第12讲 探索与表达规律(培优课程讲义例题练习含答案)
探索规律（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；
3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.
【要点梳理】
要点一、规律探索型问题常见类型
1、数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.
要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
2、图形规律
根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.
要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.
3、数表规律
解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.
要点二、规律探索型问题解题技巧
1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2、化繁为简，形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.
3、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】
类型一、数式规律
1．在下列数列里，写出后面两个数：
（1）1，10，3，13，5，16，7，19， ， ，... （2）2，5，6，10，18，20，54，40， ， ，... （3）4，16，36，64， ，144，196， ，...， （4）0，1，2，3，6，11，20， ， ， (5)
13， 56-，99，1312-，17
15，2118-，2521
，2924-， ， ，…. 【答案】（1）9，22； （2）162，80； （3）100，256； （4）37，68；（5）1137
,930
-． 【解析】
解：（1）这个数列中，奇数位上的数后一项总比前一项多2，偶数位上的数后一项总比前一项多3．
（2）这个数列中，奇数位上数后一项总是前一项的3倍，偶数位上的数后一项是前一项的2倍．
（3）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方． （4）这个数列中某项的数等于它前面3项数之和． （5）根据已知得出：符号的变化规律为1
(1)
n +- ，分子与分母的变化规律，分子依次差4
的数，分母是依次差3的数，进而得出第n 个数分子的规律是（4n-3），分母的规律是3n ，
进而得出这一组数的整体的变化规律．
【总结升华】（1）（2）（4）的第n 项不容易用一个代数式表示出来，（3）的第n 项为4n 2
，（5）的第n 项为1
43
(1)3n n n
+--． 举一反三：
【变式】（?包头）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6
个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
解：观察该组数发现：1，，，
，…，
第n 个数为，
当n=6时，==．
2．（春?丰县校级期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352
=3×4×100+25=1225，…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952
= ；
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，请用一个含a 的代数式表示其结果； （3）这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出1952
的简便计算过程及结果． 【思路点拨】（1）观察给定等式，发现变化规律“等式左边为15右边为1×2，等式左边为25右边为2×3，等式左边为35右边为3×4”，依此规律即可求出952
的值；
（2）结合（1）的发现，总结出规律“（a5）2
=a ×（a+1）×100+25=100a （a+1）+25”； （3）将（2）的规律延伸，即可依照规律得出结论． 【答案与解析】
解：（1）观察：152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352
=3×4×100+25=1225，…， 发现：等式左边为15右边为1×2，等式左边为25右边为2×3，等式左边为35右边为3×4，∴952
=9×10×100+25=9025． 故答案为：9×10×100+25=9025． （2）根据（1）的规律得出结论：
（a5）2
=a ×（a+1）×100+25=100a （a+1）+25．
（3）结合（2）的规律可知：1952
=19×20×100+25=38025．
【总结升华】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“（a5）2
=a ×（a+1）×100+25=100a （a+1）+25”．解决该题型题目时，根据给定等式子的变化，找出变化规律是关键．
举一反三：
【变式】观察下面组成的图案和算式，解答问题： 1+3=4=22
； 1+3+5=9=32
；
1+3+5+7=16=42；
1+3+5+7+9=25=52
；
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= . 【答案】（1）100；（2）2
(2)n . 类型二、图表规律
3．用火柴棒按图中的方式搭图：
图形编号①②③④⑤⑥
火柴棒根数
(2) 第N个图形需要多少根火柴？
【思路点拨】在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答.
【答案与解析】
解：（1）显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……，所以填写表格如下：
图形编号①②③④⑤⑥
火柴棒根数3918304563
（2）
解法一：3=1×3；
9=3×3=（1+2）×3；
18=6×3=（1+2+3）×3；
30=10×3=（1+2+3+4）×3；……
因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+…+N）×3根，即为3(1)
2
N N
+
.
解法二：3=3；
9=3+6；
18=3+6+9；
30=3+6+9+12；……
因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：
3+6+9+…+3N＝3（1+2+3+…+N）＝3(1)
2
N N
+
.
【总结升华】在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推，数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏.
举一反三：
【变式】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有个三角形？
【答案】
(1)
2
N N
4．（?庐阳区二模）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第m排、从左到右第n个数，如（3，2）表示实数5．
（1）图中（7，3）位置上的数；数据45对应的有序实数对是．
（2）第2n行的最后一个数为，并简要说明理由．
【思路点拨】根据如图所示的排列规律，可得每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行的数字都是偶数．
（1）首先判断出前3个奇数行的数字最大是17，所以第7排、从左到右第3个数是23，即图中（7，3）位置上的数是23；然后判断出前4个奇数行的数字最大是31，进而判断出数据45是第5个奇数行的第7个数，即第9行的第7个数，即它对应的有序实数对是（9，7），据此解答即可．
（2）因为第2n排的最后一个数是从2开始数的第（2+4+6+…+2n）个正偶数，所以第2n 行的最后一个数为：2（2+4+6+…+2n）==2n（n+1），据此解答即可．
【答案】23、（9，7）、2n（n+1）．
【解析】
解：根据分析，可得
（1）图中（7，3）位置上的数是23；数据45对应的有序实数对是（9，7）．
（2）第2n行的最后一个数为2n（n+1），
理由：因为第2n排的最后一个数是从2开始数的第（2+4+6+…+2n）个正偶数，所以此数为2（2+4+6+…+2n）==2n（n+1）．
故答案为：23、（9，7）、2n（n+1）．