【6套】江苏省常熟中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析【冲刺实验班】

中学自主招生数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．﹣2019的相反数是（）

A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣

2．如图所示的几何体的左视图是（）

A．B．

C．D．

3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）

A．平均数B．方差C．众数D．中位数

4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

5．下列运算正确的是（）

A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9

C．（x2）3＝x5D．5x2?x3＝5x5

6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）

A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm2

7．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）

A．B．

C．D．

8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

9．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）

A．2 B．C．﹣1 D． +1

10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）

A．B．6C．8D．﹣4

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．因式分解：a2+2ab＝．

12．不等式的解集是．

13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．

14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝

+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．

15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．

16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．

三、解答题

17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°

（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝

18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．

（1）求证：△BOF≌△COE．

（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．

19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．

（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；

（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）

20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）

（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；

（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．

21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A 的切线相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD＝AE．

（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．

22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB 上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．

（1）求抛物线的表达式；

（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．

②AE最小值为．

23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．

（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．

（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．

（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．

（1）求AD的长；

（2）求证：△BEF∽△BDP；

（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；

（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为

S 1、S

2

、S

3

，则S

1

：S

2

：S

3

的值为．

参考答案

一、选择题

1．解：因为a的相反数是﹣a，

所以﹣2019的相反数是2019．

故选：A．

2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．

3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，

故应最关心这组数据中的众数．

故选：C．

4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；

B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；

C、结果是x6，故本选项不符合题意；

D、结果是5x5，故本选项，符合题意；

故选：D．

6．解：圆锥的母线长＝＝5，

所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．

故选：C．

7．解：设原计划x天完成，根据题意得：

﹣＝5．

故选：B．

8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，

∴m2﹣2019m+1＝0，

∴m2＝2019m﹣1，

∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2

＝m++1

＝+1

＝+1

＝2019+1

＝2020．

故选：C．

9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90°，

∴∠EAD＝∠EBF＝90°，

∵AB＝1，∠BEF＝30°，

∴BE＝BF，

∴x+1＝x，

解得：x＝，

∴AE＝BF＝CG＝DH＝，

∴AH＝AD+DH＝2+＝，

∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，

故选：C．

10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，设D（x，），则F（x，0），

由图象可知x＞0，k＞0，

∴△DE F的面积是×?x＝k，

同理可知：△CEF的面积是k，

∴△CEF的面积等于△DEF的面积，

∴边EF上的高相等，

∴CD∥EF，

∵BD∥EF，DF∥BE，

∴四边形BDFE是平行四边形，

∴BD＝EF，

同理EF＝AC，

∴AC＝BD，

∵CD＝5AB，

∴AD＝3AB，

由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（0，），

∴OA＝1，OB＝，

∵OB∥DF，

∴＝＝＝，

∴DF＝3，AF＝3，

∴OF＝3﹣1＝2，

∴D（2，3），

∵点D在反比例函数图象上，

∴k＝2×＝6，

故选：B．

二、填空题

11．解：原式＝a（a+2b），

故答案为：a（a+2b）

12．解：，

由①得：x≤，

由②得：x＞0，

∴不等式组的解集为：0＜x≤．

故答案为：0＜x≤．

13．解：∵AB∥CD，

∴∠C+∠AEC＝180°，

∵∠C＝110°，

∴∠AEC＝70°，

∵EF平分∠AEC，

∴∠AEF＝35°，

∵EF⊥EG，

∴∠FEG＝90°，

∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，

故答案为：55

14．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，

∴B（0，b），

∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，

∴B（0，b），

当x＝﹣时，y＝2b，

∴C（﹣，2b），

∴△OAC的面积＝×2b＝，

∴b＝，

故答案为．

15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），∴OC＝，AC＝a，

把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，

∴D点坐标为（，2﹣2），

∴CD＝2﹣2，

∵AE⊥CB，

∴CE＝BE＝BC＝1，

在Rt△ACE中，AC＝，

∴AE＝＝＝2，

∵y＝2x﹣2，

当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，

∴G（0，﹣2），F（1，0），

∴OG＝2，OF＝1，

∵AC∥y轴，

∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，

∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，

∴DE＝2AE＝4，

∴AD＝＝＝2，

∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，

故答案为：4﹣2．

16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：则四边形EMCH是矩形，

∴EM＝CH，CM＝EH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，在△ABE和△CBE中，，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，

同理：△ADE≌△CDE，

∴△ADE的面积＝△CDE的面积，

∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，

∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠ABC+∠AEF＝180°，

∴A、B、F、E四点共圆，

∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，

∴EF＝EC，

∵EM⊥BC，

∴FM＝CM＝EH＝DH，

设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，

∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，

∴，

解得：x＝，

∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，