矩阵典型习题解析

2 矩阵

矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!

2.1 知识要点解析

2.1.1 矩阵的概念

1．矩阵的定义

由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表

mn m m n n a a a a a a a a a A

21

22221

11211

称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵

（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；

（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）

三角阵；

（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；

（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;

)(

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。

2.1.2 矩阵的运算

1．加法

（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律

① A+B=B+A ；

②（A+B ）+C =A +（B+C ）

③ A+O=A

④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵

2．数与矩阵的乘法

（1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA ,

③ (KL ) A = K (LA )

3．矩阵的乘法

（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则

,)(mp ij C C AB 其中

n

k kj

ik ij b a

C 1

（2）运算规律

①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂

①定义：A n ij a )( ，则K

k A A A

②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

①BA AB

②;00,0 B A AB 或不能推出

③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置

（1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A

的转置，记为nm a A ji T )( ，

（2）运算规律

①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA

④T T T A B AB )(。

（3）对称矩阵与反对称矩阵

若,A A T 则称A 为对称阵；

A A T ，则称A 为反对称阵。

5．逆矩阵

（1）定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，

则称A 为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1 A B 。

（2）A 可逆的元素条件：

A 可逆0 A

（3）可逆阵的性质

①若A 可逆，则A -1也可逆，且(A -1)-1 =A ； ②若A 可逆，k ≠0，则kA 可逆，且1

11)(

A k

kA ； ③若A 可逆，则A T 也可逆，且T T A A )()(11 ； ④若A ，B 均可逆，则AB 也可逆，且111)( A B AB 。 （4）伴随矩阵

①定义：T n ij A A )(* ，其中ij A 为ij a 的代数余子式， ②性质：

i ）E A A A AA **； ii ）1

* n A A ；

iii ）A A

A n 2

**)( ；

iv ）若A 可逆，则*A 也可逆，且A A

A A 1)()(*11* ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*

11A A

A

2.1.3 方阵的行列式

1．定义：由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式（各元素的位置不变）叫

做方阵A 的行列式，记为A 或detA 。

2．性质：

（1）A A T ，

（2）A k kA n ，

（3）B A AB ，

（4）A

A 11

3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵

(1) 单位阵E ：E E E 1;

1；

(2) 数量矩阵kE ：;n k kE 当E k

kE k 1)(,01 时 (3)对角阵：

;,*

212

1n n

则

若021 n ，则

n 11

12

11

4． 上（下）三角阵

设nn nn a a a A a a a A

221122

11

,*

则 若0 A ，则1 A 仍为上（下）三角阵

2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换

①交换两行（列）；

②某行（列）乘一个不为零的常数k ；

③某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。

2．初等矩阵

（1）定义：将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；

交换i ,j 两行（列），记为E (i, j )；

第i 行（列）乘以不为零的常数k 记为E(i(k))；

第j 行的k 倍加到第i 行上去，记为E(j(k)i ； （2）初等矩阵的性质

初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵； 而)1())](([)

()]([11

k i E k i E ij E ij E

] )([)] )(([1i k j E i k j E

（3）方阵A 可逆与初等阵的关系

若方阵A 可逆，则存在有限个初等阵t P P P ,,,21 ，使t P P P A 21 ，

（4）初等阵的行列式

1) )((,

))((,

1)( i k j E k k i E ij E

（5）初等阵的作用：

对矩阵A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A ，且

A i k j E A k A k i E A A ij E ) )((,

))((,

)(

3．矩阵的等价

（1）定义：若矩阵A 经过有限次初等变换变到矩阵B ，则称A 与B 等价， （2）A 与B 等价的三种等价说法，

①A 经过一系列初等变换变到B ；

②存在一些初等阵t s F F E E ,,,,,11 ，使得B F AF E E t s 11 ③存在可逆阵P ，Q ，使得PAQ=B

2.1.5 分块矩阵

1．分块矩阵的定义

以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2．分块矩阵的运算

（1）设A ，B 为同型矩阵，采用相同的分法有

st s t t st s t t B B B B B B B A A A A A A A

1

221

111

1

221

111

则

),,2,1;,,2,1()

(t j s i B A B A ij ij

（2）),,2,1;,,2,1()

(t j s i kA kA ij

（3）设,)(,)(np ij mn ij b B a A 分块成

tr t r st s t B B B B B A A A A A

1

1111

111 其中it i i A A A ,,,21 的列数分别等于tj j j B B B ,,,21 的行数，则

sr ij c C AB )( ，其中

t

k kj ik

ij s i B A

c 1

)r ,1,2,j ;,,3,2,1(

3．准对角阵 （1）定义：形如

s A A A A

2

1

A i 为n i 阶方阵的矩阵称为准对角阵。 （2）准对角阵的行列式及逆矩阵

设

s A A A A

2

1

，则s A A A A 21 ；若每个A i 可逆，则A 可逆，且

11

2

1

11

s A A A A

（3）特殊的准对角阵

（i ）

21

A A A ，若A 1, A 2可逆，则

12111

A A A （ii ）

2

1A

A A ，若A 1, A 2可逆，则

1

112

1

A A A （iii ）

C O

D B

A 是0,0,0 C

B A

C B 则

且

1111

1

C DC B B A （iv ）0,0,0

C B C

D B A ，则

11111

0C DB C B A

2.2 经典题型解析

2.2.1 矩阵的运算

1、若11221252121=11231c c c b

L L L L L L L 则c = 解：由415a 得a =0, 11c =4 而-1+2b +6=-1得b =-3, 22c =-7

从而 c 45=17

提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。

2、设A 为三阶矩阵，且4,A 则____.A 21（）2

解：3

22111

444A A A

g 21（）2

易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错

误就是对矩阵进行行列式计算时，把A 2

1（）2

的阶数给忘记计算。 3、设A 为3 3矩阵，B 为4 4，且12A B ，，则___.B A 解： 3

218.B A B A g