九年级数学三角形综合(教师版)

（元调新观察模一）已知抛物线y ＝x 2

（1）在抛物线上有一点A (1，1)，过点A 的直线l 与抛物线只有一个公共点，直接写出直线l 的解析式；

（2）如图，抛物线有两点F 、G ，连接FG 交y 轴于M ，过G 作x 轴的垂线，垂足为H ，连接HM 、OF ，求证：OF ∥MH ；

（3）将抛物线y ＝x 2沿直线x y 4

3

移动，新抛物线的顶点C ，与直线的另一个交点为B ，与y 轴的交点为D ，作直线x ＝4与直线CD 、BD 交于点N 、E ，求EN 的长。

【例题精讲一】三角形中的计算与证明

例1. （武昌七校期中）1、如图，在等边△ABC 中，点D 为BC 上一动点，以AD 为底在直线AD 左侧作等腰△

ADE ，且AE ＝DE ，∠AED ＝120°（点D 在运动过程中，点E 始终在△ABD 的内部）。 （1）∠ADB 和∠BAE 的数量关系为 ；

（2）判断△BDE 的形状并证明；

（3）当点D 运动到图2所示的位置时，延长BE 交AD 于点F ，若DF ＝2AF ，BF ＝223＋，则等边△ABC 的边长为 。 326＋

2、（武汉月考）已知△ABC、△BEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，连AF、CF，点M为AF的中点，连EM，将△BEF绕点B旋转。

（1）如图1，猜想CF、EM的数量关系并证明你的结论；

（2）如图2，过B点作BN⊥EM，交ME的延长线于N点，若BN＝4，EN＝2，BC＝10，请求出此时∠CBF与

∠BCF之间的数量关系。∠CBF＝90°－1

2

BCF

【课堂练习】

1、如图1，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合。 （1）求证：AD ＝BE ； （2）当CD ＝

2

3

AC 时，若CE 绕点C 顺时针旋转30°，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG （如图2），求证：BE ＝2FG ；

（3）在（2）的条件下AB ＝2，则AG ＝__________（直接写出结果）。

证明：(1) ∵△ABC 和等△DEC 都是等边三角形

∴∠BCE ＝∠ACD ＝60°，CE ＝CD ，CB ＝CA ∴△CBE ≌△CAD ∴BE ＝AD (2) 过B 作BT ⊥AC 于T ，连AD ，如图：

∵CE 绕点C 顺时针旋转30° ∴∠ACE ＝30° ∴∠GCD ＝90° 又∵CE ＝

23AB ，而BT ＝2

3

AB ∴BT ＝CD ∴Rt △BTG ≌Rt △DCG ∴BG ＝DG ∵F 为AB 的中点 ∴FG ∥AD ，FG ＝

2

1

AD ∵∠BCE ＝∠ACD ＝90°，CB ＝CA ，CE ＝CD ∴Rt △BCE ≌Rt △ACD ∴BE ＝AD ∴BE ＝2FG (3) ∵AB ＝2，Rt △BTG ≌Rt △DCG ∴AT ＝TC ，GT ＝CG ∴GT ＝21，AG ＝2

3

2、已知等腰直角△ABC 和等腰直角△BEF ，∠ABC ＝∠BEF ＝90°，点M 为AF 的中点，连EM 。 （1）如图1，点F 在边BC 上，求证；CF ＝2ME ；

（2）如图2，将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请证明你的结论；

（3）过B 作BS ⊥ME 于S ，如图3，若BF ＝10，BS ＝3，CF ＝6，求△MEF 的面积。

【例题精讲二】三角形与旋转

例2.（元调）1、在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD。

（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m＜l80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；

（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值．

（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使AE：BE＝2，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由。

（元调）2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝．P 为AC 边上一动点，PC ＝，以点P 为中心，将△ABC 逆时针旋转90°，得到△DEF ，DE 交边AC 于G 。 （1）用含有的式子填空：DP ＝ ，AG ＝ ； （2）如图2，当F 在AB 上时，求证：PG ＝PC ； （3）如图3，当P 为DF 的中点时，求AG ∶PG 的值。

3t t

【课堂练习】

（元调新观察模一）1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)、B(0，2)，将△AOB绕点(－1，－1)顺时针旋转90°得△DEF，点A的对应点为D，点O的对应点为点E，点B的对应点为点F。

（1）在平面直角坐标系中画出△DEF；

（2）点P在坐标轴上，若∠APB＝45°，求P点坐标；

（3）①若点M在第二象限，∠AMB＝45°．设AM＝m，BM＝n，FM＝t，试探究m、n、t三者之间的数量关系，并证明；

②若点M在第三象限，∠AMB＝45°，直接写出m、n、t三者间的数量关系。

（备用图）

（二中）1、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，点P 为射线AB 上一动点，PQ ⊥AC 交直线AC 于点Q ，作QE ∥AB 交直线BC 于点E 。

（1）连PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转90°到PF ，连QF ① 如图1，当AP ＝2时，求FQ 的长；

② 如图2，当AP ＞22时，判断FQ 、EQ 和AP 的关系并证明；

（2）如图3，当P 在线段AB 上时，O 为PE 中点，过点O 作OM ⊥AC 于M ．若OM ＝2

1

PE ，则AP ＝___________。

证明：(1) ① 过点P 作PG ∥AC 交EQ 于G ∴∠GPQ ＝90°

∵∠EPF ＝90° ∴∠QPF ＝∠GPE ∵QE ∥AB ∴∠EQC ＝45°，∠PQG ＝45° ∴△PQG 为等腰直角三角形 可证：△PQF ≌△PGE （SAS ） ∴QF ＝GE ∵AP ＝2 ∴PQ ＝AQ ＝1，CQ ＝CE ＝3，QG ＝2，QE ＝23 ∴QF ＝GE ＝22 (2) 过点F 作FM ⊥BQ 于M ，过点E 作EN ⊥PQ 于N 由三垂直模型，得△PFM ≌△EPN （AAS ） ∵QE ∥AB

∴∠EQC ＝∠EQP ＝45° ∴QE ＝2NE ＝2PM ∵NQ ＝NE ＝PM

∴PN ＝MQ ＝FM

∴△FMQ 为等腰直角三角形

∴AP PQ NQ PN NQ PN QF QE ==+=+=+2)(222 (3) ∵PQ ∥BE ，QE ∥PB ∴四边形PBEQ 为平行四边形 ∴OM ＝

21(PQ ＋EC )＝2

1

(BE ＋CE )＝2 设AQ ＝PQ ＝x ＝BE

过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ∴EF ＝4－x －x ＝4－2x

在Rt △PEF 中，(4－x )2＋(4－2x )2＝16，解得x 1＝5

14

，x 2＝2 ∴2225

14

或=

AP

（十一崇仁10月）2、如图1，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠EDF ＝90°，AB 、EF 的中点均为G 。

（1）求证：CD ＝BF ；

（2）如图2，把△DEF 绕点G 顺时针旋转，BF 、CD 交于点H ．若AC ＝22，DF ＝23，∠BGE ＝2

1

∠BHD 时，求CD 的长；

（3）如图3，把△DEF 绕点G 顺时针旋转，BF 、CD 交于点H ．若AC ＝22，求AH 的最小值。

证明：(1) ∵AB 、EF 的中点均为O ∴CO ＝BO ，OD ＝OF ∴CD ＝OC ＋OD ＝OB ＋OF ＝BF

(2) 连接GC ＝GD 由共顶点等腰三角形的旋转模型，得△BFG ≌△CDG （SAS ） ∴∠CGD ＝∠GBF ∴∠BHC ＝∠BGC ＝90°（八字型） ∴∠BGE ＝

2

1

∠BHD ＝45° 过点C 作CM ⊥DG 于M 则△CMG 为等腰直角三角形 ∴CM ＝MG ＝2，DM ＝4

2

7 ∴CD ＝

4

130

(3) 取BC 的中点I ，连接HI 、AI AH 的最小值为210