2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷(文科)(五)(有解析)

2020年安徽省六安一中高考数学模拟试卷(文科)(五)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合U=R，A={x∈N|x≤3}，B={?2,?1,0，1，2}，则(?U A)∩B等于()

A. {?2,?1,0}

B. {?2,?1}

C. {1,2}

D. {0,1，2}

2.若复数z满足iz=1+2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为()

A. (?2,?1)

B. (?2,1)

C. (2,1)

D. (2,?1)

3.已知点(a,1

8

)在幂函数f(x)=(a?1)x b的图象上，则函数f(x)是()

A. 定义域内的减函数

B. 奇函数

C. 偶函数

D. 定义域内的增函数

4.已知双曲线C：y2

a2?x2

b2

=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为

()

A. 1

2

B. 1

C. 2√2

D. √2

5.某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：

次数2345

人数2015105

平均每人参加活动的次数为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6.设向量a?=(cos23°,cos97°)，b? =(sin97°,sin23°)，则a??b? 等于()

A. ?1

2B. 1

2

C. √3

2

D. ?√3

2

7.按如图所示的程序框图，若输入a=81，则输出的i=()

A. 14

B. 17

C. 19

D. 21

8. 已知|a ? |=10，|b ? |=12，且a ? ?(1

2b ? )=?30，则a ? 和b ? 的夹角为( )

A. 60°

B. 120°

C. 135°

D. 150°

9. 实数x 、y 满足约束条件{y ≤1

y ?x ≥0y +x ≥0

，则目标函数z =y+1

x (x ≠0)的取值范围是( )

A. (?2,2)

B. (?∞,?2)∪(2,+∞)

C. (?∞,?2]∪[2,+∞)

D. [?2,2]

10. 已知函数f(x)={x ?1,x ≤1

lnx,x >1，则满足f(1?t)

A. (?∞,0)

B. (?1,0)

C. (0,+∞)

D. (0,1)

11. 如图所示的平面图形中，AE =ED =1，AB =BC =2，以线段AB 所在直线

为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )

A. π

B. 3π

C. 8π

D. 9π

12. 函数f(x)=(x +2)lnx 的零点为 ( )

A. ?2和1

B. (?2 , 0)和(1 , 0)

C. (1 , 0)

D. 1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.MF 的延长线

交C 于点P 若M 为FN 的中点，则|PN|=______．

14. 现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，

1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…记作数列{a n }，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 80=_______．

15.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为4的圆面的四

分之一，则该几何体的体积为______ ．

16.数列{a n}满足a n=3a n?1+1，a1=1，则a2=______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a?c=2bcos C．

+B)的值；

(1)求sin(A+C

2

(2)若b=√3，求c?a的取值范围．

18.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株

感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计．规定：植株吸收在6mg(包括6mg)以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．

编号0102030405060708091011121314151617181920

吸收量

683895662775106788469

(mg)

(1)完成以下2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存

活”与“制剂吸收足量”有关？

吸收足量吸收不足量合计

植株存活1

植株死亡

合计20

(2)若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”

的概率，

参考数据：

P(K2?k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K2=n(ad?bc)2

，其中n=a+b+c+d．

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相

垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE//CD，DC=AC=

2AE=2．

(1)求证：AF//平面BDE；

(2)求三棱锥E?BCD的体积．

20.已知椭圆(a>b>0)过点，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，第

一象限的点P满足｜PF1｜+｜PF2｜=2a，且PF2⊥x轴，｜PF2｜=3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点M，N在椭圆C上，且直线MP，NP关于直线PF2对称，求直线MN的斜率．21.设f(x)=(4x+a)lnx

，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直．

3x+1

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若对于任意的x∈[1,e]，f(x)≤mx恒成立，求m的取值范围．

22. 平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的参数方程为{x =1+2cosα

y =2+2sinα

(α为参数).以O 为极点，x 轴的非负

半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√2ρcos(θ?π

4)=2． (Ⅰ)直线l 上的点M 到极点O 的距离是√2，求点M 的极坐标(θ∈[0,2π))； (Ⅱ)设直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，求三角形OAB 的面积．

23. 设函数f(x)=|x +m|+|2x +1|．

(Ⅰ)当m =?1，解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)求f(x)的最小值．

【答案与解析】1.答案：B

解析：解：A={x∈N|x≤3}={0,1，2，3}，

故?U A={x|x≠0且x≠1，且x≠2，且x≠3}；

故(?U A)∩B={?2,?1}；

故选B．

由题意先求A={0,1，2，3}，再求?U A，最后求(?U A)∩B．本题考查了集合的运算，属于基础题．

2.答案：D

解析：解：z=1+2i

i =(1+2i)(?i)

?i2

=2?i，

∴在复平面上复数z对应的点的坐标为(2,?1)．

故选：D．

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B

解析：

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．

根据题意求出a、b的值，写出f(x)的解析式，即可判断它的奇偶性和单调性．

解：点(a,1

8

)在幂函数f(x)=(a?1)x b的图象上，

∴a?1=1，解得a=2；

故2b=1

8

，解得b=?3，

∴f(x)=x?3；

∴函数f(x)是定义域上的奇函数，在(?∞,0)和(0,+∞)上是减函数．

故选：B．

4.答案：C

解析：解：∵双曲线C：y2

a2?x2

b2

=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且经过点(2,2)，∴c

a

=√3，4

a2

?4

b2

=1，

c2=a2+b2，

∴a=√2，b=2，∴C的实轴长为2√2故选：C．

利用双曲线C：y2

a ?x2

b

=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且经过点(2,2)，建立方程，即可求出C的

实轴长．

本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.答案：B

解析：

本题考查频率分布表平均数的计算，属于基础题．

解：根据平均数的定义计算即可．根据题意，计算这组数据的平均数为2×20+3×15+4×10+5×5

20+15+10+5=150

50

=3．

故选B．

6.答案：C

解析：解：∵向量a?=(cos23°,cos97°)，b? =(sin97°,sin23°)，

∴a??b? =cos23°sin97°+cos97°sin23°=sin(97°+23°)=sin120°=sin60°=√3

2

．

故选：C．

利用数量积的坐标运算、两角和差的正弦公式即可得出．

本题考查了数量积的坐标运算、两角和差的正弦公式，属于基础题．

7.答案：A

解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+..i的值，当S>81时，输出i+1的值．

由于S=1+2+3+?+i=i(i+1)

2

，

当i =12时，S =12×132=78<81，

当i =13时，S =13×142

=91>81，满足退出循环的条件，故输出i 的值为13+1=14．

故选：A ．

模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算S =1+2+3+..i 的值，当S >81时，输出i +1的值，由等差数列的求和公式即可计算得解．

本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，模拟程序的运行得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

8.答案：B

解析：解：∵a ? ?(1

2

b ? )=?30，∴a ? ?b ? =?60． ∴cos =

a

? ?b ? |a ? ||b

? |=?6010×12=?1

2．

∴a ? 和b ? 的夹角为120°． 故选：B ．

利用向量夹角公式即可得出．

本题考查了向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9.答案：C

解析：解：由实数x 、y 满足约束条件{y ≤1

y ?x ≥0y +x ≥0，作出可行

域如图，

由图形可得A(?1,1)，B(1,1)， 目标函数z =

y+1x

的几何意义为可行域内的动点与定点

D(0,?1)连线的斜率， ∵k DA =

1+1?1

=?2，k DB =

1+11

=2，

∴函数z =

y+1x

的取值范围是(?∞,?2]∪[2,+∞)．

故选：C ．

由约束条件作出可行域，再由目标函数z =

y+1x

的几何意义，即可行域内的动点与定点O(0,0)连线的

斜率求解．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

10.答案：C

解析：

本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．

由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1?t <1+t ，求得t 的范围．

解：函数f(x)={x ?1,x ≤1lnx,x >1，

可得x >1时，f(x)=lnx 递增；

x ≤1时，f(x)=x ?1递增，且x =1处f(1)=0， 可得f(x)在R 上为增函数，

由f(1?t)0，即t 的范围是(0,+∞)． 故选：C ．

11.答案：B

解析：

本题主要考查圆锥体积的计算，考查空间想象能力，属于基础题．

根据已知得出旋转体是由两个圆锥体叠加而成，故分别求出两个圆锥的体积即可． 解：∵所示的平面图形中，AE =ED =1，AB =BC =2， ∴以线段AB 所在直线为轴旋转一周所得的 几何体的体积为1

3π×12×1+1

3π×22×2=3π． 故选B ．

12.答案：D

解析：

本题考查了函数的零点，属于基础题． 可以根据f(x)=0可以得出答案．

解：由f(x)=0得(x+2)lnx=0，因为x>0，所以x+2>0，所以lnx=0，解得x=1，故选D．

13.答案：√209

解析：解：抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0)，M是C上一点，

FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：±2√2，不妨M(1,2√2)，

则N(0,4√2)，

FN的方程为：x

2+y

4√2

=1

联立{x

2

+y

4√2

=1

y2=8x

，可得：y2+2√2y?16=0，

可得：4√2+y P=?2√2，

可得P(3,?6√2)，

|PN|=√(3?0)2+(?6√2?4√2)2=√209．

故答案为：√209．

求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解P的坐标，利用距离公式求解即可．

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

14.答案：4108

解析：解：由题设知杨辉三角的前12行共有1+2+3+?+12=78个数，

其和为：20+21+22+?+211=212?1=4095，

又a79与a80是第13排的1与12，

∴S80=4095+1+12=4108，

故答案为：4108．

数列{a n}中前78项在杨辉三角的第一排到第12排，每排的和为二项式系数和，

其和为：20+21+22+?+211=212?1=4095，a79与a80是第13排的1与12，全部相加可得结果．

本题主要考查杨辉三角及数列求和，属于中档题．

15.答案：16π

解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，

其底面面积S=1

4

π42=4π，

高?=4，

故几何体的体积V=S?=16π，

故答案为；16π

由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

16.答案：4

解析：解：a n=3a n?1+1，a1=1，

则a2=3a1+1=3+1=4．

故答案为：4．

利用数列递推关系即可得出．

本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a?c=2bcosC=a2+b2?c2

2ab

×2b，

整理可得，a2+c2?b2=ac，cosB=a2+c2?b2

2ac =1

2

，

又，故，，所以；

(2)由(1)得sinB=√3

2

，

所以a

sinA =c

sinC

=b

sinB

=2，从而a=2sin A，c=2sin C．

所以c?a=2sinC?2sinA=2sin(2π

3

?A)?2sinA

=√3cosA?sinA=2sin(π

3

?A)．

因为A+C=2π

3，所以0

3

，从而?π

3

<π

3

?A<π

3

，

所以?√3<2sin(π

3

?A)<√3，

故c?a的取值范围为(?√3,√3)．

解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．

(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；

(2)由已知结合正弦定理可表示c?a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．

18.答案：解：(1)由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：

吸收足量吸收不足量合计

植株存活12113

植株死亡347

合计15520

计算K2=20(12×4?3×1)2

13×7×15×5

≈5.934<6.635，

所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；

(2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株，设事件A：抽取的3株中恰有1株存活，记存活的植株为a，死亡的植株分别为b1，b2，b3，b4，

则选取的3株有以下情况：{a,b1,b2}，{a,b1,b3}，{a,b1,b4}，{a,b2,b3}，{a,b2,b4}，{a,b3,b4}，{b1,b2,b3}，{b1,b2,b4}，{b1,b3,b4}，{b2,b3,b4}共10种，

其中恰有一株植株存活的情况有6种，

所以P(A)=6

10=3

5

．

解析：(1)由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

(2)用列举法计算基本事件总数，求出对应的概率值．

本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：证明：(1)如图，取BD的中点P，连结EP，

FP，则PF?//1

2

DC，

∵EA?//1

2DC ，∴EA?//

PF ， ∴四边形AFPE 为平行四边形， ∴AF//PE ，

∵AF ?面BDE ，PE ?面BDE ， ∴AF//面BDE ．

解：(2)∵面ABC ⊥面ACDE ，且交线为AC ， 又∵∠BAC =90°，∴BA ⊥AC ， ∴BA ⊥面ACDE ，

∴V E?BCD =V B?ECD =1

3×BA ×S △ECD =1

3×2×1

2×2×2=4

3．

解析：(1)取BD 的中点P ，连结EP ，FP ，推导出四边形AFPE 为平行四边形，则AF//PE ，由此能证明AF//面BDE ．

(2)推导出BA ⊥面ACDE ，从而V E?BCD =V B?ECD ，由此能求出三棱锥E ?BCD 的体积．

本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.答案：解：(1)依题意，{8

a 2

+6

b 2=1b 2

a =3

，解得a =4，b =2√3， 故椭圆C ：x 216+y 212

=1； (2)因为直线MP ，NP 关于直线PF 2对称， 设PM 斜率为k ，则PN 斜率为?k ；

由(1)可知，P(2,3)，故可设PM 方程为y ?3=k(x ?2)， 与椭圆联立得{y ?3=k(x ?2)

3x 2+4y 2=48，

化简得：(3+4k 2)x 2+8(3k ?2k 2)x +4(4k 2+9?12k)?48=0； 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则2+x 1=8k(2k?3)3+4k 2

，

同理2+x 2=8k(2k+3)3+4k 2

，故x 1+x 2=

16k 2?123+4k 2

，x 1?x 2=?48k

3+4k 2，

，

即直线MN 的斜率为12．

解析：

本题考查椭圆及椭圆的方程，zhx 直线与椭圆的位置关系，属中档题． (1)由题目条件直接求出a 和b ，即得椭圆方程；

(2)设PM 方程为y ?3=k(x ?2)， 与椭圆联立得{y ?3=k(x ?2)

3x 2+4y 2=48

，利用韦达定理即得

为定值．

21.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=

(4x+a)lnx 3x+1

(x >0)，求导，

f′(x)=

(

4x+a

x

+4lnx)(3x+1)?3(4x+a)lnx (3x+1)2

，

曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率k =1，即f′(1)=1，解得a =0， ∴a 的值0；

(Ⅱ)对于任意的x ∈[1,e]，f(x)≤mx ，即4xlnx

3x+1?≤?mx 恒成立， 即4lnx

3x+1?≤?m 恒成立， 设g(x)=4lnx

3x+1，g′(x)=

12(1?lnx)+4x

(3x+1)2

，

由x ∈[1,e]，则g′(x)>0，g(x)在[1,e]单调递增， ∴g(x)最大值为g(e)=4

3e+1， ∴m?≥?

43e+1

，

m 的取值范围[43e+1

,+∞)．

解析：本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查导数与函数的单调性和最值的关系，考查计算能力，属于中档题．

(Ⅰ)求导，由题意可得f′(1)=1，代入即可求得a 的值；

(Ⅱ)由题意可知：4lnx

3x+1?≤?m 恒成立，构造辅助函数，求导，由g′(x)>0，g(x)在[1,e]单调递增，求得g(x)最大值g(x)max ，则m ≥g(x)max ，即可求得m 的取值范围．

22.答案：解：(Ⅰ)在直线l 的极坐标方程√2ρcos(θ?π

4)=2中，取ρ=√2，

得cos(θ?π

4)=1， ∵θ∈[0,2π)，∴θ?π

4∈[?π4,

7π

4

)，得θ?π4=0，即θ=π

4．

∴点M 的极坐标为M(√2,π

4)；

(Ⅱ)由{x =1+2cosα

y =2+2sinα(α为参数)，消去参数α，可得圆C 的普通方程为(x ?1)2+(y ?2)2=4．

圆心C(1,2)．

由√2ρcos(θ?π

4)=2，得ρcosθ+ρsinθ?2=0．

∵x =ρcosθ，y =ρsinθ，则直线l 的直角坐标方程为x +y ?2=0． 原点O 到直线x +y ?2=0的距离d =

2

=√2．

化直线l 为参数方程{x =?√2

2t

y =2+√2

2

t

，代入圆C 的普通方程，可得t 2+√2t ?3=0．

设A ，B 的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=?√2，t 1t 2=?3． ∴|AB|=|t 1?t 2|=√(t 1+t 2)2?4t 1t 2=√14． ∴S △OAB =1

2|AB|?d =1

2×√14×√2=√7．

解析：(Ⅰ)在直线l 的极坐标方程中，取ρ=√2，求得θ=π

4，可得点M 的极坐标；

(Ⅱ)把圆C 的参数方程中的参数α消去，可得圆C 的普通方程，求得圆心C(1,2)，再化直线的极坐标方程为直角坐标方程，由点到直线的距离公算求出原点到直线l 的距离d ，写出直线线l 的参数方程{x =?√2

2t y =2+√2

2t

，代入圆C 的普通方程，得到关于t 的一元二次方程，利用t 的几何意义及根与系数的

关系求得|AB|，再由三角形面积公式求解．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．

23.答案：解：(Ⅰ)当m =?1时，不等式f(x)≤3，可化为|x ?1|+|2x +1|≤3．

当x ≤?1

2时，?x +1?2x ?1≤3，∴x ≥?1，∴?1≤x ≤?1

2； 当?1

2

2

=|x +m|+|x +12|+|x +1

2

|

≥|(x +m)?(x +12)|+|x +1

2

|

=|m ?1

2

|+|x +1

2

|，当且仅当(x +m)(x +1

2

)≤0时等号成立．

又因为|m ?12|+|x +12|≥|m ?12|，当且仅当x =?1

2时，等号成立． 所以，当x =?1

2时，f(x)取得最小值|m ?1

2|．

解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．

(Ⅰ)当m =?1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．