恒成立问题及有解问题的区别.doc
恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活
跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在
同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。
1、恒成立问题
恒成立问题与一次函数联系
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a
上述结论等价于
≠ 0), 若y=f(x) 在 [m,n] 内恒有f(x)>0 ，则根据函数的图象（直线）可得
a 0 a 0 f (m) 0
ⅰ） f (m) 0 或ⅱ） f (n) 0
亦可合并定成 f (n) 0
f (m) 0
同理，若在 [m,n] 内恒有 f(x)<0 ，则有
f (n) 0
例 1、对于满足 |p| 2 的所有实数 p, 求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2 ， 2] 内关于 p 的一次函数大于0 恒成立的问题。
略解：不等式即 (x-1)p+x 2-2x+1>0, 设 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1, 则 f(p) 在 [-2,2] 上恒大于 0，故有：
f ( 2) 0 x2 4x 3 0
x
或
x 1
3
f (2) x 2 1 0 x 或
x 1
即解得： 1
∴x<-1 或 x>3.
恒成立问题与二次函数联系
a 0
2
恒成立，则有0
，若是二次函数在指定区间上的恒成立
若二次函数 y=ax +bx+c=0(a ≠ 0) 大于 0
问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例 2、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ) 时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+) 时恒大于 0 的问题。
解：设 F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.
ⅰ ) 当=4（ a-1)(a+2)<0 时，即 -2 ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0 时由图可得以下充要条件： (a 1)(a 2) 0 f ( 1) 0 a 3 0 2a 2 1, a 1, 得 -3 a -2; 即 综合可得 a 的取值范围为 [-3 ， 1] 。 恒成立问题与变量分离联系 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例 3、已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a 4 恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x，其中 x 的范围已知（ x R），另一变量 a 的范围即为所求，故可考虑将 a 及 x 分离。 解：原不等式即： 4sinx+cos2x< 5a 4 -a+5 要使上式恒成立，只需5a 4 -a+5 大于 4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3 3, ∴5a 4 -a+5>3 即 5a 4 >a+2 a 2 0 5a 4 0 2) 2 a 2 0 上式等价于5a 4 (a 或 5a 4 0 解得4 a 8 。5 注：注意到题目中出现了sinx 及 cos2x ，而 cos2x=1-2sin2x, 故若把 sinx 换元成 t, 则可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。 2、有解问题 有解问题与二次不等式联系 例4、不等式 kx2 k 2 0 有解，求 k 的取值范围。 2 k 2 k( x2 k x2 2 解：不等式 kx2 k 2 0 有解1) 2 有解x2 1 有解 1 max， 所以k ( ，2) 。 有解问题与绝对值不等式联系 例 5、对于不等式x 2 x 1 a ，存在实数 x ，使此不等式成立的实数 a 的集合是 M ；对于任意 x [0，5] ，使此不等式恒成立的实数a 的集合为 N ，求集合 M，N ．2x 1(x 1)， f (x) x 2 x 1 3( 1≤ x ≤ 2)， 解：由 2x 1(x 2). 又a f ( x) 有解 a f ( x) min 3 ，所以M { a a 3} ． 令 g ( x) x 2 x 1，x [0，5]， a g( x) 恒成立 a g( x)max g (5) 9 ． 所以N { a a 9} ． 有解问题与导数联系 3 x R 的一个极值点 . 例 6、（06 年湖北）设 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e ,x (1) 求 a 与 b 的关系（用 a 表示 b），并求 f(x) 的的单调区间； a 2 25 e x （ 2）设 a>0， g(x)= 4 ，若存在 S ， S [0 ， 4] ，使得 |f(S )-g(S )|<1 成立，求 a 的取值 1 2 1 2 范围 . 解析：（ 1） f ( x) [ x 2 (a 2) x b a]e 3 x ，由 f (3) =0 得 b=-2a-3. 故 f(x)=(x 2+ax-2a-3) e 3 x 因为 f ( x) =-[x 2+(a-2)x-3a-3] e 3 x =-(x-3)(x+a+1)e 3 x . 由 f (x) =0 得： x 1=3， x 2==-a-1. 由于 x=3 是 f(x) 的极值点，故 x 1≠x 2，即 a ≠-4. 当 a<-4 时， x 1 1, 上为减 函数 . 当 a>-4 时， x 1>x 2，故 f(x) 在 , a 1 上为减函数，在 [-a-1 ， 3] 上为增函数，在 3, 上为减 函数 . (2) 由题意， 存在 S ，S [0 ，4] ，使得 |f(S )-g(S 2 )|<1 成立，即不等式 |f(S 1 )-g(S 2 )|<1 在 S ，S [0 ， 1 2 1 1 2 4] 上有解 . 于是问题转化为 |f(S 1)-g(S 2)| m in <1，由于两个不同自变量取值的任意性， 因此首先要求出 f(S 1) 和 g(S 2) 在 [0 ， 4] 上值域 . 因为 a>0，则 -a-1<0 ，由（ 1）知： f(x) 在 [0 ， 3] 递增；在 [3 ，4] 递减 . 故 f(x) 在 [0 ， 4] 上的值域为 [min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e 3 ,a+6] ， a 2 25 e x 25 25 而 g(x)= 4 在 [0 ，4] 上显然为增函数，其值域 a 2 2 4 , a 4 e 4 因为 a 2 25 (a 6) (a 1) 2 0, 故 a 2 25 a 6 4 2 4 |f(S )-g(S )| min = a 2 25 (a a 2 25 ( a 6) 1 ,得 0 3 . 2 6) 4 a 1 4 2 a 0 故 a 的取值范围为 0, 3 。 2 假若问题变成：“对任意的 S 1，S 2 [0 ， 4] ，使得 |f(S 1)-g(S 2)|<1 都成立，求 a 的取值范围 . ”则可 将其转化为 |f(S )-g(S 2 )| max <1。 1 点评：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具 . 本题从函数的极值概念入手，借 助导数求函数的单调区间，进而求出函数 闭区间上的值域，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现 代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。 3、恒成立与有解的区别 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可 混为一团。 （ 1）不等式 f(x) （ 2）不等式 f(x) （ 3）不等式 f(x)>k 在 x I 时恒成立f min ( x) k, x I. 或 f(x) 的下界大于或等于k； （ 4）不等式 f(x)>k 在 x I 时有解f max ( x) k, x I. 或 f(x) 的上界大于 k； 解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、 图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。 例7、已知两函数 f(x)=8x 2+16x-k ， g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 为实数。 （ 1 ）对任意x [-3 ， 3] ，都有 f （x) ≤g(x) 成立，求 k 的取值范围； （ 2 ）存在 x [-3 ， 3] ，使 f （x) ≤g(x) 成立，求k 的取值范围； （ 3 ）对任意 x1、x2 [-3 ，3] ，都有 f （ x1) ≤g(x 2)，求k的取值范围。 解析：（1）设 h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ，问题转化为 x [-3 ，3] 时，h(x) ≥0恒成立，故 h min (x) ≥0. 2 令h′ (x)=6x -6x-12=0 ，得 x= -1 或 2。 由 h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ， h(-3)=k-45 ，h(3)=k-9 ，故 h min (x)=-45+k ，由 k- 45≥0，得 k≥45. （ 2）据题意：存在x [-3 ， 3] ，使 f （x) ≤g(x) 成立，即为： h(x)=g(x)- f(x) ≥0在 x [-3 ， 3] 有解，故 h max (x) ≥0，由（ 1）知 h max（ x） =k+7，于是得 k≥ -7 。 （ 3）它与（ 1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1， x2 [-3 ，3] ，都有 f （ x1) ≤g(x 2) 成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在 [-3 ， 3] 上具有任意性，因而要 使原不等式恒成立的充要条件是： 2 f max ( x) g min ( x), x [ 3,3] ，由g′(x)=6x 2 21 ，+10x+4=0，得x=- 3 或-1，易得 g min ( x) g( 3) 又 f(x)=8(x+1) 2-8-k ，x [ 3,3].故f max ( x) f (3) 120 k. 令 120- k≤ -21 ，得 k≥141。 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。 参考文献： 1、张世林 协会2、代学奎. 郭东风 .与时俱进的不等式恒成立与有解问题 区别“有解”与“恒成立”[EB] 数学中国。 [J]. - 数学爱好者( 高考版) . 山西省期刊 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(] [)14-∞-+∞，， B ．(] [)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3; 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立； 处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。 ≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-Q 21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥Q Q Q 22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x 数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法 1、分离变量法； 2、数形结合法； 3、利用函数的性质； 4、变更主元等； 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420 a a >??-? 综上,所求实数a 的取值范围为1 (,)2 +∞ 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。 （2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2 ()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴2 2 (1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2 ()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()2 4 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注 意参数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2. （2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知2 12x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即2 31m x x =-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为 (1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。 规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。 4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2. 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0 ≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等 函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数) 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 数a 的取值围. 4．（2016届二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，数k 的取值围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，数m 的取值围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，数a 的取值围． 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的 取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设 函数 2()1 f x x =-，对任意 23x ??∈+∞???? ，， 典例分析 恒成立与有解问题 24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒成立，则实数 m 的取值范围 是 ． 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．18 a >- C ．18 a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围 是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范 围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ． 5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值 范围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，， B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-， ，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合； 高中数学不等式恒成立与有解问题 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。 其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析. 1．不等式恒成立与有解的区别 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团. （1）不等式f(x) 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 恒成立与有解 1恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）???>>0)(0m f a 或ⅱ）???><0)(0n f a 亦可合并定成???>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有? ? ?<<0)(0 )(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： ???>>-)2(0)2(f f 即????? >->+-0103422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 2恒成立问题与二次函数联系 若二次函数y=ax 2 +bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有? ? ?00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ)当?=4（a-1)(a+2)<0时，即-2 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立？ 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 22(2)40223 x m x x x -++>-+ 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 0044min 24222,062442,0max 2426x x m x m x x x x m m x x m x x x >????????-<+-<>+---=-???????? 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： ()() ()()max ()min ()x A x A m f x m f x x A m f x m f x ∈∈><∈??><对于任意成立R 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ?-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-?>-x g k f x h f ， 又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-?>-x g k x h 即23132-?>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+ <对任意的R x ∈都成立，2 恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 １、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为Ｍ ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值 A x f =)(min ,若 ,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . ４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方; ?二、经典题型解析 题型一、简单型学而思高中数学恒成立与有解问题
函数不等式恒成立问题经典总结
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
不等式有解和恒成立问题
有解无解恒成立问题的处理
处理恒成立问题基本方法
数学中的恒成立与有解问题
关于函数恒成立问题的解题策略
求解恒成立问题的常见方法
函数恒成立存在性与有解问题
用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案
恒成立与有解问题
关于函数恒成立问题的解题
高中数学不等式恒成立与有解问题
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
恒成立问题与有解问题的区别
不等式有解和恒成立问题
函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)