按照我们的“常识”，（2）与（4）想要同时成立，它们中的“无穷”概念就不可能是同一的，因此，如果我们居然认为它们两者的结合可以推出确定的结论，那么必然违反同一律；而要不违反同一律，我们就必须承认它们两者之一不可接受。既然一个论证中至少有一个不可或缺的前提，因为与我们的客观经验不符而不被我们认可。在常识中，我们有“无穷是走不完的”这样的说法，也有“一个距离无论长短，都可以不断分解为无穷多个无穷小的距离”

这样的想法。并且，两者中的“无穷”，单纯地看数量，也都并非一个确定的数值，芝诺正是利用这一点，故意完成他那表面上看起来完美无缺的论证。其实，深入下去就会发现，常识的两个说法中，“无穷”有着根本的差异。实际上，关于无穷小量在19世纪由柯西等数学家解决：无穷小量自身不为零，但其极限为零[6]。

我们知道长跑家匀速从一点出发跑到另一点，跑完全程。首先，他要跑完路程的前一半，再跑剩下一段的前一半，再跑剩下的前一半的一半，以致无穷。

假设所需的时间为：

+24816T T T T T +++

+

这个加法不可完结，无穷个数相加，长跑家永远跑不到终点，但实际经验告诉我们，若等速行进，设跑一半路程的时间为T ，则跑完全程需要2T 时间。

即： +24816T T T T T ++++是否为2T 。

可以用极限方法解释。

①若在等速运动的前提下，前n 项和

1n 1n n 1112112412

222n T T T T T T S --??- ? ?????=++++==- ? ???- 当n →∞时1lim lim 2122n n n n T T S →∞→∞??=-= ? ???

此结果与实际经验完全相同。 ②若减速运动，所需时间：23T T T +++调和级数，即lim n n S →∞=∞,这种情况下，芝诺所说的是具

有道理的，即人永远跑不到终点。

3.2阿基里斯的极限分析

阿基里斯是希腊神话中的英雄,设他走的速度是0v ,龟的速度1v ，他先让龟走了0s ,然后开始追龟。

下面是用数学求极限方法，通过逻辑运算,得出结果,揭示其荒谬性。

________________________________________________… …

A 0s C 1s D 2s E B

阿和龟同时从A 、C 两地出发时他们相距

0s ，阿到了C 点时，龟走到了D 点，CD 间的距离为1s ，则依次21n s s -。

阿走的AC 路程所用的时间和龟爬CD 路程用的时间相等。同理，阿走CD 的用的时间和龟爬DE 用时相等。可得：

0101s s v

v = ∴0110s v s v =

1201s s v

v = ∴1120s v s v = 同理：2

130s v s v =，110n n s v s v -=

我们可知道阿所走的路程：

2111101210000000++n N n v v v s s s s s s s s s v v v --????=++++=++++ ? ? ? ????? ①

设11m s v =，010m s v =，从而得：10000111+10100100n N s s s s s -??=++++ ??? ②

此为等比数列，则可得：00011101010119910110

n n N s s s s ????-?? ?????????==- ???-，取极限： 00001010110lim lim lim 99109n N n n n s s s s s →∞→∞→∞??=-=> ???

以上阿在追龟的过程中,接近了龟的第一个出发点,龟又爬行了一段距离,阿又接近龟的第二个出发点,… …经过若干次以后,终于在某一时刻、某一地点,赶上了龟,同时又超过了龟。

3.3芝诺悖论的哲学辨析

芝诺悖论是亚里士多德在他的《物理》中述的[7],其中“二分法”是芝诺否定运动真实性的第一个论证。对“二分法”,亚里士多德简短地转述说:“你不能在有限时间越过无穷的点。在你穿过一定距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样触无穷个点[8]。

芝诺的“二分法”揭示了空间的连续性与点截性、可分性与不可分性的矛盾,但把空间的点截性、可分性绝对化了,芝诺提出了连续空间的无限可分性问题。由于空间是连续的,又是可分割的,每一个空间都可以分割为两半。运动者总是必须首先走过这分割过的一半,并且无论我们假定怎样小的空间,也无论我们对这一空间分割了多少次,还是逃脱不了这种分割关系。运动者必须走过这无穷的分割点,永远没有终极。芝诺的空间无限可分性思想与中国古代“一尺之捶,日取其半,万世不竭[9]”的命题,具有十分相似的含义。它肯定了物体的无限可分性。其实，物质是无限可分的,但同时又是不可分的。具体的物体、空间更是如此。正如恩格斯所说:“实际上在一定的围，每一个物都是可分的”[10]。 也就是说，物质是无限可分的,但分割是有一定层次的,任何物质都是可分与不可分的统一。芝诺把可分性绝对化、单一化。并断言:“你不能在有限时间中一个一个接触无穷个点”[11]。

第二，芝诺的“二分法”揭示了有限和无限的矛盾,基于绝对可分性的思想,芝诺在他的“二分法”中提出:“任何一定的空间中都有无穷个点”从微观方面揭示了有限空间的无限性。但是,他在同一个论证中又指出:“你不能在有限时间越过无穷的点”[12]。在他看来，时间是有限的,无限的空间与

有限的时间产生了不可调和的矛盾。芝诺不懂“被限制的无限仍不过只是一有限之物而已”

[13]。我们可以得出他不懂相对和决对的论证关系,对空间、时间绝对化，将无穷分割概念混淆，导致最终形成悖论。

芝诺提出的“阿基里斯与龟”来否定运动的存

[14]，芝诺提出快的要追上慢的，总要到达慢的所

经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段”；当它到达第二个出发点时，慢的又向前走了“一小段”，快的又得赶上这“一小段”，“以至无穷”。就是把两种意义上的“无穷”混为一谈，或者说总是预设了一个“无穷段距离（时间）一定是（永远完不成的）无穷距离（时间）”这样一个错误的前提。诺的错误在于不是客观地从事物的全面联系把握问题,而从主观出发,只承认空间和时间的间断性,不承认它们的连续性;只承认量的无限制接近,不承认量的积累引起质的飞跃,他给阿的行走设置了固定的界限。这就把接近和离开等矛盾排除在运动之外,从而也就从根本上否定了运动的可能性和运动的存在[15]。

结论：芝诺提出的“二分法”与“阿基里斯与龟”是为了说明运动是矛盾的，运动是不存在的,只是假象。因为他的老师“巴门尼德曾争论说运动或变动是不可能的,而据说芝诺为之辩护”，[16]根据自己的主观，否定了运动的客观存在。利用了一些逻辑理论，对自己的理论进行论证。我们可以得出他不懂相对和决对的论证关系,对空间、时间绝对化，将无穷分割概念混淆，导致最终形成悖论。但是，这些悖论对数学极限以及哲学的发展有巨大的作用。

参考文献

[1]景天魁，社会认识的结构与悖论[M]，北京：中国社会科学出版社，1990。

[2]李文林，数学史教程[M]，北京：高等教育出版社，2000。

[3] 张顺燕-，数学的源与流[M]，北京：高等教育出版社，2004。

[4] 马丁&加德纳，从惊讶到思考－数学悖论奇景[M]。北京：科学技术文献出版社，1984。

[5] 罗素,人类的知识[M],北京:商务印书馆,1989。

[6] Boyer,Carl B1 The Concept of Calculus[M].Hafner Publishing Company,1949.

[7] Kline Morris1 Mathematical Thought[M].NewYork: Oxford Univ1Press,19721.

[8] 黑格尔《哲学史讲演录》第一卷。商务印书馆1960年版。第282、285、293、279页。

[9] 见庄子《天下篇》。

[10] 恩格斯《自然辩证法》。人民出版社1971年版。第222、223页。

[11] 黑格尔《哲学史讲演录》第一卷。商务印书馆1960年版。第282、285、293、279页。

[12] 黑格尔《哲学史讲演录》第一卷。商务印书馆1960年版。第282、285、293、279页。

[13] 黑格尔《小逻辑》商务印书馆。1980年版第97、401页。

[14] 陈修斋。欧洲哲学史稿[M]。武汉:湖北人民出版社,1983.21-24。

[15] 李武林。欧洲哲学范畴简史[M]。济南:山东人民出版社,1986.130-131。

[16] 克莱因。古今数学思想:第一册[M]。上海:上海科学技术出版社,1979:40。

Zeno Paradox of Limit Analysis

Student:Wang Hui Wen Tutor:Yue Jin

Abstract: the famous idea of ancient Greek philosopher Zeno put forward “dichotomy”, The absurdity of the conclusion is obvious. But for his argument we seem to be difficult to find out the problem, as if is acceptable. Its conclusion is not acceptable, due to hidden some absurdity in his argument. In the process of the limit in terms of confuse "infinite" with a unified unit of measure. In the aspect of philosophy in violation of the dialectics of the objectivity principle, comprehensive principle and the principle of unity

of opposites; But the proposed zeno's paradox, method of dialectics, the essential elements in the process of the movement and a variety of contradictions, absurdity by logic operation refute zeno's paradox, played a big role in the development of mathematics.as the same time,this paper,by using the mathematical method of limit,though the logic operation,reveal Achilles never overtake the tortoise

conclusion mistakes.

Key words:paradox; Infinite and finite; Motion and static; Continuous and discontinuous