年高考第一轮复习数学不等式的解法一

不等式的解法（一）

●知识梳理

1.一元一次不等式的解法.

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式.

当a ＞0时，解集为{x |x ＞a

b

}；当a ＜0时，解集为{x |x ＜a

b }. 2.一元二次不等式的解法.

任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.

3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.

思考讨论

用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基

1.（2004年全国Ⅳ，5）不等式3

2-+x x x ）

（＜0的解集为 A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3} B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3} C.{x |x ＜－2或x ＞0} D.{x |x ＜0或x ＞3} 解析：在数轴上标出各根. 答案：A

2.（2003年北京）若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于

C.－4

D.－8

解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，

即－8＜ax＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），易检验a=－4.

答案：C

3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x+1）|＜1的解集是

A.（1，4）

B.（－1，2）

C.（－∞，1］∪［4，+∞）

D.（－∞，－1］∪［2，+∞）

解析：由题意知f（0）=－1，f（3）=1.

又| f（x+1）|＜1 －1＜f（x+1）＜1，

即f（0）＜f（x+1）＜f（3）.

又f（x）为R上的增函数，

∴0＜x+1＜3.∴－1＜x＜2.

答案：B

4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为____________.

解析：当x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1.

∴x=1；

当x－1＜0时，原不等式化为x2+x－2≤0，

解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1.

综上，x≥－2.

答案：{x|－2≤x≤1}

（文）不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b=_______.

解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，

∴????

?????

==+-<.2310a b

a a

b a ，，

解得?????

-=-=121b a ，或??

?-=-=.21b a ， ∴a +b =－2

3或－3. 答案：－2

3或－3

5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______.

解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示， 再画出f （－x ）的图象即可. 答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析 【例1】 解不等式

3

252

---x x x ＜－1.

剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.

解：原不等式变为

3

252

---x x x ＋1＜0，

即322

322--+-x x x x ＜0??????<-->+-?????>--<+-?0

320

230320232

222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3. ∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.

【例2】 求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义.

剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应?

?

?>.00＜，

Δm

解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则 解得m ＞4

1

.

评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：?

??<>.00Δa ，

若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.

思考讨论

本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，?

?

?≥>.00Δm ，

解m 即可. 【例3】 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.

剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.

解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.

则?????<---=<----=-.0121220121222

2）（）（）

（，）（）（）

（x x f x x f 解得

271+-＜x ＜2

3

1+. 深化拓展

1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.

2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练

夯实基础

1.（2004年重庆，4）不等式x +1

2

+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞） B.（－∞，－1）∪（0，1） C.（－1，0）∪（0，1）

D.（－∞，－1）∪（1，+∞）

解法一：x +

12+x ＞2?x －2+1

2+x ＞0?11+-x x x ）（＞0?x （x －1）（x +1）＞0?

－1＜x ＜0或x ＞1.

解法二：验证，x =－2、2

1不满足不等式，排除B 、C 、D. 答案：A

2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（2

m ，2n ），其中0＜m ＜2n ，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是

A.（m ，2

n

） B.（m ，2n ）∪（－2

n ，－m ） C.（

2

m ，2n

）∪（－n ，－m ）

D.（

2m ，2n ）∪（－2n ，－2

m

） 解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（

2

m ，2n

）. ∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2

n

，－2

m

）， 即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2

m

）. 由f （x ）·g （x ）＞0得??

?>>00）（，）（x g x f 或???<<.00）

（，）（x g x f .又0＜m ＜2n

， ∴m ＜x ＜2

n

或－2

n ＜x ＜－m . 答案：B

3.若关于x 的不等式－2

1x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______. 解析：由题意，知0、2是方程－2

1

x 2+（2－m ）x =0的两个根，

∴－

2

12--m

=0+2.∴m =1. 答案：1

4.（2004年浙江，13）已知f （x ）=???<-≥.

01

01x x ，

则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________.

解析：当x +2≥0，即x ≥－2时. x +（x +2）f （x +2）≤5

?2x +2≤5?x ≤

2

3. ∴－2≤x ≤2

3

.

当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5

?x +（x +2）·（－1）≤5?－2≤5，

∴x ＜－2. 综上x ≤2

3

. 答案：（－∞，2

3］

5.（2004年宣武二模题）定义符号函数sgn x =??

?

??<-=>.010001

）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式

（x +2）＞（2x －1）sgn x .

解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1. ∴0＜x ＜3. 当x =0时，成立. 当x ＜0时，x +2＞1

21

-x . x －

1

21

-x +2＞0.

1

22

4122--+--x x x x ＞0.

1

23

322--+x x x ＞0.∴－4333+＜x ＜0.

综上，原不等式的解集为{x |－

4

33

3+＜x ＜3}. 6.（2003年北京西城区一模题）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ）. 解：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1；

②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥a

2或x ≤－1； 由于a

2

－（－1）=

a a 2

+，于是 当－2＜a ＜0时，a 2≤x ≤－1； 当a =－2时，x =－1； 当a ＜－2时，－1≤x ≤a

2.

综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a 2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a

2≤x ≤－1；

当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a

2. 培养能力

7.（2004年春季安徽）解关于x 的不等式log a 3x ＜3log a x （a ＞0，且a ≠1）. 解：令y =log a x ，则原不等式化为y 3－3y ＜0， 解得y ＜－3或0＜y ＜3， 即log a x ＜－3或0＜log a x ＜3.

当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a 3-}∪{x |a

3

＜x ＜1}；

当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a 3-}∪{x |1＜x ＜a 3

}.

8.有点难度哟！

（2003年天津质量检测题）已知适合不等式|x 2－4x +a |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式.

解：∵x ≤3，∴|x －3|=3－x .

若x 2－4x +a ＜0，则原不等式化为x 2－3x +a +2≥0.

此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集，∴x 2－4x +a ＜0不成立. 于是，x 2－4x +a ≥0，则原不等式化为x 2－5x +a －2≤0.∵x ≤3，

令x 2－5x +a －2=（x －3）（x －m ）=x 2－（m +3）x +3m ，比较系数，得m =2，∴a =8. 此时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新

9.关于x 的不等式?????<+++

>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值

范围.

解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.

∵?????<+++

>--055220222k x k x x x ）（，

的整数解为x =－2， 又∵方程2x 2+（2k +5）x +5k =0的两根为－k 和－2

5.

①若－k ＜－2

5，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}； ②若－2

5

＜－k ，则应有－2＜－k ≤3. ∴－3≤k ＜2.

综上，所求k 的取值范围为－3≤k ＜2. ●思悟小结

1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.

2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.

3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.

4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.

●教师下载中心

教学点睛

1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.

2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.

3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.

拓展题例

【例1】 （2003年南京市第二次质量检测题）解关于x 的不等式12

-ax ax ＞x （a ∈R ）.

解法一：由12-ax ax ＞x ，得12-ax ax －x ＞0，即1

-ax x

＞0.

此不等式与x （ax －1）＞0同解. 若a ＜0，则a

1＜x ＜0； 若a =0，则x ＜0； 若a ＞0，则x ＜0或x ＞a

1.

综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a

1，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；

a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a

1，+∞）.

解法二：由12-ax ax ＞x ，得12-ax ax －x ＞0，即1

-ax x

＞0.

此不等式与x （ax －1）＞0同解. 显然，x ≠0.

（1）当x ＞0时，得ax －1＞0. 若a ＜0，则x ＜a

1，与x ＞0矛盾， ∴此时不等式无解；

若a =0，则－1＞0，此时不等式无解； 若a ＞0，则x ＞a 1.

（2）当x ＜0时，得ax －1＜0. 若a ＜0，则x ＞a

1，得a

1＜x ＜0； 若a =0，则－1＜0，得x ＜0； 若a ＞0，则x ＜a 1，得x ＜0.

综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a

1

，0）； a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；

a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a

1，+∞）.

【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.

解：由题意可得

即????

???--≥---≤+≤2222

21sin 49cos 2sin 3）

（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立. 故???

?

???

--≥--≤≤max

22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－2≤a ≤

2

10

1-.