《海岸动力学复习题》word版

第一章波浪理论

1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?

【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度ρ为一常数；

（2）流体是无粘性的理想流体；（3）自由水面的压力均匀且为常数；（4）水流运动是无旋的；（5）海底水平且不透水；

（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计；（7）波浪属于平面运动，即在xz 水平面内运动。

1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。

【答】：波浪运动基本方程是Laplace 方程：02222=??+??z x φ

φ或写作：02=?φ。该方程属二元

二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：

初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。边界条件：

（1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即

=-=h z w

或写为在z=-h 处，

0=??z

（2）在波面z=η处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件 A 、动力边界条件

0212

2=+?

?????????? ????+??? ????+??==ηφφφ

g z x t

z z

由于含有对流惯性项???

??????? ????+??? ????2221z x φφ，所以该边界条件是非线性的。

B 、运动边界条件，在z=η处

0=??-????+??z

x x t φ

φηη。该边界条件也是非线性的。（3）波场上下两端面边界条件 ),(),,(z ct x t z x -=φφ 其中c 为波速，x -ct 表示波浪沿x 正向推进。

1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。

【答】：微幅波理论的基本方程为：02=?φ

定解条件：z=-h 处，

0=??z

z=0处， 022=??+??z g t φ

z=0处，??

????-=t g φη1

),(),,(z ct x t z x -=φφ

求解方法：分离变量法 1.4 线性波的势函数为()[]()

()t kx kh z h k gH σσφ-?+?=

sin cosh cosh 2，证明上式也可写成()[]()

()t kx kh z h k Hc σφ-?+?=

sin sinh cosh 2 【证明】：由弥散方程：()kh gk tanh 2?=σ以及波动角频率σ和k 波数定义: T

πσ2=

, L

k π

可得：()kh L

g T tanh 22π

πσ?=?

，即 ()()kh kh L T g cosh sinh ?

?=σ 由波速c 的定义：T

c =

故：()()c kh g kh sinh cosh ?=?σ 将上式代入波势函数： ()[]()

()t kx kh z h k gH σσφ-?+?=

sin cosh cosh 2 得： ()[]()

()t kx kh z h k Hc σφ-?+?=

sin sinh cosh 2 即证。

1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度()[]

()

()t kx kh z h k T H u σπ-?+?

cos sinh cosh ,

()[]

()

()t kx kh z h k T H w σπ-?+?

sin sinh sinh

并绘出相位()t kx σ-=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及相位=0, 2

2π

和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布. 解：(1)证明: 已知势函数方程()[]()

()t kx kh z h k Hc σφ-?+?=

sin sinh cosh 2

则()[]()()t kx kh z h k Hck x u σφ-?+?=??=

cos sinh cosh 2 其中: T L c =,L

k π2= ∴()[]

()

()t kx kh z h k T H u σπ-?+?

cos sinh cosh .

同理: ()[]()()t kx kh z h k Hck z w σφ-?+?=??=

sin sinh sinh 2

()[]

()

()t kx kh z h k T H σπ-?+?

sin sinh sinh

(2) 自由表面时z=0，则()t kx kh T H

u σπ-?=

cos )

tanh(,()t kx T

w σπ-?=

sin

质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-t

图.1

相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z 由-h 到0。当()t kx σ-=0时)](cosh[)

sinh(h z k kh T H

u +=

π,0=w 曲线见图.2

当()t kx σ-=

时0=u ,)](sinh[)

sinh(h z k kh T H

w +=

π曲线见图.3

当()t kx σ-=

时)](cosh[)

sinh(h z k kh T H

u +-

=π,0=w 曲线见图.4

当()t kx σ-=3

时0=u ,)](sinh[)

sinh(h z k kh T H

w +-

=π曲线见图.5

当()t kx σ-=

时)](cosh[)

sinh(h z k kh T H

u +=

π,0=w 同图.2

)

tanh(kh T H

)

sinh(kh T H π

-h 0

图.2

z u

H π

-h 0 图.3

z w

-h 0

)

sinh(kh T H π-

)

tanh(kh T H π-

图.4

-h 0

H π-

图.5 z

)

tanh(kh T H

π kx- t

kx- t

1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T 和水深h 计算波长，波速和波数

的程序，并计算T=9s ，h 分别为25m 和15m 处的波长和波速。

解：该程序用c++语言编写如下：

#include "iostream.h" #include

const double pi=3.1415926,g=9.8; void main( )

{ double x 0,x,L,k,c,h; int i,T;

cout<<"please input T and h\n"<<"T="; cin>>T; cout<<"h="; cin>>h; x 0=1.0e-8;

x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x 0)); for(i=1;(fabs(x-x 0)>1.0e-8);i++) { x 0=x;

x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x 0));

} L=2*pi*h/x; k=2*pi/L; c=L/T;

cout<<"L="<

}

运算可得当T=9s,h=25m 时,L=111.941m,c=12.4379m/s

当T=9s,h=15m 时,L=95.5096m,c=10.6122m/s

1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。

【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：1)()(2

0220=-+-b

z z a x x 式中))

sinh()](cosh[2(0kh h z k H a +=

为水平长半轴，))sinh()]

(sinh[2(0kh h z k H b +=

b 为垂直短半轴。在深水的情况下，即h →无穷大，

有：()

)()()(00002121)](sinh[h z k h z k h z k e e e h z k ++-+=-=

+， ()

kh kh kh e e e kh 2

21)sinh(=-=-，

()

)()()(00002

21)](cosh[h z k h z k h z k e e e h z k ++-+=+=+

那么，水平长半轴0

002

22)sinh()](cosh[2)(0kz kh

kh kz kh h z k e H e e e H e e H kh h z k H a ===+=+ 垂直短半轴0

002

22)sinh()](sinh[2)(0kz kh kh kz kh h z k e H e e e H e e H kh h z k H b ===+=

+ 所以当水深无限深时，长半轴a 与短半轴b 相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。

1.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为216

gh ρ

【证明】：单位水柱体内的平均势能dxdz gz L L E l p

??=00

ηρdx g L l

??=0221ηρ 其中: ()t kx h

ση-=

cos 2

∴

E p ()[]dx t kx L

gH l ?-+?=

22cos 121

8σρ

L gH 82ρ=()L

t kx k x 0

2sin 4121??????-+σ =2

161gh ρ 单位水柱体内的平均动能()dxdz w u L L E l h k 22

002

1+=??-ρ

其中: ()[]

()

()t kx kh z h k T H u σπ-?+?

cos sinh cosh

()[]

()

()t kx kh z h k T H w σπ-?+?

sin sinh sinh

()

()[]{()()[]()}t kx z h k t kx z h k kh T H w u σσπ-++-+=

2sin sinh cos cosh sinh

()

()[](){}t kx h z k kh T H σπ-++=

2cos sinh sinh ∴(){()[]()}dxdz t kx h z k kh LT H L E l h

k ??-++=-00

222222cos sinh sin 2σρπ

()

{}????---++=

l l h

dxdz t kx dxdz h z k kh LT H 000

2)(cosh )]([sinh sin 2σρπ ()???

??????????---++++-=-l h t kx t kx k h kh kz k L kh kz k L kh LT H 00222

2)()sinh(212)22sinh(4)2(sin 2σσρπ ())2sinh(4sin 22

2kh k

kh LT H ??

ρπ ())cosh()sinh(224sin 22

222

2kh kh L kh LT H ????=π

ρπ )

tanh(216

2kh gT L

gH π

ρ?

= =

216

gH ρ 1.9 在水深为20m 处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度

z=-2m,-5m,-10m 处水质点轨迹直径.

【解法1】：由弥散方程：()kh gk tanh 2?=σ T πσ2=

, L

k π2= 利用题1.6可得L=38.8m k=0.162m -1

h/L=20/38.8=0.515>0.5 为深水波故此时质点运动轨迹为一直径D 为0kz He 的圆不同0z 值下的轨迹直径可见下表：

【解法2】：将弥散方程()kh gk tanh 2?=σ 可写成()0tanh 2=?-kh gk σ

经试算得L=38.91m ，那么，h/L=20/38.91=0.514>0.5 为深水波后续计算与解法1相同。

1.10 在水深为10m 处，波高H=1m,周期T=6s,用线性波理论计算深度z=-2m 、

-5m 、-10m 处水质点轨迹直径。

解：将弥散方程()kh gk tanh 2?=σ 可写成()0tanh 2=?-kh gk σ

那么，水平长半轴)sinh()](cosh[20kh h z k H a +=

，垂直短半轴)

sinh()]

(sinh[20kh h z k H b +=b 。

以z=-2m 为例，分别计算：()()

()

589

.121

21)](cosh[0384.10384.1)102(1298.0)102(1298.0)()(000=+=+=+=

+-+--+-+-+e e e e e e h z k h z k h z k

()

235.121)](sinh[)()(000=-=

++-+h z k h z k e e h z k ()()

694

.121

21)sinh(298.1298.1=-==-=--e e e e kh kh kh

所以z=-2m 时的水平向的长轴2a=1.287m ；垂直向的短轴2b=1.372m 。

不同

z 值下的轨迹直径可见下表：

1.11在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期T=5s,最大压力p

max

=85250N/m 2(包括静水压力,但不包括大气压力),最小压力p min =76250N/ m 2,问

当地水深波高值.

解：分析压力公式p z ()[]()

()t kx kh h z k H g gz σρ

ρ-?+?+-=cos cosh cosh 2 ()t kx σ-cos ＝0时压力最小,即:p min ρgz -=＝76250N/m 2 (1)

()t kx σ-cos ＝1时压力最大,

即:p max ()[]()

kh h z k H g gz cosh cosh 2+?+-=ρ

ρ＝85250 N/m 2 (2)

由（1）式可得z=－7.8m 故h=－z=7.8m

由弥散方程：()kh gk tanh 2?=σ T πσ2=, L

k π

2= T=5s,h=7.8m

利用题1.6可得L=36.6m kh=0.181*7.8=1.412 代入（2）式可得 H=4.0m.

1.12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高H 0=2m,周期T=10s ，问传到1km

长的海岸上的波浪能量（以功率计）有多少？设波浪在传播中不损失能量。

解：通过1km （单宽）波峰线长度的平均能量传输率，即波能流P ，假设波浪在传播中不损失能量时，浅水区等于深水区，即P s = P 0，有：

（Ecn ）0=（Ecn ）s

s s kh kh c gH kh kh c gH ????

??+=???? ??+)2sinh(212181)2sinh(2121812

0020ρρ 因深水时sinh （2kh ）>>2kh ，则上式左边=21

81020c gH ρ

浅水时sinh （2kh ）≈2kh ，则上式右边=s s c gH 28

那么，P s =（Ecn ）s =s s c gH 281

=（Ecn ）0=2181020c gH ρ=π

ρ216120gT gH =102321

22g ρπ=38310.55（N/s ）

线性波近底水质点速度)

cos()

sinh(1

t kx kh T H

u σπ-=

斯托克斯波近底水质点速度

1.14 如果二阶斯托克斯波η的附加项（非线性项）的振幅小于线性项的5%时，

可以略去附加项而应用线性波理论，问在深水处应用线性波理论的最大允许波陡是多大？在相对水深h/L=0.2处应用线性波理论的最大允许波陡又是多大？

解：（1）深水区的二阶斯托克斯波η的附加项（非线性项）为：

)(2cos )(4t kx L

H σπ-

由题意知，附加项（非线性项）的振幅小于线性项的5%，即

)cos(2

05.0)(2cos )(4t kx H

t kx L H H σσπ-≤- 根据振幅定义，可知余弦项应为1，那么上式变为

05.0)(4H

L H H ≤π 则在深水处应用线性波理论的最大允许波陡波陡

0318

.01.04205.0)(==≤=ππδH H L H

（2）在相对水深h/L=0.2处，即h=2L ，kh=ππ

π4222==L L

h L ，并考虑振幅定义，余弦项

应为1，那么，附加项（非线性项）的振幅：

)(42)(8)

4(sinh ]2)8[cosh()4cosh()(8)

(sinh ]

2)2[cosh()cosh()

(833L H

H L H H L H H kh kh kh L H H πππππππ==+?=

+? 线性波理论的振幅：2

)cos(2H t kx H =-=

ση 依题意，有

05.0)(4H

L H H ≤π 则在相对水深h/L=0.2处应用线性波理论的最大允许波陡

0318

.01.04205.0)(==≤=ππδH H L H

1.15 在水深为5m 处，H=1m ，T=8s ，试计算斯托克斯质量输移速度沿水深的分

布并计算单位长度波峰线上的质量输移流量。

解：计算波长L ，)4

.31tanh(97.99)514.32tanh(14.32881.9)tanh(222L

L kh gT L ?=????==π 利用试算法，计算得L=53.083m ，因σ=2π/T=0.785，k=2π/L=0.1183

根据下式（即教材公式（1-118））、针对不同水深z 可计算斯托克斯质量输移速度沿水深的分布，如下表及下图所示。

????????? ??-??????++??????++?++????????? ??-=??1232)2sinh(31)(4)(3)2sinh(312cosh 2)(sinh 1622

222h z

kh kh h z h z kh kh h z kh kh k H U σ

质量输移速度的垂直分布（横轴：/T

H 42σ;纵轴：z/h ）

单位长度波峰线上的质量输移流量

098

.08

*41*42

ππT

H q m 3

/sm 。

1.16 试述波浪频谱和波浪方向谱的意义。

答：波浪谱可以用来描述波浪的内部结构，说明海浪内部由哪些部分所构成及其内在关

系。海浪的总能量由Δσ间隔内不同频率的组成波所提供，也即海浪的总能量就是全部组成波的能量和。所谓频谱就是波能密度（单位频率间隔内的平均波能量）在组成波频率范围内的分布。波浪谱只能描述某一固定点的波面，不能反映波浪内部相对于方向的结构，也不足以描述大面积的波面。

实际上，波能密度（单位频率间隔内的平均波能量）在组成波的频率范围Δσ内和方向范围Δθ内均有分布。如果给定了频率时，只描述不同方向间隔的能量密度，反映海浪内部方向结构的能谱叫做方向谱。方向谱对于研究海浪预报、波浪折射、绕射以及