椭圆知识点总结及经典习题
圆锥曲线与方程--椭圆
知识点
一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；
这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程：
222c a b =-
①焦点在x 轴上：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0）
②焦点在y 轴上：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ）
注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：22
1x y m n
+
= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围
（1）椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b
（2）椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a
2.对称性
椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点
（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）
（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率
（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比
22c
a
，即a c 称为椭圆的离心率，
记作e （10< 2 2 1()b e a a ==-c e 0=是圆； e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆; e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 小结一：基本元素 （1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆2 2 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200 221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 22 1(0)x y a b a b +=>>的外部2200 221x y a b ?+>. 6.几何性质 （1）点P 在椭圆上， 最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠ （2）最大距离，最小距离 7.直线与椭圆的位置关系 （1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； （2）弦长公式： （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法 例题讲解： 一.椭圆定义： １．方程 ()()10222 22 2=+++ +-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 二．利用标准方程确定参数 1.若方程25x k -+2 3y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , 3．椭圆22 14x y m + =的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。 三．待定系数法求椭圆标准方程 1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为 4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； 变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。 四．焦点三角形 1．椭圆22 1925 x y + =的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ?的周长是 。 2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ?的周长是多少？21F PF ?的面积的最大值是多少？ 3．设点P 是椭圆22 12516 x y + =上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ?的面积为 。 变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若?=∠6021PF F ， 求21F PF ?的面积． 五．离心率的有关问题 1.椭圆1422=+ m y x 的离心率为2 1 ，则=m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 5.在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 六、最值问题： 1、已知椭圆2 214 x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。 2.椭圆2 214 x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____， 七、弦长、中点弦问题 1、已知椭圆1422=+y x 及直m x y +=线． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5 10 2，求直线的方程． 2已知椭圆12 22 =+y x ， (1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程 （2）求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； 同步测试 1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( ) A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、椭圆 22 1169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则?CDF 1的周长为______ 3已知方程 22 111x y k k +=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2) 5.椭圆22 221(0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。 若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为_________ 6已知椭圆的方程为22 143x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=?,求12PF F ?的面积 7.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为 8.椭圆136 1002 2=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是 9．已知椭圆)5(1252 22>=+a y a x 的两个焦点为1F 、2F ，且821=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长 10、椭圆 3 2x ＋22y =1与椭圆22 x ＋3 2y = (0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 11、椭圆192522=+y x 与125922 =-+-λ λy x （0 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 12.点P 为椭圆 116 252 2=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF PF ?的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________. 感受高考 1．分别过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1、F 2作两条互相垂直的直线l 1、l 2，它们的 交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B.? ???? 0，22 C.? ?? ??22，1 D.? ???? 0，22 2．椭圆x 2100＋y 2 64＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面 积是( ) A.6433 B.9133 C.1633 D.64 3 3．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) 4已知点F ，A 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点、右顶点，B (0，b )满足FB →·AB →＝0， 则椭圆的离心率等于( ) A.3＋1 2 B. 5－12 C.3－1 2 D. 5＋1 2 5．已知椭圆x 24＋y 2 2＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、 B 两点，以下结论中：①△ABF 1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB |＝8 3；正确结论 的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A， 7．过椭圆C： B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆 C 的离心率为________． 8若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围 是________． 9．已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 2 9＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝________. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标； . 11．椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1 2. (1)求 椭圆E 的方程； 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！