(完整word版)2020届河南省高三上学期入学摸底考试数学(理)

2019～2020年度河南省高三入学摸底考试

数学(理科)

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合)}21ln({},02{2

x y x B x x x A -==≤-+=，则A∩B ＝ A.(

12，1] B.[－2，－12) C.[－2，12) D.[－2，12

] 2.设复数z 1在复平面内对应的点为(x ，y)，z ＝(1＋2i)z 1，若复数z 的实部为1，则 A.x ＋2y ＝1 B.2x －y ＝1 C.2x ＋y ＝1 D.x －2y ＝1 3.已知32

42

log ,log ,0.63

a b c π－＝＝＝，则a 、b 、c 的大小关系为 A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b 4.函数()1

x

x

f x e e x

－＝－－

的部分图象大致为

5.如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点，设向量BC uu u r ＝a ，BA uu r

＝b ，则CF uu u r

＝

A.1342a b －＋

B.

3342a b ＋ C.3544a b －＋ D.1544

a b ＋ 6.执行右边的程序框图，如果输入的n ＝6，那么输出的S ＝

A.167

B.168

C.104

D.105

7.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝1，AA 12，点O 为长方形ABCD 对角线的交点，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AD 1与OE 所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90°

8.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 A.

3

88

B.344

C.120

D.944

9.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线x ＋3y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是 A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.[

103，＋∞) D.(10

3

，＋∞) 10.从A 地到B 地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线。小王想自驾从A 地到B 地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说：“1号路线堵车，2号路线不堵车。”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是

A.1号路线

B.2号路线

C.3号路线

D.2号路线或3号路线

11.已知抛物线2

16y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于M 、N 两点，则

2

50

5

NF MF

-

的最小值

为

A.2

B.1

C.5

D.

52

12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足122a a +＝，12

3

n n a S =+

＋，用[x]表示不超过x 的最大整数，设n b ＝[a n ]，数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则使T 2n >2000成立的最小正整数n 是 A.5 B.6 C.7 D.8

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡中的横线上。 13.已知函数2

()2cos f x x =，将()f x 的图象上所有的点向左平移

4

π

个单位长度得到()g x 的图象，则函数y ＝f(x)＋g(x)的最小正周期是 ▲ ，最大值是 ▲ 。(本题第一空2分，第二空3分) 14.设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且712a a =-，则

9

54

S S a ＝＋ ▲ 。

15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大。假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为P 1＝0.9；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.5。现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，且这n 个人研究项目M 的结果相互独立。设这个n 人团队解决项目M 的概率为P 2，若P 2≥P 1，则n 的最小值是 ▲ 。

16.已知双曲线22

221x y a b

－＝(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 是双曲线右支上的一点，若直线

AF 2与直线b y x a

＝－平行且△AF 1F 2的周长为9a ，则双曲线的离心率为 ▲ 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分)

已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b)2＝c 2＋ab 。 (1)求角C ；

(2)若c ＝4，求当△ABC 的面积最大时a ，b 的长，并求出最大面积。 18.(12分)

如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，且AD ＝CD ＝2AB ＝4，PA ＝PD ＝PC ＝3。

(1)若O 为AC 的中点，证明：PO ⊥平面ABCD ； (2)求二面角D －BC －P 的余弦值。 19.(12分)

设椭圆C ：22

221x y a b

＋＝(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上顶点为B ，右焦点为F ，已知直线BF 的

倾斜角为120°，2A F 1=。 (1)求椭圆C 的方程；

(2)设P 为椭圆C 上不同于A 1，A 2的一点，O 为坐标原点，线段OA 2的垂直平分线交A 2P 于M 点，过M 且垂直于A 2M 的直线交y 轴于Q 点，若FP ⊥FQ ，求直线A 2P 的方程. 20.(12分)

2019超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增。现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示：

(1)由频数分

布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价W ～N(μ，202)，μ近似为这100家超市3天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用正态分布，求P(76

μ

－＝

.若m ∈[0，10)，则该超市获得

1次抽奖机会；m ∈[10，20)，则该超市获得2次抽奖机会；m ∈[20，30)，则该超市获得3次抽奖机会；m ∈[30，40)，则该超市获得4次抽奖机会；m ∈[40，50)，则该超市获得5次抽奖机会；m≥50，则该超市获得6次

抽奖机会。另外，规定3天内进货总价低于μ的超市没有抽奖机会； ②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为

13

。 设超市A 参加了抽查，且超市A 在3天内进货总价W ＝122.5百元。记X(单位：元)表示超市A 获得的奖金总额，求X 的分布列与数学期望。

附参考数据与公式：

14.2≈，若2~(,)W V μσ，则()0.6827P W μσμσ-<≤+=，

(22)0.9545,(33)0.9973P W P W μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=。

21.(12分)

已知函数()x

f x xe a =+。

(1)证明：当a<0时，f(x)有且仅有一个零点；

(2)当a ∈[－2e 2，0)，函数g(x)＝(x －1)·e x ＋ax 的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,2x t y t =--??=+?

(t 为参数)。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4

π

ρθ＝＋。

(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，P(2，－3)为直线l 上一点，求11

PA PB

＋。 23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数()232f x x x =+--。 (1)求不等式()2f x >的解集；

(2)若不等式()36f x a x >--对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围。