重庆大学版电磁场教材习题答案习题(第2章)
第二章习题答案
2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。 解：
（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样z '处取的元电荷
z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：
R 2
0e R
4πεz d τE d
'=
其两个分量：
θπετρρcos 2
0R
4z e E d dE '
=?=d （1） ()θπετsin 2
0z z R
4e E d dE z d '-=-?=
（2） 又
θρθ
ρ
tan ',cos ==
z R
所以：
θθρd dz 2sec '= （3）
式（3）分别代入式（1）（2）得：
θρ
πεθ
τρd 04dE cos =
； θρπεθτd sin 0z 4dE -
= 'sin 'sin cos θρ
πετ
θθρπετθρπεθ
τ
θρ000
004E 22d 2=?
∴＝＝‘ （4）
又 2l 4
2l 2
l +='θsin （5）
式（5）代入式（4）得：
l
55E 00πετ
ρπετρ22=∴
＝
由于对称性，在z 方向 z E 分量互相抵消，故有0=z E
ρρρπετ
e l
5e E e E 0z z 2E =
+=∴
ρ
y
图2-2长直线电荷周围的电场
（2）建立如图所示的坐标系
在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为
R
20e R
4x d E d πετ'=
其在x 方向的分量为：
2
0x R 4x d dE πετ'
=
又 x l R -=
2
02
0x x l 4x d R
4x d dE )
-(''
=
'
=
∴
πετπετ
()l 3x l 4x l 4x d E 02
l 2
l 2
l 2
l 020x πετ
πετπετ='-?=''
=
--?
∴∴
∴////1)-( x 0x x x e l
3e E E
πετ=
=∴
2-3 真空中有一密度为m C n /2π的无限长线电荷沿y 轴放置，另有密度分别为2/1.0m C n 和2/1.0m C n -的无限大带电平面分别位于z=3m 和z=-4m 处。试求p 点（1，-7，2）的电场强度E 。
2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位),θ?r （和电
场),(θr E
的表达式。
解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：
x
2
021
0121r 4q r 4q p πεπε???+
=
+=)(
又 2
12
2
1)c o s 2(θrc c r r -+= ， 212
2
2)
cos 2(θrd d r r -+=
()()θθθθθθe c e c r e c e c e r c r r r r r 1 sin cos sin cos +-=--=-=
()()θθθθθθe d e d r e d e d e r d r r r r r 2 sin cos sin cos +-=--=-=
2
1
2202
21
2201
2
0210121rc 2c r 4q rc 2c r 4q r 4q r 4q p )cos ()cos (θπεθπεπεπε???-++
-+=
+
=
+=∴)(
3
2
02
2301r 4r q r 4r q p E πεπε
+=11)( [][]??
????????-++-+-++-=23
22r 22322r 10rd 2d r e d e d r q rc 2c r e c e c r q 4)()()()(1θθθθθθπεθθcos sin cos cos sin cos
θθθθθπεθθθθπεe rc 2c r d q rc 2c r c q 41e rd 2d r d r q rc 2c r c r q 4123222232210r 23222232210 ????
??
????-++-++????
?
?
????-+-+-+-=)()
()()()()(cos sin cos sin cos cos cos cos
2-5解，
(1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U 0后将电源拆去，各极板带电情况如图（1）所示 03213
33U d
E d E d E U AB
=++=
d
U
E E E 0321===
;3
301U
d E U U U DB CD AC ====
题图2-4
2r
1r
C
(1)
()3
20
U U U U U DB CD CB BC -
=+-=-= C 、D 板无电荷
(2) 若将C 、D 板用导线联接，C 、D 两板的电荷将在电场作用下进行中和，一直到U CD =0，内侧正负电荷全部中和掉，其它部分的电荷由于电场的作用以及电荷守恒（这时电源已拆去）而都不变化，再断开联接线时也不会变化。电荷分布情况如图（2）所示。
02=E 0=CD U 3
301U
d E U U DB AC ===
320U U AB =；()300
U U U U DB CB BC -=+-=-= 0
01εσ
=E ； d U 000εσ=
C 、
D 板有电荷
（3）由于在联接C 、D 板时有电源，电源的作用将强迫A 、B 板间的电压U AB =U 0；C 、D
板被短接强迫U CD =0，为满足U AB =U 0的条件，显然必须使3
1E E ',增大到31E E '',，也即相应的电荷密度应增大，如图（3）所示。由于电场力的作用，依次拆去电源与C 、D
板间联线时，情况不再变化。
02
='E 03133U d
E d E ='+' ； d
U E E 23031='=' 2
301U
d E U U DB AC ='==
0=CD U
()2
00
U U U U DB CB BC -
=+-=-= C 、D 板有电荷
（4）若在继（2）之后将A 、B 板短接，则A 、B 板成为一常电位系统，由于在（2）的情
况下，03
20
≠=
U U AB ，因此电荷将进行中和来达到0=AB U 的强制条件。而C 、D 板与外界没有导线联接，各自板上的总电荷保持不变，但会在内外两侧间发生电荷转移。达到0=AB U 后，一切电荷的转移都将停止，电荷分布如图（4）所示。
C (2)
02=A
B
C
D
A
B
C
D
(3)
02='
0131
εσ=''=''E E ， 0
22
εσ
=''E ()02
32
1=''+''+''=d
E E E U AB d U 00021εσσσ==+ 解得
d U E E 3031
=''='' d U E E 322012-=''-='' 9301U d E U U DB AC ='
'== ，923
02
U d
E U CB -=''=
2-6 半径为b 的无限长圆柱中，有体密度为0ρ的电荷，与它偏轴地放有一半径为a 的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d ，如图2-6所示，求空洞内的电场强度。
解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满0ρ，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满-ρ，并单独作用，分
别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为E
。
第一步 0ρ 单独作用，如图（b ）所示， 由体密度为0ρ的电荷产生的电场强度为1E
，由高斯定
理
l l E q S D 200ρπρπρε=?
??
2d 11
S 11
＝
所以： ρερρe 2E 0
01
=
(b )
ρ
图2-6
(a )
第二步 0ρ-单独作用产生的电场强度为2E
，如图（c ）所示。
l l E q S D 200ρπρρπε'-='???
2d 22
S 22
＝
ρερρ''-=e E 0
022
第三步 将0ρ和0ρ-在空洞中产生的场进行叠加，即
()x 0
001e 2d e e 2E E E
ερρρερρρ='-'＝＋＝2 注：x e d d
=='-ρρ
2-7半径为 a 介电常数为ε的介质球内，已知极化强度 r e r
r P
k )(=（k 为常数）。 试求：（1）极化电荷体密度p ρ和面密度p σ ； （2）自由电荷体密度ρ ；
（3）介质球内、外的电场强度E 。
解：(1) 2r r k e r k P -=???
?
??-?=-?=?? p ρ ， a
k r k e P a
r n =
===? p σ
（2）
因为是均匀介质，有
P E εE εD 0
+== 0
εεp E -=
∴
因此
P E εD 0
εεε-=
=
200r k
P D ?-=???
? ??-?=?=??εεεεεερ
(3) 球内电场，
()r 00
e r
εεk
εεp E
-=
-=
（ r < a ）
球外电场，由高斯定理：
?
??
-=
=
=?a
2
2
0v
S
dr
r 4r k
dv q S d D πεεερ
ππ4a
k r 4D 0
2
εεε-=?
r 20e r a k D εεε-=
∴
， ()r 2
000e r
a k D E
εεεεε-== （ r > a ） 或 0
V
0V
s
p
V
p
p S
dV
dS dV dV q q S d E ερεσρρε?????
=++=
+=?
2-8 具有两层同轴介质的圆柱形电容器，内导体的直径为2cm ，内层介质的相对介电常数31=r ε，外层的相对介电常数22=r ε，要使两层介质中的最大场强相等，并且内层介质所承受的电压和外
3
221||||2211R R R R ====-=-ρρρρ???? ，
即 cm R 96.15.13/53==，所以，内cm R R 5.012=-，外cm R R 46.023=-
2-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图2-9所示，介电常数 014εε= , 022εε= 内、外导体
单位长度上所带电荷分别为τ和τ-
（1）求两种电介质中以及1R <ρ 和3R >ρ处的电场强度与电通密度； （2）求两种电介质中的电极化强度； （3）问何处有极化电荷，并求其密度。 解：
(1)由高斯定理可得：
???
????><<<=)
R ()R (R π2)R (3311ρρρτρρ
0e 0D
电场强度 εD E =， 故 ?????
????
?
?><<=<<=<=)
R ()R (R 4π2π)
R (R 8π2π)R (E 3320221011ρρρετρετρρ
ετρετρρρρρ
0e
e e e 0
(2) 由 P E εD 0
+= ，得两种电介质中的电极化强度为
??????
?<<<<=-=)
R (R 4π)
R (R 8π33221ρρ
τρρ
τερρ
e e E D P 0
(3) 内、外导体圆柱表面上和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是：
在1R =ρ处：
1
p π83)(R e P τσρ-=
-=?
在3R =ρ处： 3
R e P 4πp τ
σρ=
=?
在2R =ρ处：:
2
2
2
21p π84ππ83)(R R R e P e P τ
τ
τσρρ=
-
=
-+=??
2-10 有三块相互平行、面积均为S 的薄导体平板，A 、B 板间是厚度为d 的空气层，B 、C 板间则是厚度为d 的两层介质，它们的介电常数分别为1ε 和1ε，如题2-10所示。设A 、C 两板接地，B 板的电荷为Q ，忽略边缘效应，试求： （1） 板间三区域内的电场强度；
（2） 两介质交界面上的极化电荷面密度； （3） A 、C 板各自的自由电荷面密度。
解 (1) 在A 、C 板间的三介质区域内，分别为均匀电场，在Q 为正电荷时各电场方向如图所示，从而有
012001111
22E d E d E d
E s E s Q E E
εεεε=+??
+=??=?
从而解得
图2-9
题图2-10
0221120010212010212010212()()()()
Q Q Q
E E E s s s εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε+=
==
++++++及及 （2）在两介质分界面上
()()[]
()()()
2120102101201
n 2
021012n 21n 1p
2p 1p S Q
E E e E D E D e P e P εεεεεεεεεεεεσσσ++-=
-=---=+=+=???
（3）在A 、C 板上的电荷面密度分别为 012120022010212010212()()()
A C Q Q
E E s s εεεεεσεσεεεεεεεεεεεεε-+-=-=
=-=
++++及
2-12 如题图2-12所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为1ε和2ε两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压U 时，试求： （1）电容器中的电位函数和电场强度； （2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。 解：（1） 方法一：设内导体带电荷为Q ，外导体带电荷Q -，选球坐标，应用高斯定律
Q s d D S
=?
?
由媒质分界面条件可知，在两种介质中2121D D E E
≠=,，所以
()Q s d E s d E s d E s d D s d D S S S S S =+=+=+?
?
?
?
?
?????1
2
1
2
1
21221121
εεεε
()Q E r =+212
π2εε ()
r e r Q
E
212π2εε+=
∴
（1）
令外导体为参考导体，则电位函数为
()
()???? ??-+=
+==?
?
??22121211ππ2222R r Q
r d r Q
l d E R r
R r
εεεε? （2） ()
()???
? ??-+=
+=
=
?
?
??212121211ππ22
1
2
1
R R Q
r d r Q
l d E U R R R R εεεε
()
1
22121π2R R R UR Q
-=+∴
εε
将上式带入（1）（2）得
r 21221e r
1R R R UR E -=∴
， ?
??
?
??--=21221R 1r 1R R R UR ?
题图2-12
方法二 ：用静电场的边值问题求解，在均匀介质1和介质2中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有
??
??
?===?==0
U 021R r R r 2???;
取球坐标系有
r r r
r r
r 12
22
2
2=??+
????
+
????=
?φ
?
θθ
?θ
θ
θ??sin 1
)(sin sin 1
)(2
2
2
在两种介质中，?都与θ、φ无关，所以
r
r r r 12
2=????=
?)(2
??
上式的通解为 21c r
c +-
=?
有边界条件解得： 1c ＝
2121R R U R R - 2c ＝2
12R R U
R -
所以 ???
? ??--=21221R 1r 1R R R UR ? ，r
21221e r
1R R R UR E
-=?-=? (2) 两种介质中的电位移矢量分别为
111E D ε=' ， 222E D
ε='
根据分界面条件 ()
12n D D e
-=?σ
对于本题，设媒质2为介质，媒质1为导体，因此有0D 1=
， n 2e D ?=σ
则内导体两部分表面上的自由电荷密度为
1
22
1n 111R R UR e R E -=
=?εεσ
)( ，
1
22
2n 122R R UR e R E -=
=?εεσ
)(
2-15 有三个同心导体球壳的半径分别是()321321,a a a a a a <<和，导体球壳之间是真空。已知球
壳2上的电量为q ，内球壳1与外球壳3均接地。求： （1） 球壳2与内、外球壳之间的电场和电位分布
（2
） 内球壳1的外表面与外球壳3的内平面上的电荷面密度21σσ和。
2-17 在半径分别为a 和b （b>a ）的同轴长圆柱形导体之间，充满密度为0ρ的空间电荷，且内、外筒形导体之间的电压为U ，如题图2-16所示。试用边值问题的方法求电荷区内的电位函数。 解：圆柱形导体之间的电位满足泊松方程，对应的边值问题为
???????==-=?==0
U b a 02
ρρ??ερ?; 在圆柱形坐标中电位仅是ρ的函数，因此泊松方程有如下形式：
ερ
ρ?ρρρ?0-=???
? ???????12＝
上式的通解为
212
0c c 4++-=ρε
ρρ?ln
由给定的边界条件确定积分常数：
a
b U
a b c ln 4)
(0
2201--=
ερ ， 0
200
22024ln ln ]4)([ερερb a
b b
U a b c +---
= 所以：02002200
2200
2
04b a
b b U 4a b a
b U
4a b 4ερερρερερρ?+????
??
??-----+-=ln ln ln ln )()
(
2-19 两平行导体平板，相距为d ，板的尺寸远大于d ，一板的电位为零，另一板电位为0V ，两板
题图2-16
-
间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即x x 0)(ρρ=。试求两板间的电位分布（注：x ＝0处板的电位为零）。
解：两平行导体平板间的电位满足泊松方程，忽略边缘效应，在直角坐标系对应的边值问题为
()??????
?==-=?==U
0x d x 0x 0
2
??ερ?;
上式泊松方程转化为：
002
2ερ?
x x
d d -= 其通解
210
3
06C x C x ++-=ερ?
由给定的边界条件确定积分常数：
0C 2= ， 0
2
0016ερd d U C +
= 所以：
x x d d x U )(6220
0-+=
ερ? 上式第一项为电源对电位函数的贡献，第二项为电荷)(x ρ的贡献。
2-20 在无限大接地导体平面两侧各有一点电荷1q 和2q ，与导体平面的距离为d ，求空间电位的分布。
解：因为是无限大接地导体，所以，当1q 单独作用时，接地导体对2q 相当于屏蔽作用，当2q 单独作用时，接地导体对1q 相当于屏蔽作用，所以：
1q 单独作用时产生的电位在1q 所在侧，设1r 和2r 分别为1q 和1q 的镜像到p 的距离，由镜像法得：
)1
1(
4442
10
12
011
011r r q r q r q -=
-
πεπεπε?＝
2q 单独作用时产生的电位在2q 所在侧，
设3r 和4r 分别为2q 和2q 的镜像到p 的距离，由镜像法得： )1
1(4444
3024
023
022r r q r q r q -=
-
πεπεπε?＝
x
o
题图2-19
d
2-28 若将某对称的三芯电缆中三个导体相连，测得导体与铅皮间的电容为0.051F μ，若将电缆中的两导体与铅皮相连，它们与另一导体间的电容为0.037F μ，求： （1）电缆的各部分电容； （2）每一相的工作电容；
（3）若在导体1、2之间加直流电压100V ，求导体每单位长度的电荷量。 解：三芯电缆的结构及各部分电容如图（a ）所示
（1） 对应于两次测量的等值电容电路分别如图（b ）和图（c ）所示：
由图（b ）得：
051.030=C F μ，017.00=C F μ
由图（c ）得：
0370C C C 110.=++ F μ
01.0)017.0037.0(2
1
1=-?=
C F μ
图（a ） 图（b ）
图（c ） 图（d ）
图（e ）
（2） 工作电容是指在一定的工作状态下的等值电容，在这里是指三相工作时一相的电容，等值
电容如图（d ）和（e ）所示：
所以，一相的工作电容为
047.03C 10=+=C C F μ
（3） 若在导体1,2之间接一直流电压100V ，则从A, B 端看去的等效电容为：
0235.02
C ==C AB F μ
所以
35.21000235.0=?==AB AB AB U C q m C /μ
注：电缆是作为无限长来处理的，所以这里的电容均应理解为单位长度的电容。
2-31 一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a ，外球壳半径为b ，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别为+Q 和-Q ，均匀分布在球面上。求这个同心球型电容器的静电能量。
2-32 空气中，相隔1cm 的两块平行导电平板充电到100V 后脱离电源，然后将一厚度为1mm 的绝缘导电片插入两极间，问：
（1）忽略边缘效应，导电片吸收了多少能量？这部分能量起到了什么作用？两板间的电压和电荷的改变量各为多少？最后存储在其中的能量多大？
（2）如果电压源一直与两平导电行板相连，重答前题。
所以电压的改变量为
V U U U 10001-=-=?
2-33
解 选取坐标系如图中所示。设液体上升的高度为h ，液面的面积为S （d ?a ），极板长度为l ，电场强度为
d
U E 0
x =
则静电能量密度为
22002
0e12121d U E w x εε== ， 22
02e22121d
U E w x εε==
静电能量为
()S z l
d
U S z d U W -+=22
22
00e 2121εε
将两极板看作电容器，则电容为
()d
z l a d z a -+=εε0C 电容中储存的能量：
()
()S z l d
U
zS d U z l a d U z a d U U W -+=-+==22
022
002
02
002
0e 21212121C 21εεεε
空气与液体分界面上的电场力为：
0U
()S d
U W f const
u z 22
00e 21
z
εε-=??=
= ()z 2
2
0021
e f S d U εε-=
因为εε<0，所以静电力沿z 负方向，有将液体吸向空气的趋势。升高液体的重力为
()z m e f g S h g ρ=
由 g
f f = ()S h
g S d
U 21m 22
0ρ=ε-ε? ()2
m 2
0gd U 21h ρε-ε=∴
电磁场理论习题及答案7.
习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的
关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得
电磁场与电磁波习题及答案
. 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε==
电磁场与电磁波第二章课后答案
第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律
介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：
最新电磁场与微波技术(第2版)黄玉兰-习题答案资料
第一章 1.3 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 1.11 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ad s Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有
1.18 （1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 1.21 (1) 由梯度公式
(2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 1.26 证明 00u A ???=??= 书上p10 1.25 第二章 2.1
3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?= 2.3
'' 2 2' 3 222 , 40 = l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z P ez z ea a E d z a ea π ρρα? ρα? πε = ==- - == - = + ? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元 可以视为点电荷，其到场点的距离矢量 得 所以点的电场强度为 （） 2 ''' 3 222 cos sin0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ??? ρα ε +∴= ∴= + ? （） 2.8
电磁场复习题
《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ；
电磁场与电磁波例题详解
电磁场与电磁波例题详解
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第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以
1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得
电磁场与微波技术(第2版)黄玉兰-习题答案
) 第一章 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ads Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有 ?
（1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 。 (1) 由梯度公式
(2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 证明 00u A ???=??= 书上p10 ， 第二章
3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?=
''222 2' 30 222 ,40 =l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z z a P ez z ea a E d z a ea π ρρα?ρα?πε===--= = +-=+? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元可以视为点电荷，其到场点的距离矢量得所以点的电场强度为（）2' ' '0 3222 cos sin 0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ???ραε+∴=∴=+?（） 。 -
《电磁场与电磁波》经典例题
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。
《电磁场与电磁波》(陈抗生)习题解答选
《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答 第一章 引言——波与矢量分析 1．1 .,,/)102102cos(1026300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 --?+?==ππ 解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0x --?π+?π==++= ∴ 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向； 波的幅度 m /V 10E E 3y -== 。s /m 10102102k V ;102k ;MHZ 1HZ 1021022f 82 6P 266 =?π?π=ω=?π===π?π=πω=-- 1．2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话） )6sin()3sin()()6(cos 1)()5()2120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2() 4cos(6)()1(πωπωωππωωωπ ω++ =-=- =-=-=+=t t t U t t D t t C t t t A t t I t t V （1）解： 4/)z (v π=? j 23234 sin j 64cos 6e 6V 4j +=π+π==π∴ （2）解：)2t cos(8)t (I π-ω-= 2 )z (v π-=? j 8e 8I j 2=-= π-∴
（3）解：） t cos 132 t sin 133 (13)t (A ω-ω= j 32e 13A 2)z ()2t cos(13)t (A 133cos )2(j v --==π-θ=?∴π-θ+ω== θπ-θ则则令 （4）解：)2 t 120cos(6)t (C π-π= j 6e 6C 2j -==∴π (5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示 1．3由以下复数写出相应的时谐变量] )8.0exp(4)2 exp(3)3() 8.0exp(4)2(1)1(j j C j C j C +==+=π （1）解： t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j ω-ω+ω+ω=ω+ω+=+ω t sin t cos )Ce (RE )t (C t j ω-ω==∴ω （2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE )t (C t j 8.0j t j +ω===ωω （3）解：)8.0t (j )2t (j t j 8.0j j t j e 4e 3e )e 4e 3(Ce 2+ωπ+ωωω+=+=π 得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2 t cos(3)Ce (RE )t (C t j ω-+ω=+ω+π+ω==ω 1．4 ] Re[,)21(,)21(000000**????++--=+++=B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定 解：1B A B A B A B A z z y y x x -=++=?
电磁场与电磁波复习题(含答案)
电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。
4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。
(川理工)电磁场与电磁波重要例题习题解读
电磁场与电磁波易考简答题归纳 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ →→ → H k H E k E ，式中μεω22 =k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????????? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ →→ρ εμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→ → -=??-?J t A A μμε222 ，ερμε-=?Φ?-Φ?→ →222t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答：0 222=??-?→ → t H H με，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1= p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：??? ++?? =?-→ →τττστεμd E d E H t S d S S 222)2 1 21(，其中，→ →→?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ???????????=??=????-=????+=??→→ →→→ →→ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ????? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(
电磁场与电磁波习题集
电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0
电磁场二章习题解答(精品文档)
第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为42004 9 U d x ρε--=- ，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。 解 （1） 4323 000 4 d ()d 9 d Q U d x S x τ ρτε--==-=?? 11004 4.7210C 3U S d ε--=-? （2） 432002 4d ()d 9d d Q U d x S x τρτε--' '= = -=? ?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由 2 1 mv qU = 得 61.3710v ==? m 故 0.318J v ρ== 2A m 26(2)10I J d π-== A 2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径 旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin r φωθ=?=v r e ω 球内的电荷体密度为 3 43 Q a ρπ= 故 33 3sin sin 434Q Q r r a a φ φω ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表 面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin a φωθ=?=v r e ω 球面的上电荷面密度为 2 4Q a σπ= 故 2 sin sin 44S Q Q a a a φφω σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处 的电场强度。
电磁场理论复习题(题库+答案)
第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场 xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1） 处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必 须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程 （结构方程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：b 7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β 为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(?00βz ωt E ωe y -ε （d ） )cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：c 8. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度 )(?)(?)(?y x e z x e z y e z y x +++++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=??
电磁场习题解读
静电 例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A=? 解：由已知q1所受静电力 例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。证明：空间任一点电势 整理可得： 上式为球面方程： 球心坐标 球面半径 例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。 A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量1?Φ，求:通过其余部分的电场通量2?Φ。 解：由高斯定理 ?∑=?=ΦS i i e q S d E 0 ε ，00=Φ∴=∑e i i q ，12120?Φ-=Φ∴=?Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两 棒间的静电力。 q 2 x o d n n 1 (22 - 、 0、0） 04)2(42 0322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε =q nq U U U -+=2 220 2220)(44z y d x q z y x nq ++--+ ++=πεπε0 =令 222222)(z y d x q z y x nq ++-=++∴[] 2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 1 2-= n nd R S ?S ?
最新电磁学第二章习题答案
习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 一 填空题 1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。 2. 静电场的基本方程为： 、 。 3. 恒定电场的基本方程为： 、 。 4. 恒定磁场的基本方程为： 、 。 5. 理 想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场边界条件为： 、 、 和 。 6. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。 7. 电流连续性方程的微分形式为： 。 8. 引入电位函数?是根据静电场的 特性。 9. 引入矢量磁位A ? 是根据磁场的 特性。 10. 在两种不同电介质的分界面上，用电位函数?表示的边界条件为： 、 。 11. 电场强度E ?的单位是 ，电位移D ?的单位是 ；磁感应强度B ? 的单位是 ，磁场强 度H ? 的单位是 。 12. 静场问题中，E ?与?的微分关系为： ，E ? 与?的积分关系为： 。 13. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 比。 14. XOY 平面是两种电介质的分界面，分界面上方电位移矢量为z y x e e e D ????0001255025εεε++= C/m 2 ，相对介电 常数为2，分界面下方相对介电常数为5，则分界面下方z 方向电场强度为__________，分界面下方z 方向的电位移矢量为_______________。 15. 静电场中电场强度z y x e e e E ? ??? 432++=，则电位?沿122333 x y z l e e e = ++v v v v 的方向导数为_______________，点A （1，2，3）和B （2，2，3）之间的电位差AB U =__________________。 16. 两个电容器1C 和2C 各充以电荷1Q 和2Q ，且两电容器电压不相等，移去电源后将两电容器并联，总的电容 器储存能量为 ，并联前后能量是否变化 。 17. 一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U 的无限长圆柱导体，如图所示。由于对称性，矩 形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界1Γ、2Γ、3Γ、4Γ和5Γ所围区域Ω内的电场计算。则在边界_____________上满足第一类边界条件，在边界_____________上满足第二类边界条件。 18. 导体球壳内半径为a ，外半径为b ，球壳外距球心d 处有一点电荷q ，若导体球壳接地，则球壳内表面的感 应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。工程电磁场复习题