高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷

高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷

一、 选择题（每题5分，共60分）

1.满足()()f x f x '=的函数是

A . f (x )＝1－x

B. f (x )＝x

C . f (x )＝0

D . f (x )＝1

2.曲线3

4y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 A . 74y x =+

B. 72y x =+

C. 4y x =-

D. 2y x =-

3.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为

A. 3-

B. 1-

C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)为

A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定

5. 已知()f x =3x ·sin x x ，则(1)f '=

A .

31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3

1

sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是

A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19

7．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，

则

A f (x )=g (x )

B f (x )－g (x )为常数函数

C f (x )=g (x )=0

D f (x )+g (x )为常数函数

8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 有极小值点 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

9．设函数()f x 在定义域可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 （ ）

A

C

D

10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋

f (x )

g ′(x )>0，

且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是

A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题： ⑴若

()0b a

f x dx >?

，则f (x )>0； ⑵20

sin 4xdx =?

π;

⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0

()()a a T T

f x dx f x dx +=?

?

；

其中正确命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.0

12.已知函数2

()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列?

??

???)(1n f

的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）

2012

2011

.

2011

2010.

2010

2009.

2009

2008

.

D C B A 二.填空题（每题5分，共20分）

13.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值围是__ 14.函数3

2

()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____

15.周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 16.已知)(x f 为一次函数，且10

()2

()f x x f t dt =+?

，则)(x f =______ .

三．解答题（共70分）

17. (本小题满分10分)

已知曲线 3

2y x x =+- 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限.

（1）求P 0的坐标；

（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.

18．（本小题满分12分）

将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

19.(本小题满分12分)

已知a 为实数，))(4()(2

a x x x f --= （1）求导数)(x f '；

（2）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； （3）若)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值围. 20.(本小题满分12分)

已知函数()ln(1)f x x x =+-．

（1）求函数f (x )的单调递减区间； （2若1x >-，证明：1

1ln(1)1

x x x -

≤+≤+． 21. (本小题满分12分)

已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1

()()(0)()

g x af x x f x '=

+≠' （1）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;

（2）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; （3）在⑵的条件下,求直线27

36

y x =

+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 22．(本小题满分12分)

若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，

则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2

()h x x =，()2eln (e x x ?=为自然对数的底数)． （1）求()()()F x h x x ?=-的极值；

（2）函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

《导数及其应用》参考答案【理科】

一、选择题 CDBCB BBADD BD 二.填空题

13.2a > 或1a <- 14. 37- 15.

400027

π cm 2

16. ()1f x x =- 三．解答题

17.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2

+1，

由已知得3x 2

+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14

-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为1

4(1)4

y x +=-

+即4170x y ++=. 18．解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，

∴方盒的体积2(2)((0,)),2

a

V x a x x =-∈

121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226

a a a a a

V a x a x V x x x x V =--==

==?∈>令则由且对于 (,),'0,62a a

x V ∈<∴函数V 在点x ＝a

6处取得极大值，由于问题的最大值存在， ∴V (a

6)＝2a 3

27即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a

6

．

19. 解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2

--='ax x x f

⑵由0)1(=-'f 得21=

a ,此时有43)(),21)(4()(2

2--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2

9

)1(,2750)34(==-=--=f f f f

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.27

50

-

⑶解法一:423)(2

--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得

,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即

{480840

a a +≥-≥ ∴－2≤a ≤2.

所以a 的取值围为[－2,2]. 解法二:令

0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得:

1,2

12)x x x =<

所以.423)(2

--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当2x -或2x 时, )(x f '≥0,

从而1

2x -, 2

2x ,

即???+≤+-≤+612.

61222

a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.

∴a 的取值围是[2,2]-.

20.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1

x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．

∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）． ⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．

令1

()ln(1)11

g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=

-++＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0．

∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1

ln(1)11

x x +≥-

+． 综上可知，当1x >-时，有1

1ln(1)1

x x x -≤+≤+．

21.解:⑴∵()ln f x x =,

∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =-

∴当0x >时,1()f x x '=

; 当0x <时,11()(1)f x x x

'=?-=-. ∴当0x ≠时,函数()a

y g x x x ==+.

⑵∵由⑴知当0x >时,()a

g x x x

=+,

∴当0,0a x >>时, ()≥g x x =

.

∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是∴依题意得2=∴1a =.

⑶由27361y x y x x ?=+????=+??

解得2121322,5132

6x x y y ?==????

??=??=???

∴直线27

36

y x =

+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()3

6S x x dx x ??=+-+?????=2ln 23ln 247

-+

22.解(1)

()()()F x h x x ?=-=22eln (0)x x x ->，

2e ()2F x x x '∴=-

=

当x =

()0F x '=．

当0x <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；

当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；

∴当x =

()F x 取极小值，其极小值为0．

(2)解法一：由（1）可知函数)(x h 和)(x ?

的图象在x =因此若存在)(x h 和

)(x ?的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为k

，则直线方程为e (y k x -=

，即e y kx =+-．

由()e R)h x kx x ≥+-∈

，可得2e 0x kx --+当R x ∈时恒成立．

2(k ?=-，

∴由0≤?

，得k =．

下面证明()e x φ≤-当0>x 时恒成立．

令()()e G x x ?=-

+2eln e x =-+，则

2e ()G x x '=

-=，

当x =

()0G x '=．

当0x <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；

当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；

∴当x =

()G x 取极大值，其极大值为0．

从而()2e ln e 0G x x =-+≤，即()e(0)x x φ≤->恒成立．

∴函数()h x 和()x ?存在唯一的隔离直线e y =-．

解法二： 由(1)可知当0x >时，()()h x x ?≥ (当且仅当x =) ．

若存在()h x 和()x ?的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得

()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ?≤+>恒成立，

令x =

e b ≥且e b ≤

e b ∴=，即e b =-

后面解题步骤同解法一．