第六讲 简单的三角恒等变换-高考状元之路
第六节 简单的三角恒等变换
预习设计 基础备考
知识梳理
1．半角公式
(1)用cos 表示?2tan ,2cos ,2sin 222α
α
α
=
2sin 2α =2cos ;2α =2tan ;2α
(2)用αcos 表示?2tan ,2cos
,2sin ααα =
2sin α =2cos ;α =2tan ;α
(3)用ααcos ,sin 表示?2tan α
=
+=
α
ααcos 1sin 2tan 2．形如x b x a cos sin +的化简 =+x b x a cos sin ，其中?=
a
b ?tan
典题热身
=+α
ααα2cos cos .2cos 12sin 2.12 （ ） αtan .A α2tan .B 1.C 2
1.D 答案：B
2．若,2cos 3)(sin x x f -=则=)(cos x f （ ）
x A 2cos 3.- x B 2sin 3.- x C 2cos 3.+ x D 2sin 3.+
答案：C
3．化简：=-++++++-+θ
θθθθθθθcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1 ( ) θsin 2.A θcos .B θ
cos 1.c θ2sin .D 答案：A
4．函数23cos 32sin 2
12-+=x x y 的最小正周期等于( ) π.A π2.B 4
π?c 2π?D
答案：A
5．已知),0,4
(,25242sin παα-∈-=则ααcos sin +等于( ) 51.±A 51.B 57.±c 5
7.D 答案：B
课堂设计 方法备考
题型一 三角函数式的化简
【例1】(1)已知,2cos 2sin 1
2sin 2tan 2)(2
α
α
ααα--=f 求);12(πf
(2)已知,2,222tan πωπθ<<-=求)4sin(21
sin 2cos 22
πθθθ+
--的值。 题型二 三角函数式的求值
【例2】已知,7
1tan ,1010sin ==αβ求满足下列条件的βα2+的值． );2
,0(),2,0()1(πβπα∈∈ ?∈-∈)2
,0(),0,()2(π
βπα 题型三 )(cos sin 22?++--+x b a x b x a 的应用
【例3】设函数.18cos 2)64sin()(2+--=x x f π
π
π
(1)求)(x f 的最小正周期；
(2)若函数)()(x f hy x g y =-=的图像关于直线1=x 对称，求当]4
3
,0[∈x 时，)(x g y =的最大值， 技法巧点
1．三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
(2)三角函数式化简的要求．
①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不合三角函数．
（3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角经同角，降幂或升幂．
2．三角函数式的求值
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角人手）；
(3)将已知条件代人所求式子，化简求值．
失误防范
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
高考状元的成功之路
2007年高考中以市状元及数学满分进清华的妈妈 ——我的教子经验 1、在吃饭方面：一碗，这是基本量。如他说妈妈我吃不完了，我说好然后让他下桌子，晚 上吃时，就把他中午的放在他面前，吃完不够再吃新的。以后再没这问题。不要要求吃饱应七分饱，过量只有害无利，够身体消耗能量就好，这样大脑皮层沟壑多，利于记忆等； 少吃肉多吃蔬菜水果，不要身体累积脂肪影响大脑。 2、放学后做作业：规定一时间，到时间就不准他做了，他说家庭作业不做完，明天会被老师罚的，但我告诉他，什么时间做什么事，不能挪用。第二天他一大早就起来做，我同样不准，他是哭着上的学。这以后，他是先做完作业才吃晚饭，这以后，一直到高中毕业，都是以先完成作业为首任。从初中到高中，所有作业都是在学校就完成。当时我是不准我儿子占用他玩和看课外书的时间压力用来做作业的。（好玩吧） 3、教师告状及罚作业（关于批评）：我儿子在小学一年级时也被罚过，我接他放学，等到他做完被罚的作业，同时听着老师数落儿子上课如何不认真、如何和同学发生事情等等。但我看儿子的眼神还是很慈祥，耐心等着儿子完成（内心独白：多写一次正好）。回到家后仔细问情况，属于同学不对的，就不批评他；是自己的问题，但都是轻言细语给他讲怎么样注意及改正。有一点很重要，家长要用道理解除他有可能对老师产生的负面情绪。打击小孩自信心的主要是家长和老师。如小孩在学校挨骂了，当晚当妈妈的要把事情了解清楚化解小孩的情绪，修补他的自信心，人的一生自信心很重要。 4、注意力不集中：是否晚上睡眠不好？是否吃太饱？是否是听不懂课？找出原因，针对原因找解决问题的方法，不能一味骂小孩。如：如果娃娃的身体湿热重，人是不舒服的，自然没精力听课等。如果所有的原因找了都找不出原因，就可以考虑用佛门方法。 5、好玩天性：要给他时间玩，动手本身也等于动脑，没什么不好，家长同小孩制定好课后到睡眠之间的时间，一切按作息表。玩纸牌游戏是一特教老师告诉的方法。我应用和实践了，是成功了的。我儿子在小学时，上课老师布置作业，他都是快速完成的。 6、没事你要小孩多用左手玩抛接物，是锻炼右脑的，为上初中以后作准备的。家长和小孩每天玩一次纸牌加法，抽二张快速在他面前晃一下，让他快说出加出来的数，坚持到三年级时就做一次加法一次减法，五年级以后就不用了。锻炼注意力、快速反映能力、心算能力。7.曾看过一帖：关于小孩子的教育，我一直在思考一些问题，也跟大家交流下哈。我认为：第一，进行时期教育，注重开发思维智力，不强迫他学什么。 第二，善待一切生命，教他学会换位思考，已不悦不强加于人。 第三，教他在做人做事时以水为榜样，遇事以柔克刚，遇困难绕道前行。 第四，学会知足常乐。 第五，宁静致远，淡泊名利，放心自由
(感悟与求知书坊)高考状元经验谈_雨后花儿会更红
姓名：郭智恒 毕业学校：吉林省通化市第一中学 高考分数：627分 所在院系：北大物理系 亲爱的师弟师妹们，如果你将要挤上高考的独木桥，那一定已经拜读过不少高考高手们的精彩高见了吧！那再让我这个比下有余，比上不足的人来啰嗦一番，着实让我汗颜，不会误人子弟吧？不过，人和人是不一样的，不论是在性格、学习基础或是学习习惯上。那么，不妨听听我的故事，也许有些特别的（姑且自以为是吧）我会对你有点小启发。 首先，我打算谈一谈自己的学习方法，希望能对你们有所触动。 对于语文，说实在的，我在高中时一直最怕它。有时花了工夫，收效却甚微。当时，我甚至认为，语文是高考五门课中最难的一门。它的答案似乎不明确，差不多的一道题，老师今天讲时是这个答案，明天讲时却可能变成了另外一个答案。于是不禁迷惑，这种如此让人捉摸不透的题，我怎么样才能找到那个正确的答案呢？当时，我对班上那些语文成绩好的同学虽然有些羡慕，但也不屑一顾，认为他们不过是运气比我好一些而已。 进入大学以后，空闲时间多了起来，于是读的课外书也多了起来。这时，我才意识到，自己的阅读能力实在很差。与我同寝室的同学中，有一位当年高考语文成绩136分的同学，与他相比，同一篇文章，我可能花7、8分钟才能读一大概，他却只要4、5分钟就能读懂。可见，语文，在其本质上是一种能力——阅读能力、理解能力、写作能力、综合能力……要想考好语文，没有很强的语文诸方面的能力，是不太容易做到的。可以想一想，中学我们学语文，一方面，我们要给课文分段，归纳段意，分析中心思想，这是为了帮助我们了解作者的写作意图，知道作者要说些什么；另一方面，我们要分析课文中一些难于理解的地方，一些关键的字、词、句，这是为了能使我们从更深的层次上把握作者的意图。诸如此类一些活动，全都是为了使我们能更好、更有效地去阅读与理解一篇文章，它们对于提高我们的阅读能力，大有裨益。在学习课本的同时，我们还要对文章进行结构分析，知道什么样的结构能更有效地表达某一特定的意思，知道什么样的文章，应该有些什么样的结构；同时，我们还被要求对课文中的一些精彩描写或点睛之笔的议论进行背诵。这些无疑对于提高我们的写作能力会大有帮助。 以上是我对语文学习的一个认识。你们或许要问：如何才能提高自己的语文能力呢？我的回答是，如是你想要提高自己的语文能力，你就得在课堂上、课堂下对语文多花些工夫，认真领会老师对文章的分析。注意，重点并不在于记忆老师的分析结果，而在于领悟老师的分析过程；课下尽量多读点文章（如果时间允许），一定要认真读，并学着用老师的那种分析方法，自己对文章做点分析，尽量读懂。至于写作能力，则要在平时多练，养成记日记的习惯。笔耕不缀，方可见功效。 其次，我想谈谈数学学习。
高考状元学习的十种经验总结
高考状元学习的十种经验总结 中考决定了你去什么样的高中，而高考决定了你去什么样的大学，和什么样的人继续努力未来。所以，高考一定是你人生中的转折点，它能带你离开这个地方，这个县城，去看看外面的世界有多大多精彩，去改变自己的命运。这就是高考，它能让你人生的轨迹大不同。 高三、高考和未来 一个人一定要有梦想，有目标。有了对未来的向往，才有努力与不断前进的动力，去改变自己的未来。而学习就是改变一个人命运的最佳途径之一。而对于现在的你们，将要面对最后也是最佳的一次改变自己命运的机会——高考。你们的面前就抱着这样的一个机会，就看你自己去不去把握。而高三就是为了高考而全身心投入的一年，这一年每天所支出的24小时就是为了将知识装进大脑，不断积累，然后在高考那两天爆发，所以今年非常重要，你哪一年懒惰都可以，但今年懒惰就会造成非常严重的后果;你哪一年努力都可以，但今年努力就会对未来产生非常大的影响 不要把补课就当补课，认为补课不重要 学校说开学就好好学，说补课就不好好学，难道你的学习状态是由别人决定的么，学习是给自己学的，分数是自己得的，大学通知书是自己拿的，未来是自己争取的，不要再高考还没到来，你已将把自己决定权的一半叫了出去，一定要坚定自己的内心。而且不论怎么样，一年之后高考就在那里，躲避时没有用的，还不如做好充分的准备，去迎接那场试炼。 高效学习法，每天过电影
说一个很简单的例子，当你在上课只是听听，还伴随着些许的走神的时候，有一些人不仅在专心听讲，而且在老师说和自己记笔记的时候已经把这些东西记住，并且对整节课在自己的脑中形成了基本框架，进行了总结。所以看着下课很轻松，其实上课的时候已经完成了任务，你在愁着作业半天写不完，有些人已经提前进入下一阶段了。这就是学习效率的差距，在学习过程中已经差距这么明显了，分数当然很有差距了。提高效率的方法第一是要专注，学就是学，休息就是休息，不要开小差。第二是充分利用时间，提高白天的效率，晚上任务就少了，不一定要熬夜，但知识已经在你脑海里过了很多遍，每天都会很充实。 早读任务明确 早读时候主要是三个任务。第一个是昨天老师讲过的需要记忆的和虽然当天记过但没有记住的，第二个是今天老师要求记住的，比如昨天布置得今天要提问的之类，第三个是固定任务，就是每天都要做的，比如语文基础64篇，英语文章之类，每天都要重复记忆的。 及时解决问题 一节课下了，把这节课的问题解决了，如果早上问题没解决，那就12点下课再留一会，去问问老师或者同学。问老师问题的时候，不一定非要是本班的老师，只要是这个科目的就可以问他，一定要大胆，老师也是很乐意帮助你的 学会安排,计划落实到每天每周 每天有每天的计划，这计划里面最基础的是老师布置的，这是老师针对每个学生都需要掌握的内容而布置的，在完成这些任务的过程中要发现自己哪些地方不足，就在自己的计划里把这些知识再巩固一遍，看看书或者多做做题，如果计划没完成就晚上加班，通常
高考状元经验谈
高考状元经验谈 高考结束了，高考状元是怎么学习的呢?来看看高考状元的经验总结吧。下面是小编整理高考状元经验谈的范文，欢迎阅读! 高考状元经验谈篇一 一、学习习惯。 一个好的学习习惯可以帮助我们达到事半功倍的效果，也会让学习变得有条不紊，不杂不乱。 首先，上课要认真听讲。上课的时间是要充分利用的，因为那是同学们注意力能够高度集中的时候。所有的知识需要当堂理解，并且紧跟老师的思路，避免开小差。有一个小方法，就是上课时目光跟着老师移动，可以尽量避免走神，也便于老师监督。特别要提一下，有些老师讲课有时会出现离题的状况，同学们一是可以提醒老师，二还可以将刚才老师讲的东西巩固一遍，充分利用课堂时间。 其次，要养成预习和复习的习惯。如果在上课前已预习，甚至只是浏览过课本内容，上课时思路就会更活跃，也有助于理解课堂内容，加深记忆。还可以记下不懂的地方，上课时着重注意。所谓温故而知新，复习自然也是必不可少。在高一、高二时，同学们往往只在考试来临的几天里抓紧复习功课。但如果每天将学到的内容巩固一遍，效果也是十分显著的，通常只需要大致将重点知识记一遍即可。 再者，要与老师交流，勤学好问。记得刚上高中时，看到有同学下课了拿着书去问老师难题，还觉得好生奇怪。然而到高年级以后，
自己也成天缠住老师不放，并由此受益匪浅。尽管遇到难题可以问同学，但向老师提问时，老师会将一些类似的知识串联起来，提高学生的跨越理解能力。因此，请大胆地向老师提问吧!我们的口号是：不让难题过夜! 最后，重视笔记。许多科目都需要记笔记，而笔记的记法也不尽相同。例如我们的历史书上空隙很多，就不用专门的笔记本，而是直接写在书上;英语要记的新单词较多，所以要准备特殊的笔记本。而记笔记也是一门学问，看到清晰有条理的笔记，心情也会好很多，也可以提高学习效率，例如记英语单词student：studentn.(C.)学生isastudent.通常记笔记可用红蓝黑三色笔记，既缓解眼部疲劳，又有醒目清楚的效果。 二、学习心态 首先，把学习当作快乐的事情。虽然做到这一点很难，但是每个学生都不应该从心里厌恶或放弃学习，如果那样，就等于放弃了自己。在这一条里，老师起很大的作用。怎样变枯燥为生动，怎样引起学生的兴趣，怎样让学生喜欢，都是很重要的。只有师生配合默契，才能够变学习为快乐的事情。 其次，把学习当作痛苦的事情。毫无疑问，高中学习是痛苦的。正是因为痛苦，才要求学生们必须有坚强的意志力与不屈的精神。你可以把学习当作轻松的事情，没有太大的负担，但是你必须清楚地认识到，学习是很真实的：你付出多少，便会收回多少。高中生就要吃得下这个苦，并且学会苦中求乐。
简单的三角恒等变换(基础)
第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一
高考状元的成功之路
高考状元的成功之路 高考结束后，各省市的状元都总结了自己成功的经验，大体涵盖了高考复习考试的各个环节。我们通过研究发现，各个状元考生所采用的基本方法大同小异：虽然具体形式千差万别，但指导思想都是一致的，且都符合复习考试的规律。 一、养成良好的学习习惯 这是最重要的一个环节，包含的内容也最广泛。 制订计划，定期小结：学习一定要有计划性，要明确自己每月、每周甚至每天所要完成的任务，并严格按计划进行。计划要根据实际情况制订。要定期对自己的复习进行总结，以便在复习中保持清醒和客观，知道自己的不足。 上课认真听讲：也就是向课堂要效率。争取当堂听，当堂记，当堂理解。课上把老师讲的内容消化透，课下才能更充分地进行复习。听讲的同时要认真记笔记。笔记应有选择地记，简明扼要。 勤于思考，善于思考：这一条应贯穿于听课、做作业、复习等各个阶段。比如：做完一道题后应有一个反思的过程，要弄清这道题考的是什么，用了哪些方法，为什么用这样的方法，这样才能达到举一反三、触类旁通的效果。又如：学习时不仅要将课本中各知识点记住，还要通过思考，抓住各知识点之间的内在联系，甚至要注意到不同学科之间的渗透，以便形成清晰的知识网络。 合理安排时间：学会根据作业的重要程度做出适当安排，将自己状态最佳的时间段优先分配给重要的作业，比如需要思考的作业、典型性的试题、课后第一次巩固练习。学会见缝插针利用好空余时间，经过日积月累，效果也很可观。此外，要给休息、业余爱好、娱乐留出一些时间。 二、善于运用考试技巧 掌握考试时间：高考前应通过做模拟试题来熟悉试卷结构，了解时间分配，从而找到最佳的解题节奏。遇到难以解答的试题，不要耗费过多的时间。 每分必争：高考绝大多数试题都是容易题或中档题。要冷静应答，决不轻易放弃每一个得分的机会。做理科试题时，即使得不出答案，也要尽量清晰地将思路展现给阅卷人。 答题规范：学会用学科术语表达，不要使用俗语。复习时要经常将自己的答案和标准答案对比，发现表述中不严谨之处就及时改正。
历年高考状元经验之谈
历年高考状元经验之谈 ２006年广西普通高考理科状元——广西柳州高级中学陈亚玲 第一、上课认真听讲,紧跟老师步伐。 老师说到哪里就要跟到哪里,她们得建议与指导很重要,特别就是新课程与考后得讲评、当然我也知道很多同学会在老师上复习课得时候写自己得作业,原则上提倡这样做,但就是各人有各人得学习方法吧。还有,一般来说,老师会在每学期开学时公布整学期得教学安排,以方便同学们预习与复习,所以我们还要了解老师一周得教学计划,细致掌握复习课每课时得重点,然后整理笔记。在考后得讲评课上,要注意老师给我们指出得问题,诸如容易忽略得知识点、重复题型得处理、考场心态以及各种特殊考点得解决办法等,都值得我们去思考与反思。 另外,一定要相信我们得老师、我并不就是怀疑同学们得能力,但就是,比起老师来说,我们仍然相差太多太多,因为我们一般只能经历一次高考,可她们大都已经身经百战了、光凭这一点,就足以赢得我们得十二分得尊重与信任、更何况她们得内涵,她们得学识,她们对问题得分析力度,在现阶段应该远在我们之上、这就就是说,坚定不移跟好老师得步伐对于我们得成功起决定性作用。 第二、把握自习时间,提高效率,快乐学习。 要知道,每个人得学习时间都相差无几,其实,成绩得差距就差在效率上、进入高三后,由于课业繁重,自习课越来越少,这就需要我们利用好自习课得每一分甚至每一秒钟,达到效率取胜得目得、 我认为,分时间段自习,不失为一个好方法。首先,要有一块手表;其次,把四十分钟分段,好两个二十分钟或四个十分钟,这要按情况来定;然后把任务分配到每个时间段里,并明确得写在纸上,每完成一个就在其后画一张笑脸,及时勉励自己、如果一整天状态都极好,就奖励自己——晚饭与同学去嘬一顿。快乐学习,适当得奖励,可就是“炼狱高三”得润滑剂啊、如果计划实在完不成,就适当调整一下,并且在不断得调整之中找到适合自己得任务量与与之相对应得时间、这样效率也会提高、 在这里,我想强调一点就是:绝对不提倡开夜车、或者这么说,您多熬那几分钟成绩也不会好到哪里去,少熬那几分钟也不会差到哪里去。与其剥削自己得睡眠时间来做无用功,不如养足精神提高学习效率。吃好,睡好,才能学得好！ 第三、适当调整心态。 高三就是个心浮气躁得阶段、您会认为自己很多都懂了,但就是似乎有很多又就是不懂得、一考得不好,就会心烦,觉得前途一片黑暗;一考得好,又觉得自己似乎该掌握得都掌握了,还有那几个月怎么熬啊、记得当初我保送北京大学以后,整天无所事事,不知道自己坐在教室里有什么意义。在课堂上想瞧大学得书籍,总觉得不能融入群体而瞧不去,又没耐心认真听老师讲课。考试成绩不算差,但也好不到哪里去。3、４月份基本上过得就是混混沌沌得日子,没有目标并为之奋斗得生活就是黑暗得。眼瞧这么下去也不就是办法,虚度光阴啊,于就是我经常找我得班主任与校长谈话,具体谈什么已经不记得了,但就是从谈话中获得得思维清晰,豁然开朗就是我最大得财富,突然间明白自己要做什么了,明白自己得路应该怎样走、那种心情得愉悦与平与在我5月份认真复习起了决定性得作用。
文科高考状元经验分享：如何获得高分
文科高考状元经验分享：如何获得高分 每一科的学习都有一定的学习方法，如果我们能运用好这些方法，那幺无论我们的复习效率还是相应的考试成绩都会有所提升。那幺现在，小编就和大家分享一位高考状元学习文科的方法，我们一起来学习。 ?文科高考状元经验分享：如何获得高分如何选择学习方法?我打几个比方：练乒乓球，请教世界冠军，王楠告诉你应该用左手横拍弧圈结合快攻，王励勤则说要右手横拍弧圈结合快攻;习武，请教三国英雄，吕布告诉你方天画戟最好，关羽说青龙偃月刀最好。这说明取胜的方法因人而异。学习也一样，选用何种方法关键在于这种方法是否适合你。选用适合的方法，勤加练习，就一定能成功。其他人的经验可以借鉴，不过合适自己的方法是需要自己摸索的。读书有三习：课前预习课上学习课后复习再忙也要抽出时间预习。预习实际是一种自学能力，把看不明白的内容标出来，这样听课时就有期待老师解析的心理定势，调动学习热情和注意力。课堂学习是最重要的学习途径，听课时要提高课堂效率。如何提高?注意力集中，保持课内精力旺盛，头脑清醒。靠意志排除干扰;课堂上积极思考，不要做一个被动的信息接受者，在紧跟老师讲课思路的基础上，积极思考;重视老师的开头和总结，有的同学听课，往往忽视这个环节，这是错误的。开头，寥寥数语，却是整堂课的纲领，结尾的话也不多，但是一节课精要的提炼。同时要对老师反复强调的部分做笔记。课后复习分为老师的和自己的两方面：老师的主要是课后作业。老师根据经验会布置针对性作业，这些作业用处很大，要认真完成。而自己的复习更重要，毕竟老师的复习是针对所有人的，大家机会均等，而学习是要在均等中找出不均等。失败我们说：“亡羊补牢为时不晚!”“失败乃成败之母!”说到底，失败是值得尊敬的。推荐阅读： 高考状元如何备考英语？
简单的三角恒等变换(讲义)
简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b
高考状元学习的十种经验总结
高考状元学习的十种经 验总结 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
高考状元学习的十种经验总结 中考决定了你去什么样的高中，而高考决定了你去什么样的大学，和什么样的人继续努力未来。所以，高考一定是你人生中的转折点，它能带你离开这个地方，这个县城，去看看外面的世界有多大多精彩，去改变自己的命运。这就是高考，它能让你人生的轨迹大不同。 高三、高考和未来 一个人一定要有梦想，有目标。有了对未来的向往，才有努力与不断前进的动力，去改变自己的未来。而学习就是改变一个人命运的最佳途径之一。而对于现在的你们，将要面对最后也是最佳的一次改变自己命运的机会——高考。你们的面前就抱着这样的一个机会，就看你自己去不去把握。而高三就是为了高考而全身心投入的一年，这一年每天所支出的24小时就是为了将知识装进大脑，不断积累，然后在高考那两天爆发，所以今年非常重要，你哪一年懒惰都可以，但今年懒惰就会造成非常严重的后果;你哪一年努力都可以，但今年努力就会对未来产生非常大的影响 不要把补课就当补课，认为补课不重要 学校说开学就好好学，说补课就不好好学，难道你的学习状态是由别人决定的么，学习是给自己学的，分数是自己得的，大学通知书是自己拿的，未来是自己争取的，不要再高考还没到来，你已将把自己决定权的一半叫了出去，一定要坚定自己的内心。而且不论怎么样，一年之后高考就在那里，躲避时没有用的，还不如做好充分的准备，去迎接那场试炼。 高效学习法，每天过电影
说一个很简单的例子，当你在上课只是听听，还伴随着些许的走神的时候，有一些人不仅在专心听讲，而且在老师说和自己记笔记的时候已经把这些东西记住，并且对整节课在自己的脑中形成了基本框架，进行了总结。所以看着下课很轻松，其实上课的时候已经完成了任务，你在愁着作业半天写不完，有些人已经提前进入下一阶段了。这就是学习效率的差距，在学习过程中已经差距这么明显了，分数当然很有差距了。提高效率的方法第一是要专注，学就是学，休息就是休息，不要开小差。第二是充分利用时间，提高白天的效率，晚上任务就少了，不一定要熬夜，但知识已经在你脑海里过了很多遍，每天都会很充实。 早读任务明确 早读时候主要是三个任务。第一个是昨天老师讲过的需要记忆的和虽然当天记过但没有记住的，第二个是今天老师要求记住的，比如昨天布置得今天要提问的之类，第三个是固定任务，就是每天都要做的，比如语文基础64篇，英语文章之类，每天都要重复记忆的。 及时解决问题 一节课下了，把这节课的问题解决了，如果早上问题没解决，那就12点下课再留一会，去问问老师或者同学。问老师问题的时候，不一定非要是本班的老师，只要是这个科目的就可以问他，一定要大胆，老师也是很乐意帮助你的学会安排,计划落实到每天每周 每天有每天的计划，这计划里面最基础的是老师布置的，这是老师针对每个学生都需要掌握的内容而布置的，在完成这些任务的过程中要发现自己哪些地方不足，就在自己的计划里把这些知识再巩固一遍，看看书或者多做做题，如果计划没完成就晚上加班，通常晚上就是在完成当天未完成的任务。每个周末也要有
高考状元经验谈--怎样的学习才是有效的 (1)
我一直在制定规划、修正规划 ——专访2011年黑龙江省高考文科“状元”陈子丰 “学习就是靠两点——刻苦和方法” 教师月刊：子丰你好！你的老师和同学们都说，你能够取得好成绩，一点也不意外。 陈子丰：意外是肯定的。三中学生都知道，“高分是考出来的，状元是批出来的”。不过，如愿以偿考取北大，必须感谢我的老师。是他们三年来的呵护和栽培，让我踏踏实实、顺顺利利地走到今天。还有就是，运气也扮演了很重要的角色。能够考取理想的大学、理想的专业，就是对这份努力的最好回报。状元的头衔并不重要。 教师月刊：我听说，你的母亲是大学中文系的老师，受她的影响，你的梦想就是上北大中文系。这么多年你一直特别努力，所以，你最后对于成绩真的很淡定，是这样吧？ 陈子丰：是的。其实我的父母工作很忙，他们对我的影响更多的是一个潜移默化的过程。进入初中后，我的成绩就在前面了。 教师月刊：你觉得学习成功的关键是什么？ 陈子丰：我觉得学习就是靠两点——刻苦和方法。拿刻苦来说，我身边的同学都没有太大区别。有些人觉得学文比学理简单
些，其实学文也是个力气活，该背的知识，该整理的笔记，该做的习题，一样都不能少，负担也不能说不重。 但是如果过分透支体力，超负荷学习，不仅容易心情烦躁，造成学习效率低下、“出工不出力”的情况，还会导致在冲刺的时候失去劲头，身心出现问题，这是不可取的。个人觉得，要想提高效率，使成果最大化，一定要方法得当。比如，要学会制定目标。 教师月刊：以你的经验，应该如何制定目标？ 陈子丰：首先，目标要具体。它不一定像“人生的蓝图”那么宏大，例如要做科学家、作家之类。高中三年，变数很大，所以可以制定相对短期、更切实可行的目标。例如，大多数学校文理分科都在高二，但对于有学文意向，或者对文科有兴趣的同学来说，在高一时一定不能忽视文科基础，至少应该做到不偏科，避免在进入文科之后手忙脚乱。此外，在每次月考之间也可以制定短线目标。 教师月刊：你说的这个叫目标定位法。除此之外还有什么其他的学习窍门吗？ 陈子丰：窍门真说不上。我谈谈三年高中的学习体会吧。 首先要跟紧课堂。一般情况下，我们这样名校的老师，不仅有渊博的知识，还有丰富的经验。他们不仅可以帮你抓出重点，还能够帮你构架知识体系，理清知识脉络，既加深理解，又方便
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
高考状元学习心得精选3篇
高考状元学习心得精选3篇 高考状元学习心得一:2013高考状元学习心得盘点四川理科状元郭怡辰:第一秘诀提前学半个学期知识 提起长期保持成绩领先的秘诀,郭怡辰表示,就是比别人先一步,比别人快一步。“通常开学前的一两周,我就会把半个学期的东西看完,这样就比别人领先了半个学期。”郭怡辰对“第一”的称号并不那么在意,他用射击比赛比喻学习中的竞争,“学习跟射击一样,都是自己打自己的,按自己的步骤来就是了。”对郭怡辰来说,自主学习能力是他的强项,别人需要1个月完成的作业,他一个星期就能完成:“他高三在校外走读,学习非常自觉,常常自学大学教材。”班主任罗翠平说,郭怡辰的知识面很广,在全班每周两次的综艺节目上,他主讲时政新闻,头头是道,在辩论赛上,语言犀利。“他不是读死书的人。” 北京理科状元清华附中朱宸卓:非常享受自己在自习室读书的时间 朱宸卓在同学眼中是个开朗、热情的大男孩,初中学习成绩也一直拔尖。提起学习经验,朱宸卓显得非常淡定、有规划。他说,虽然在重点班,清华附中没有给学生很大的压力,自己的父母也给了自己很大的成长空间,同时对自己也非常的信任。相对于其他同学晚上的“加班加点”、“秉烛夜读”,朱宸卓更愿意高效利用黄金时间,“我基本每天用两个小时来完成学习的剩余作业,然后可以自由的做一些自己喜欢的事情”。日常生活中,朱宸卓非常喜爱体育活动。就算在高考复习期间,他也坚持每周打两次球,乒乓球、网球都不落下。 北京高考文科状元张韵凝:喜欢三毛会弹古筝 北京2013年高考文科状元被北京四中张韵凝摘得,总分695。曾获“我与航天”全国青少年载人航天征文活动一等奖。状元的诞生除了自身的天赋和努力,老师的培养也非常重要。在张韵凝的班主任陈年年老师看来,张韵凝有两个特点非常好。一是心特别静,愿意为目标作出努力。心里事儿比较少的人才能更强大。二是很爱读书,尤其偏爱文学类图书。她喜欢的作者有村上春树、三毛等人。因为喜欢三毛,张韵凝报了北大提前批的西班牙语(三毛的丈夫荷西是西班牙人)。 河北高考文科状元于潇:一步一个脚印不断进步 “这个孩子特别坚强,很有韧性。”班主任宁可说,于潇的目标比较高,但有时成绩不太理想,所以身体和心理的压力都很大,“但是她特别坚强,都挺过来了。”在第一次和第二次模拟考试的时候,于潇的成绩在年级70名左右,而第三次模拟考试,成绩在150名左右,能有今日文科夺冠的成绩,宁可认为,主要归功于于潇的坚强。宁可是于潇的政治老师,让他印象深刻的是,于潇对每道题都很关注,力求一分不丢。他介绍说,为了对接高考,衡水中学一直采用网上阅卷的形
高考文科状元经验谈
高考文科状元经验谈-各门复习都有技巧 2009-02-15 在人们的印象中，高考状元们除了努力勤奋，大多是依靠天资聪颖或者兴趣使然，然而黄晨琦却认为，自己虽然记忆力很好，但还是有一些薄弱的科目，对待这些科目，取胜靠的就是复习技巧。数学：提高准确率 数学一直是黄晨琦的头疼科目，他说，数学复习最关键的一点是冲刺阶段要做题并提高准确率。 很多人把试卷从头到尾都做完，但是最后发现很多都错了，这样还不如只做完80%，但是保证每一道题都做对。 语文：研究做题套路 对于语文复习，黄晨琦说自己并没有看过太多中外名著，他的方法是看感兴趣的杂志和研究题目。他拿到一套题目以后，一般会自己先做一遍，然后拿着正确答案仔细分析做错的地方，多看正确答案，研究做题套路。在写作文时，设想一下阅卷老师会喜欢什么样的文章，再注意一下错字、病句等就可以了。 英语：多背单词 黄晨琦认为英语在冲刺阶段的关键是多背单词。对于写作，最好是把前七到八年的试卷答案拿过来，把范文都背诵得非常流利。实在不行可以先写中文，然后翻译。此外，英语比较有效的学习方法是多听多看原版英语电影、书籍和歌曲。 此外，他建议高三的学生不要熬夜或者透支精力。在临近高考的一周，要注意开始调节自己的生物钟，把时间表调节到和高考时间表同步。 高考文科状元写给一个高二学生的信 读书兴趣很重要，就如我今天说的，不喜欢一个老师其实也可能导致自己的厌学，每个学生都存在类似的心理。另外一方面，读书有很大程度上需要自觉，就是必须强迫自己去发奋，我读三中的时候学习压力同你们现在差不多，上课经常犯困，有时候就涂点万金油，有时候站起来上课，有时候去冲冲冷水，经常读得鼻血自己流出来。这绝对没有和你说笑。克服自身的弱点其实要想出一套可行的办法。这个弱点不单单是听不懂、学不会、犯困、容易分神的问题，还包括影响学习的、同学习无关的一些因素，那些同学习无关，而自己却在做的事情往往是影响学习的一个重要原因。你说是不是。只要你能发现问题，挖掘问题，自己克制，一心向着学习，2年的时光太容易打花了，到大学里面就轻松多了。 当然，就我认为，很多学生的学习方法还是存在一定的问题。以我们原来班级为例，坐前面成绩并不理想，坐后面的虽然离黑板远了，离老师远了，但是，上课、读书都很有自己的方法。前面的同学特别是女生，连下课都在读书做作业，有的同学书堆得比头还高，埋在书堆里拼命地读，但是成绩却不怎样。我们后面的下课开玩笑、打闹、打篮球，但是上课时，大家都很认真听讲，很投入，很活跃，经常“喊”，有时候还冲着老师说“老师你错了”；下课后、晚自习，我们基本上都走来走去的互相探讨，互借辅导书看；吃完晚饭后我们经常找一个安静点的地方读语文、读英语。这些其实你在学校都能找到原型。但是，你借鉴和利用了没？“书非借不能读”，读三中的时候虽然家里还不至于买不起辅导书，但是我的观点就是自己的书如果太多了，不但读不完，而且不会真正去读。所以我经常“偷书”，找同学去借，我自己的也经常借给同学，即便你自己把整个“一凡书城”的书搬回宿舍，真正能看
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一) 张掖中学 宋娟 一、教学目标 知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用； 过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力； 情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点 教学重点：利用公式进行简单的恒等变换； 教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容 复习引入(学生组织完成) 问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解 思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222 ααα、、？ 分析：观察α与2 α 的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的 变形公式. 解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2 α 代 替α，即得2cos 12sin 2 α α=-， 所以21cos sin 22 αα -=； ① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得 2cos 2cos 12 α α=-， 所以21cos cos 22 αα +=. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 21cos tan 21cos ααα-=+. 思考2：若已知cos α，如何计算sin cos tan 222 ααα、、？
理科高考状元经验谈
（一）北京：林茜高考总分：709分(满分750分) 我不聪明，但笨鸟先飞 “我不是一个聪明的孩子，但坚持笨鸟先飞。 想比别人优秀，就一定要比别人付出得多。但同时也要注意休息，我高三的时候每晚10点半睡觉，早上6点50分起床。睡眠有了保证，上课时就能全神贯注。而且我住在学校里，就不会上网，不会看电视，这样就有事半功倍的效果。同时，复习时肯定要多做测试题，但是要不要成海就值得商榷……最后，我想告诉学弟学妹们，高三不是一次折磨，是一种升华，你们将要完成的不仅是学业上的飞跃，还有人格上的成熟。” （二）天津：陆宇衡高考总分：683分(满分750分) 超越年龄的“自制力” 这个16岁的小男生在得知自己成了状元时很意外，他说自己不是天才，只是一个按照计划跟着老师复习的乖学生。但他也强调，劳逸结合很重要，所以即便已经高三，陆宇衡仍然是看电视、上网、听歌一个都不能少，还经常在学校的贴吧上发发帖、浏览同学的博客、聊聊天，但他总能很好地控制时间，掌握分寸，在学习与玩乐之间找到平衡点。这种超越年龄的“自制力”也许就是这个小男生最后夺得理科状元的主要原因吧。
（三）山东：赵旭照 高考总分：共714分(含20分优秀学生加分)(满分750分) 注重基础知识学会心理暗示 谈到高考复习，赵旭照的经验是注重基础知识，尤其是到了冲刺阶段，不钻研难题、偏题，而是巩固基本方法。一上高三，赵旭照就给自己定了三轮复习计划。第一轮：详细复习每一个细节，直到第一次模拟考试结束。第二轮：大块内容复习，知识系统化。第三轮：针对高考，练习应考技巧。平时，赵旭照习惯“自我心理暗示”：“不断鼓励自己，无论前面考得怎么样，只要还有一门没结束，就有翻盘机会……” （四）新疆：林佳瑞高考总分：723分(含10分加分)(满分750分) 细节决定成败“我的复习策略就是：抓重点，分小计划，抠细节，争取不失分。我的长处是在学习上很细心，比较注意细节，一些概念性的知识，我都记得很牢。我还有一个厚厚的本子——错题集，那可是我的宝贝。里头全都是些典型题目，是我平时在学习中做错的题，我把它们抄下来，定期拿出来分析，不断巩固复习，最终达到了查漏补缺的效果。高考结束后，我每天除了帮家里做农活外，已经把大学英语和高等数学第一册
(完整版)简单的三角恒等变换(一)
§3.2 简单的三角恒等变换（一） 学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用． ⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形． 教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变 换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力． 教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： （Ⅰ）复习引入： 师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式． 生：（默写公式）． 师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台 本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题： 例1试以cos α表示2 sin 2α，2cos 2α，2tan 2α． 分析：α是2 α的二倍角，因此在仅含α的正弦、余弦的二倍角公式(2)C α中，以2 α代替α就可以得到2sin 2α、2cos 2α，然后运用同角三角函数的基本关系可得2tan 2 α． 解：略． 师：例1的结果还可以表示为：
sin 2α =cos 2α=tan 2α=， 有些书上称之为半角公式，其符号由角2 α终边的位置确定． 师：由例题1和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的角之间的联系． 师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点． 例2求证： ⑴1sin cos [sin()sin()]2 αβαβαβ=++-； ⑵sin sin 2sin cos 22 θ?θ?θ?+-+=． 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现 sin cos αβ与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos x αβ=，cos sin y αβ=， 则有sin()x y αβ+=+，sin()x y αβ-=-，由此解出x ，即求出了sin cos αβ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令αβθ+=，αβ?-=，解出α、β后代如即可． 证明：略 师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将22θ?θ?θ+-=+，22 θ?θ??+-=-代入左边，然后利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出右式． 师：在例2的证明中，把sin cos αβ看成x ，cos sin αβ看成y 把等式看作x ， y 的方程，通过解方程组求得x ，是方程思想的体现；把αβ+看作θ，αβ-看作?，从而把包含α、β的三角函数式变换成θ、?的三角函数式，是换元思想的应用．