常用的求导积分公式及解法
常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式
⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，2
1)1(x x
-
='，x
x 21
)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln =
'；一般地，)1,0( ln 1
)(log ≠>=
'a a a
x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则
设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)
()()()()())()((
2
≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()
()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式
（1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4
3,2,),1( 1143
32
21αααα
；
（2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=
?a a C a
a dx a x x
； （3）?
?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-?
⑴
???
+=+b
a
b a
b
a
dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121
⑵ 分部积分法
设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
??-=b
a
b a
b
a
x du x v x v x u x dv x u )()()
()()()(
6、线性代数 特殊矩阵的概念
（1）、零矩阵 ,00002
2??????=?O （2）、单位矩阵????
?
?
??????=100010001 n I 二阶,100122??
????=?I (3)、对角矩阵??
??
??
??????=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵????
??????---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵??
???????
???=nn n n a a a a a a A 0000
222112
11 下三角形矩阵?
?????
??????=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置??
???????
???=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211转置后?
?
???
?
?
?????=nn n n
n n T a a a a a a a a a A 212221212111
6、矩阵运算 ??
????++++=?????
?+??????=+h d g c f b e a h g f e
d c b a B A ??
?
???++++=????
????????=dh cf dg ce bh af bg ae h g
f e
d c b a AB 7、MATLAB 软件计算题
例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。 解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)
例：试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(x x y +=的一阶导数y '的命令语句。
>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x)+exp(x)); >>dy=diff(y)
例11 试写出用MATLAB 软件计算定积分?2
1
d e 13
x x
x 的命令语句。 解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y,1,2) 例 试写出用MATLAB 软件计算定积分
?
x x
x d e 13
的命令语句。 解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3); >>int(y)
MATLAB 软件的函数命令
典型例题
例1 设某物资要从产地A 1，A 2，A 3调往销地B 1，B 2，B 3，B 4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：
（1）用最小元素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。
解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
找空格对应的闭回路，计算检验数： 11λ＝1， 12λ＝1， 22λ＝0， 24λ＝－2 已出现负检验数，方案需要调整，调整量为
1 调整后的第二个调运方案如下表：
求第二个调运方案的检验数： 11λ＝－1 已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为
2 调整后的第三个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
求第三个调运方案的检验数：
12λ＝2， 14λ＝1， 22λ＝2， 23λ＝1， 31λ＝9， 33λ＝12
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）
例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300
元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。
1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。
2. 写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。
解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0
线性规划模型为
???
??≥≤++≤++++=0150636180544300250400max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x S ，，
2．解上述线性规划问题的语句为： >>clear;
>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
例3已知矩阵??????-=????
?
?????--=??????-=2101111412210101C B A ，，，求：T C AB + 解：??
????-=??????-+??????-=??????-+????
??????--??????-=+3612201116012101111412210101C AB 例4 设y ＝(1＋x 2
)ln
x ，求：y '
解：x
x x x x x x x y 2
2
2
1ln 2))(ln 1(ln )1(++='++'+='
例5 设x
y x
+=1e ，求：y '
解：2
2)
1(e )1()1(e )1()e (x x x x x y x
x x +=+'+-+'=' 例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万
元，销售该产品q 百台的收入为R (q )＝4q －0.5q 2
（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？
解：产量为q 百台的总成本函数为：C (q )＝q ＋2
利润函数L (q )＝R (q )－C (q )＝－0.5q 2
＋3q －2 令ML (q )＝－q ＋3＝0 得唯一驻点 q ＝3（百台） 故当产量q ＝3百台时，利润最大，最大利润为
L (3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）
例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
解：库存总成本函数q
q q C 1000000000
40)(+
=
令010********
401)(2=-=
'q
q C 得定义域内的唯一驻点q ＝200000件。 即经济批量为200000件。 例9 计算定积分：?
+10
d )
e 3(x x x
解：
2
5e 3)e 321(d )e 3(|1021
-=+=+?x x x x x 例10 计算定积分：?+3
1
2d )2
(x x
x
解：
3ln 23
26
|)|ln 231(d )2(|3133
1
2+=+=+?x x x x x
教学补充说明
1. 对编程问题，要记住函数e x
，ln
x ，x 在MATLAB 软件中相应的命令函数exp(x)，
log(x)，sqrt(x)；
2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
c x a x x a a
++=
+?1
11d （a ≠－1） c x x x +=?
e d e c x x x +=?||ln d 1
7. 记住两个函数值：e 0＝1，ln
1＝0。
模拟试题
一、单项选择题：（每小题4分，共20分）
1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。
(A) 等于 (B) 小于 (C) 大于 (D) 不超过
2．某物流公司有三种化学原料A 1，A 2，A 3。每公斤原料A 1含B 1，B 2，B 3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A 2含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A 3含B 1，B 2，B 3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A 1，A 2，A 3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B 1成分至少100公斤，B 2成分至少50公斤，B 3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A 1，A 2，A 3的用量分别为x 1公斤、x 2公斤和x 3公斤，则目标函数为（ D ）。 (A) max S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3 (B) min S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3 (C) max S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3 (D) min S ＝500x 1＋300x 2＋400x 3
3. 设??
?
???=??????-=721,7421x B x A ，并且A ＝B ，则x ＝（ C ）
。 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
4．设运输某物品q 吨的成本（单位：元）函数为C (q )＝q 2
＋50q ＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。
(A) 170 (B) 250 (C) 1700 (D) 17000
5. 已知运输某物品q 吨的边际收入函数为MR
(q )，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为（ D ）。
(A)
)0(d )(300
100
C q q MR +?
(B) ?100
300d )(q q MR (C) ?q q MR d )(
(D)
?300
100d )(q q MR
二、计算题：（每小题7分，共21分）
6．已知矩阵??????-=????
?
?????--=??????-=2101111412210101C B A ，，，求：AB ＋C 解：??
????-=??????-+??????-=????
??-+?????
?????--??????-=+3702210116012101111412210101C AB 7. 设3
1ln x x
y +=
，求：y ' 解：2
32
3233
3)1(ln 31)1()1()(ln )1()(ln x x x x x x x x x x y +-+=+'+?-+?'='
8. 计算定积分：?+1
3d )e 2(x x x
解：
4
7e 2)e 241(d )e 2(|1
041
03-=+=+?x x x x x 三、编程题：（每小题6分，共12分）
9. 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)
10. 试写出用MATLAB 软件计算定积分
?
10
d e x x x 的命令语句。
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1)
四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
解： 库存总成本函数q
q q C 100000000040)(+= 令010********
401)(2=-=
'q
q C 得定义域内的惟一驻点q ＝200000件。 即经济批量为200000件。
12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。
解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0
线性规划模型为
???
??≥≤++≤++++=0150636180544300250400max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x S ，，
解上述线性规划问题的语句为： >>clear;
>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
线性规划习题
1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A ，B ，C 三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行）。
解：设生产甲产品1x 吨，乙产品2x 吨。 线性规划模型为： 2143max x x S +=
???????≥≤≤+≤+0
,38262122121x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为： >> clear; >> C=-[3 4];
>> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
2. 某物流公司有三种化学产品A 1，A 2，A 3都含有三种化学成分B 1，B 2，B 3，每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B 1成分至少100斤，B 2成分至少50斤，B 3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。
解：设生产1A 产品1x 公斤, 生产2A 产品2x 公斤, 生产3A 产品3x 公斤,
???
???
?≥≥++≥++≥++++=0,,803.06.01.0504.03.02.01003.01.07.0400300500min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x S
3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行出结果）
解：设生产桌子1x 张，生产椅子2x 张
??
?
??≥≤+≤++=0,88012201000
14101012max 2121212
1x x x x x x x x S
MATLAB 软件的命令语句为： >> clear;
>> C=-[12 10];
>> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000；880]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D 四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C 机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D 机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：设生产甲产品1x 件，乙产品2x 件。 线性规划模型为： 2186max x x S +=
?
??
????≥≤≤≤+≤+0,1400
2180051200
32150034212
121
21x x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear; >> C=-[6 8];
>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];
>> B=[1500；1200；1800；1400]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C 三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料
50吨。每吨A 产品需要甲原料2吨；每吨B 产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C 产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C 产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：设生产A 产品1x 吨，B 产品2x 吨，C 产品3x 吨。 线性规划模型为：
3215.023max x x x S ++=
???????≥≤+≤+0
,,50423023213221x x x x x x x
用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：>> clear;
>> C=-[3 2 0.5];
>> A=[2 1;2 4];
>> B=[30；50];
>> LB=[0;0；0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
基本积分公式
§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )
(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）
高等数学常用导数和积分公式
高等数学常用导数和积分公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： （一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝ （二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝ （三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝ （五）含有的积分29.＝30.＝ （六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝ （七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝
（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇 数），＝1 （为正偶数），＝
常用基本初等函数求导公式积分公式.doc
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
常用求导积分公式及不定积分基本方法
常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
最新导数公式、微分公式和积分公式
基本公式 导数公式微分公式 积分公式 反三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式
基本三角函数公式 导数公式微分公式 积分公式 其他积分公式 C a x x a x x C a x a x a x dx x a + ± + = ± + + - = - ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln d arctan 2 2 () C x x e x x e C x x e x x e C a x x a x x x a x x x x x + + = + - = + ± + + ± = ± ? ? ? ) cos (sin 2 1 d cos cos sin 2 1 d sin ln 2 d2 2 2 2 2 2
青岛市高三统一质量检测 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i 是虚数单位，复数 i i +12的实部为 A ．2 B ．2- C ．1 D ．1- 2. 设全集R U =，集合{} 2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()U N M = A ．{}|21x x -≤< B ．{}|01x x <≤ C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|1x x < 3. 下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．)22sin(π - =x y B. )2 2cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π +=x y 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3a a a ==,则9S = A ．90 B ．54 C ．54- D ．72- 5. 已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若l m ⊥,l n ⊥,且,m n α?,则l α⊥ B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα// C ．若n m m ⊥⊥,α，则α//n D ．若α⊥n n m ,//，则α⊥m 6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是 A ．16π B ．14π C ．12π D ．8π 7. 已知抛物线x y 42 =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物 线上一点，且在第一象限，l PA ⊥，垂足为A ，4PF =，则直线AF 的倾斜角等于 正视图 俯视图 左视图
常用求导与定积分公式(完美)
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则
若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+?
三角函数积分公式求导公式
一．三角函数 二．常用求导公式 三．常用积分公式 第一部分三角函数 同角三角函数的基本关系式 诱导公式
化asin α±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴0)(='C （C 为常数）⑵1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1 )(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>= 'a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式
1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴???+=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
基本求导积分公式81281
1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ??-=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()() ()()()( 6、线性代数
积分基本公式
2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0)
(4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C
(12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C
注．(1)不是 在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x． 事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则
(ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与 的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．
6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义． 定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)． 证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现 ?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u，
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表 一、导数公式 1．幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5．反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6．其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1．幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2．指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3．有关对数 C u du +=? ln 4．三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5．反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6．其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2
三角函数反三角函数积分公式_求导公式
1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) = cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa
tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) =a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx
常用的求导积分公式及解法
常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，2 1)1(x x - ='，x x 21 )(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>= 'a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 1143 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+= ?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
.基本初等函数求导公式 (1) (C) =0 (2) （X ，）-七心 ⑶ (sin x) = cosx (4) (cosx) - -sinx (5) (tan x)二 sec x (6) (cot x)二- csc 2 x ⑺ (secx) = secxtan x (8) (cscx) = - cscx cot x (9) (a x f-a x ln a (10) (e x )— 函数的和、差、积、商的求导法则 = u （x ），v =v （x ）都可导，则 反函数求导法则 若函数 x = Uy ）在某区间Iy 内可导、单调且 （y ^"0，则它的反函数y = f （x ）在对应区间Ix 内也可导，且 (11) DU (12) (ln x)二丄 x ， (13) (arcsin x)，=( 1 -x 2 (14) (arccosx)" = 1 - x (15) (arctan x) 1 +x (arccot x)= (16) 1 1 x 2 (1) （U 士 V ）= u 士 V (2) （Cu ）'C 「（ C 是常数） (3) (uv) = u v uv (4) v 2
少丄 dx 一 dx dy 复合函数求导法则 设 y = f (u)，而U v (x)且f (u)及(x)都可导，则复合函数 y = f ［「(x)］的导数为 、基本积分表 (1) kdx=kx ?c ( k 是常数) (2) x'dx 二+ C, (u 」1) ."1 1 (3) dx = I n | x | C ? x dx (4) = arl tan x C ‘1 +x 2 (6) cosxdx =s in x C (7) sin xdx = -cosx C 1 (8) 厂dx = ta n x C ' cos x 1 (9) 厂 dx = - cot x C ' sin x (10) secxtanxdx^secx C f (X )二 dy dy_du dx du dx 或 y \f (U)L (x) (5)
最新基本求导积分公式81281
基本求导积分公式 81281
1．基本求导公式 ⑴?Skip Record If...?（C为常数）⑵?Skip Record If...?；一般地，?Skip Record If...?。 特别地：?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?。 ⑶?Skip Record If...?；一般地，?Skip Record If...?。 ⑷?Skip Record If...?；一般地，?Skip Record If...?。 2．求导法则⑴四则运算法则 设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）?Skip Record If...?； （Ⅱ）?Skip Record If...?，特别?Skip Record If...?（C为常数）； （Ⅲ）?Skip Record If...?，特别?Skip Record If...?。 3．微分函数?Skip Record If...?在点x处的微分：?Skip Record If...? 4、常用的不定积分公式 （1）?Skip Record If...?； （2）?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?（k为常数） 5、定积分 ?Skip Record If...? ⑴?Skip Record If...? ⑵分部积分法 设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...? 6、线性代数 特殊矩阵的概念 （1）、零矩阵?Skip Record If...?（2）、单位矩阵?Skip Record If...?二阶?Skip Record If...? (3)、对角矩阵?Skip Record If...?(4)、对称矩阵?Skip Record If...? (5)、上三角形矩阵?Skip Record If...?下三角形矩阵?Skip Record If...? (6)、矩阵转置?Skip Record If...?转置后?Skip Record If...? 6、矩阵运算?Skip Record If...?
(完整word版)积分求导公式表
常用公式表 1、求导法则： （1）（u+v ）/ =u / +v / （2）（u-v ）/ =u / -v / （3）（cu ）/ =cu / （4）（uv ）/ =uv / +u / v （5）2 v v u v u v u ' -'=' ?? ? ?? 2、基本求导公式： （1）（c ）/ =0 （2）（x a ）/ =ax 1 -a （3）（a x ）/=a x lna （4）（e x ）/=e x （5）（㏒a x ）/=a x ln 1 （6）（lnx ）/ =x 1 （7）（sinx ）/ =cosx （8）（cosx ）/ =-sinx （9）（tanx ）/=2)(cos 1 x =（secx ）2 （10）（cotx ）/=-2)(sin 1x =-（cscx ）2 (11)(secx)/ =secx*tanx (12)(cscx)/ =-cscx*cotx (13)(arcsinx)/=2 11 x - (14)(arccosx)/ =-2 11 x - (15)(arctanx)/=211x + (16)()2 11cot x x arc +- =' 3、基本积分公式 （1） ? kdx=kx+c （2）C x a dx x a a ++= +?1 1 1 （3）c x dx x +=?ln 1 （4）C a a dx a x x += ?ln （5） ? +=c e dx e x x （6）?+-=C x xdx cos sin （7）?+=C x xdx sin cos （8）C x dx x xdx +==??tan cos 1 sec 22 （9） c x dx x xdx +-==?? cot sin 1 csc 2 2 (10) ? +=-c x dx x arcsin 112 （11）c x dx x +=+?arctan 11 2
三角函数 积分公式 求导公式
一．三角函数二．常用求导公式三．常用积分公式 第一部分三角函数
第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，2 1 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式 1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分
初等函数基本求导、积分公式
初等函数基本求导公式 （1）0)(='c （2）αααα()(1-='x x 为任意实数） （3）a a a x x ln )(=' （4）x x e e =')( （5）a x x a ln 1)(log = ' （6）x x 1 )(ln =' （7）x x cos )(sin =' （8）x x sin )(cos -=' （9）x x 2sec )(tan =' （10）x x 2csc )(cot -=' （11）x x x tan sec )(sec =' （12）x x x cot csc )(csc -=' （13）211 )(arcsin x x -=' （14）211)(arccos x x --= ' （15）211)(arctan x x += ' （16）211)cot (x x arc +-='
初等函数基本积分公式（《应用统计》必备知识，要求记住） (1)C kx kdx +=?(k 是常数) (2)C x dx x ++= +?111μμμ (3)C x dx x +=?||ln 1 (4)C e dx e x x +=? (5)C a a dx a x x +=?ln (6)C x xdx +=?sin cos (7)C x xdx +-=?cos sin (8)C x xdx dx x +==?? tan sec cos 122 (9)C x xdx dx x +-==??cot csc sin 1 2 2 (10)C x dx x +=+? arctan 112 (11)C x dx x +=-?arcsin 11 2 (12)C x xdx x +=?sec tan sec (13)C x dx x +-=?csc cot csc (14)C x dx x +=?ch sh (15)C x dx x +=?sh ch (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec
常用微积分公式大全
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：