数学建模答案 (5)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型
模型是系统知识的抽象表示。我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。
2．数学模型
由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。
3．抽象模型
通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤
1）建模准备：确立建模课题的过程；
2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；
4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；
5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。；
6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；
7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.
3．数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站
到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
B 题 (9n+1, 9n+6)
国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人，每列长度192米，试问第一、二两排间距多大能够达到满意的观礼效果？
解：可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。
设观礼者居高a 米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为b 米。
依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米。
为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则
设第一、二排间距为 x 米，则
于是， （米）
四、综合题（21分）
M. 飞机降落曲线(7n+3, 7n+5, 7n+6)
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为h ，飞机着陆点O 为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u . 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过
10
g
，此处g 是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离s 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s 所能允许的最小值.
解： 设飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l （km ），机高为h(m)（机场的地面高度取作0）。飞机开始降落和着陆时，都保持水平飞行姿态。
1.可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有4个隐藏的假定条件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线，则由上面的初始假定，可以得到4个蕴涵的初始条件，如下：
图1
①：在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；
②：f（0）=0，f＇（0）=0；
③：f（l）=h，f＇（l）=0；
④：在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K远小于重力加速度）。
2、假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：
根据②③上述所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a，b，c，d，即在Mathmatica运行环境下输入如下公式：
输入：f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
D[f, x]
输出：即为f(x)
即为f’(x)
输入：
运行后得到如下解：
把上述解代入f（x），则运算后即可得到f（x）的表达式如下：
f（x）=-
x
l
h
3
2
3+
2
2
3
x
l
h
3、代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线
假定h=1100m，l= 15km，在Mathmatica运行环境下输入：
运行后即可得到f（x）的图形如下：
4.讨论飞机降落时的铅直加速度 先讨论飞机铅直加速度应满足的条件：
由题意可知水平方向的速度u 为一个常数，则令u=dx/dt （常数），这时由复合函数求导法，可求出飞机在点（x ，y ）处的铅直速度为：
)('*x uf dt dx
dx dy dx dy ==
我们以
]
[x v y 表示点（x ，y ）处的铅直速度，即在Mathmatica 运行环境下输入：
]
,[][x f D u x v y *=
输出： )
66(][322l hx l hx u x v y +=
再次利用复合函数求导法，可求得飞机在点（x ，y ）处的铅直加速度如下：
()()*'2
2x uf dx d
dt dy dt d dt y d =??? ??=()()''x uf u dt dx =
在上述运行环境下，输入如下公式用来表示点（x ，y ）处的铅直加速度：
]
),66([*][32
2x l hx l hx u D u x a y += 输出：
)126(
][322l hx
l h u x a y +=
经过运行后则可得到铅直加速度为：
u ()
x l l hu
l hx l h 2612632322
+=??? ??+ 其中x ∈[-l ，0]，容易看出铅直加速度的绝对值在开始降落（x=-l ）和飞机着陆时（x=0）达到最大，我们在上述运行环境下输入：
即可得到飞机降落竖直方向上铅直加速度的最大值为：
必须不超过0.98m/s 2
现在来判断上述所给的已知条件能否满足条件而安全着陆，则由高度h=1100m ，水平距离l=15m ，水平速度u=540km/h ，在Mathmatica 运行环境下输入如下：
Solve[6*1100*540^2/15^2,x]
运行后显示结果为：0.1296m/s 2
由此可见该最大铅直加速度小于允许值，所以飞机可以安全着陆。
我们可得到飞机降落是的水平位移函数为： x=ut
由此可知，只要求出飞机降落是所用的最小时间即可求出最小水平位移，则要求时间最少，即在竖直方向上飞机一直保持着最大铅直加速度，则可以得到解。 由上述解释可知，飞机在降落的过程中一直保持最大铅直加速度，此时时间最短， 已知h=1100 u=540m ，且铅直加速度不超过g/10，则输入：
则经过运行后结果为：
则由此可知，飞机能够安全着陆是水平距离所能允许的最小值为：44315.2m
五、复述题（21分）
Q .三级火箭发射卫星模型.(3n+1)
摘 要
发射人造卫星是一个复杂的系统工程，我们从中抽出几个问题，忽略一些次要因素将问题简化得到几个简单的数学模型。首先通过天体物理学知识求解得到发人造卫星的在轨速度。又通过动力守恒定律求解出火箭的飞行速度与其喷气推动力、火箭初始质量和飞行过程中的质量有关，进而分析得出提高火箭的飞行速度的简单措施。
2
2
6l hu
问题一：由万有引力定律及牛顿第三定律推理得到r g
R
v =，当s
km r 600=时，带入（5-1-3）式得：
s
km v 58.7=末
问题二：由
)(ln
)(0
t m m u t v =式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的
质量决定，为了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。
问题三：由计算得到
λ
ln u v m -=，当s km u 3=，%10=λ时：s
km v m 6.6=，
由此得到结论：使用一级火箭不能发射人造卫星。
问题四：燃料用完时末速度为()P m m u v 0
ln
1λ-=
问题五：理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
二级火箭：要使s km v /5.102=，则应使： 2.11≈k ，而：
149
21≈++P P
m m m m 即发射一吨重的卫星需要148吨重的火箭。
三级火箭：要使
s
km v /5.103=，则25.3≈k ，而()77
321
≈+++P P m m m m m 即发射一吨重的卫星需要76吨重的火箭，由此可见三级火箭比二级火箭几乎节省了一半。
四级火箭：
?
??
??++=??? ??++=11.01ln 1211.01ln 34
4k k k k v 要使s km v /5.104=，则()()92.1,45.211.01≈≈++k k k ，而()65
4321≈++++P
P m m m m m m 。即使用四
级火箭发射1吨重的卫星需要64吨重的火箭，比三级火箭要省。
但是由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四
级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。
当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂
的话，也可选择二级火箭。
关键词：动量守恒定律 万有引力定律 牛顿第三定律
一、 问题重述
建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
1设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为
r g
R
v =，R 为地球半径，r
为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度应为多少？
2设火箭飞行中速度为v(t),质量为m(t),初速度为零，初始质量为m 0,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒
原理证明
)(ln
)(0
t m m u t v =。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？
3火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）m p ；燃料m f 结构（外壳、燃料舱等）m s ，其中m s 在m f +m s 中的比例计作λ，一般不小于10%。证明若m p =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为λln v m u -=。已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求v m 。这个结果说明什么？
4假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以λ和1—λ的比例同时减少，用动量守恒原理证明
)(ln
)1()v(0
t m m u t λ-=。
问燃料用完时火箭末速度为多少？与前面的结果有何不同。
5 4是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。计m i 为第i 级火箭质量（燃料和结构部分），λm i 为结构质量（λ对各级是一样的）。有效载荷仍用m p 表示。当第一级的燃料用完时丢弃第一级的结构，同时第二级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k 。证明3级火箭的末速度
11
ln
3v 3++=k k u λ。计算要v 3=10.5km/s ，
发射1吨重的卫星需要多重的火箭（u ，λ用以前的数据）。若用2级火箭或4级火箭，结果如何？由此得出使用3级火箭发射卫星的道理）
二、基本假设
1 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。 2、地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。 3、忽略重力和阻力对火箭的影响、 4、假设卫星绕地球做匀速圆周运动 5、假设产生影响的各个因素相互独立；
三、符号说明
v ：卫星绕地球做匀速圆周运动的速度 R ：地球半径为
r ：卫星与地心距离 g ：地球地面重力加速度
()t v ：火箭飞行中速度 ()t m ：火箭飞行中质量 0
m ：火箭初始质量
u ：火箭喷出的气体相对于火箭的速度
P m ：有效载荷（卫星） f m ：燃料 S m ：结构（外壳、燃料舱等），其中S
m 在
S
t m m +中的比例计作λ
i
m ：为第i 级火箭质量
k ：燃烧级的初始质量与其负载质量的比例系数 i
v ：第i 级火箭的速度
五、模型的建立与求解
问题一：
由万有引力定律及牛顿第三定律得：
r mv r GMm f 2
2== （5-1-1） 在地面上：
mg R GMm =2
（5-1-2） 由（5-1-1）和（5-1-2）联立得： r g
R
v = （5-1-3） 当s km r 600=时，带入（5-1-3）式得：
s
km v 58.7=末
问题二：用动量守恒原理证明
)(ln
)(0
t m m u t v =
由动量守恒定律得：
)
)(()()()()()(2t t v t t dt dm t t v t t m t v t m -???
???O +?-?+?+=（5-2-1） 火箭在
t
时刻的质量和速度分别为
m(t)和
v(t)有：
)()()(2t t dt dm
t m t t m ?O +?=
-?+ （5-2-2）
由（5-2-1）和（5-2-2）联立得：
dt du
u dt dv m
-= （5-2-3）
由此解得：
?
???
??=)(ln )(0t m m u t v （5-2-4）得以证明。 由（5-2-4）式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的质量决定，为
了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。
问题三：由问题二的结果知：
?
???
??=)(ln )(0t m m u t v 在此问题中
s
f m m m +=0
()
s f s m m m +=λ
s
m t m =)(（5-3-1）
代入（5-2-4）式解得：
λ
ln u v m -=（5-3-2）
当s km u 3=，%10=λ时：s
km v m 6.6=
由此得使用一级火箭不能发射人造卫星。 问题四： 记结构质量
S
m 在
F
S m m +中占的比例为λ，假设火箭理想，它能随时抛弃无
用的结构，即结构质量与燃料质量以λ与λ-1的比例同时减少
建立模型：由动量守恒定律()()()()
()()()
21t O t u t v dt
dm
t t m t v t m ?+?---?+=λ（5-4-1）
得到：
()dt dm
u dt dm m
λ--=1 （5-4-2）
解得：
()()()t m m u t v 0
ln
1λ-=，得证。
理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为P m ，
所以燃料用完时末速度为：()P m m u v 0
ln
1λ-=，
只要
m 足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。
考虑到空气阻力和重力等因素，发射卫星要使m km v /5.10=才行，则可推算出
P
m m 0约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭 。
问题五：理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统 考虑二级火箭：
由()()?
???
??+=t m m u v t v 00ln （5-5-1），第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
P P
m m m m m m u v ++++=21212ln
λ（5-5-2）
，第二级火箭燃尽时，末速度为
?
???
??++?++++=++==P P
P P P P m m m m m m m m m m u m m m m u v v 2221
212222ln ln
λλλ（5-5-3）
又由假设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k ，可
知：()??
?=+=P
P km m m m k m 221（5-5-4），代入上式，并且仍设s km u /3=，取1.0=λ则
可得：
??? ??++=??? ??++=???????
????????
??? ??+???? ??+????? ??++???? ??++=11.01ln 611.01ln 311.0111.01ln 322
221212k k k k m m m m m m m m m m v P P P P （5-5-5）
要使s km v /5.102=，则应使：75
.51
1.01
6
5
.10≈=++e
k k ，即2.11≈k ，而：
149
21≈++P
P
m m m m 。即发射一吨重的卫星需要148吨重的火箭
类似的可以推算出三级火箭：
?
???
??++?++++?++++++=P P
P P P P m m m m m m m m m m m m m m m m m m u v 333232321
3213ln λλλ（5-5-6）
在同样假设下
?
??
??++=??? ??++=11.01ln 911.01ln 33
3k k k k v （5-5-7） 要使
s
km v /5.103=，则()()25.3,21.311.01≈≈++k k k ，而
()77
321≈+++P
P m m m m m 。即发射一吨重的卫星需要76吨重的火箭。由此可
见三级火箭比二级火箭几乎节省了一半。
四级火箭：
???
?
??++?+++++?++++++?++++++++=P P
P P P P P P m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m u v 444343432432432143214ln λλλλ（5-5-8）
同样假设下：
?
??
??++=??? ??++=11.01ln 1211.01ln 34
4k k k k v （5-5-9） 要使s km v /5.104=，则())92.1,45.211.01≈≈++k k k ，而
()65
4321≈++++P
P m m m m m m 。即使用四级火箭发射1吨重的卫星需要64吨
重的火箭，比三级火箭要省。
但是由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四
级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。
当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。
六、模型改进
由于条件限制，缺乏相关数据，在建立模型的时候没有考虑空气阻力等因素，可以通过查阅相关资料，咨询专家对模型进行改进。
七 、参考文献
[1]黄亦斌，大学物理学，北京：科学出版社，2010
[2] 百度百科（火箭）：https://www.360docs.net/doc/7d16260786.html,/view/19093.htm [3]苗瑞生，火箭气体动力学，北京：国防工业出版社，2002
数学建模竞赛C题解答
数学建模竞赛C题解答
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题解答 问题1：如图1，设P 的坐标为 (x , y )， (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k 倍，模型可归结为 2222)()()(),(min y b x l y a x ky y x f -+-+-++= 只需考虑21<≤k 的情形（不妨假设b a ≤）。对上述二元费用函数求偏导，令 ()()()()()()()()??? ? ??? =-+----+--==-+----+=0 ,0,22222222 y b x l y b y a x y a k y x f y b x l x l y a x x y x f y x （＊） 结合图1，将（＊）式改写为 ?? ?=+=-k βαβαsin sin 0 cos cos ，易知： 2 4cos cos ,2 sin sin 2 k k -= ===βαβα 所以 2 4tan tan k k -= =βα，故经过AP 和BP 的直线方程分别为： x k k a y 2 4-- =- ① ()l x k k b y --= -24 ② 联立①、②解方程组得交点()()?? ? ???--+= ??? ?????--- =2 2 421,421k kl b a y a b k k l x
因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以 l 应满足： ()a b k k l --≥ 2 4 且()a b k k l +-≤2 4 （a ）当 )(42 a b k k l --≤ 时，此时交点在y 轴上，将0=x 代入①式，可得),0(a P =，即交点P 与A 点重合（如图2）。 ka l a b f ++-=22min )( (b) 当)(4)(42 2 a b k k l a b k k +-< <--时，交点在梯形内（如图1） 。??? ? ? ?--+---=)4(21),(24222k kl b a a b k k l P ， 因为 2 42cos cos cos k l l x l x BP AP -==-+= +α βα，所以模型简化为： 2 42),(min k l ky y x f -+ =， () l k k b a f 2min 4)(2 1 -++= (c) 当)(42 a b k k l +-≥ 时，此时交点在x 轴上，即无共用管线的情形（如图3） 。
2017全国数学建模竞赛B题
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种 考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 附件一：已结束项目任务数据 附件二：会员信息数据 附件三：新项目任务数据
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
全国大学生数学建模竞赛论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
全国大学生数学建模竞赛一等奖
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：湖州师范学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 陈艺 2. 王一江 3. 叶帆帆 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李立平 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 储油罐的变位识别与灌装表标定关系到各个加油站的资源利用率和生产效益，同时与人民社会生活也密切相关。因此，本题的建模具有很好的理论意义和应用价值。 针对赛题A的要求，本论文主要做了以下工作： 对于问题一：首先采用积分思想，分别推导出罐体无变位及纵向倾斜?1.4两种情况下罐内的油位高度和储油量；其次对以上两种情况下罐内实际进油量与理论进油量进行误差分析，并通过三次多项式拟合方法得到各自的误差表达式以及修正后罐内油位高度 和储油量的关系式；接着，采用插值方法推算出无变位及倾斜?1.4时罐体出油情况下储存油体积的初始值，进而对两种情况在出油时的误差进行了分析；最后根据校正后的表达式，给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（见附件3）。 对于问题二：首先在问题一后半部分问题求解的基础上，推导出罐体纵向倾斜α角度后罐内油面高度与存储油体积之间的关系，再将已纵向倾斜α角得罐体横向转动β 角，并求出此时罐内油面高度与存储油体积之间的实际表达式；接着，对已获表达式中的积分进行符号求解，并利用本题数据附件2给出的数据及最小二乘法的思想用三重循 环搜索出α和β的最优近似值（见附件6），求出α=?1.2和β=?8.4；然后利用α和β的 值计算后可发现本题数据附件2显示的油量容积与实际油量容积要高出许多，并得出理论出油量与实际出油量很接近（两者误差在3升以内），从而该模型能很好地反映油量与油位高度之间的对应关系。接着给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（见附件7），最后通过本题数据附件2及问题一中的试验模型，验证了模型的正确性与方法的可靠性。 在回答了以上两个问题基础上，我们对模型的优缺点进行总结，并讨论该模型的推广及评价。
2020全国大学生数学建模竞赛试题
A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值
最新数学建模竞赛答案汇总
2010年数学建模竞赛 答案
输油管道的铺设设计 符号约定 m 炼油厂A 到铁路线L 的距离 n 炼油厂B 到铁路线L 的距离 b 炼油厂A 、B 间水平距离 F 输送管道的总费用 f 铺设管道的附加费用 W 铺设费用的权重系数 1k A 厂铺设非共用管线每千米的费用 2k B 厂铺设非共用管线每千米的费用 3k 共用管线每千米的费用 问题一分析与模型建立 最短路径的存在性论证 如图4.1，假设C 点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC ?中，存在费尔马点P ，使点P 与ABC ?三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有 PA+PB+PC
①当0120<∠ACB 时，铺设公用管道PC 的输送费用比不铺设公用管道费用低； ②当0120>∠ACB 时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC =0。 问题一分析与模型建立 如图4.1，以炼油厂A 、B 间铁路线所在直线为x 轴，以过炼油厂A 且垂直于铁路线L 直线为y 轴，建立平面直角坐标系。设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k 个单位（下同），根据实际意义易知21<≤k 。 根据参考文献[1]，点P 不可能在A 的上方，故m t ≤≤0。 易得，A 点关于过点P 平行于x 轴的直线1L 的对称点'A （0，2t-m ）。 由费尔马点的应用及平面几何对称性有 111F PB PA k PC BA k PC '=?+?+?>?+? 为此，得到铺设管道的最优模型 min 1F BA k PC '=?+? 4-1 问题一模型求解 对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A 、B 的坐标不同的取值，进行A 、B 不同位置时管道铺设设计。 1公用管道与非公用管道费用不同，即k <1时模型的求解 已知A 点关于1l 对称点'A （0，2t-m ） ()F t tk =
数学建模b题标准答案
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：北京大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 姚胜献 2. 许锦敏 3. 刘迪初 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘业辉 日期： 2011 年 9 月 12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 本文通过建立整数规划模型，解决了分配各平台管辖范围、调度警务资源以及合理设置交巡警服务平台这三个方面的问题；通过建立线性加权评价模型定量评价了某市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，并根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了重新分配全市警力资源的解决方案。在计算交巡警服务平台到各个路口节点的路程时，使用了图论里的floyd算法。 针对问题一的第一个子问题，首先假设交巡警服务平台对某个路口节点的覆盖度是二元的，引入决策变量，建立了0-1整数规划模型。交巡警出警应体现时间的紧迫性，所以选择平均每个突发事件的出警时间最短作为目标函数，运用基于MATLAB的模拟退火算法进行求解，给出了中心城区A的20个服务平台的管辖范围，求得平均每个案件的出警时间为1.013分钟。 针对问题一的第二个子问题，为了实现对中心城区A的13个交通要道的快速全封锁，以最短的封锁时间为目标，建立了0-1整数规划模型，利用lingo软件编程求解，给出了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案，并求得对13个交通要道实现全封锁最短需要8.02分钟。 问题一的第三个子问题是交巡警服务平台的选址问题。考虑到建设新的服务平台需要投入更多的成本和警务资源，还需平衡各个服务平台的工作量。因此，以增加最少的服务平台数和服务平台工作量方差最小为目标，采用集合覆盖理论，建立了双目标0-1整数规划模型，用基于MATLAB的模拟退火算法求解出增加的服务平台数为4个，新增 的服务平台具体位置为A 28,A 40 ,A 48 ,A 88 ，并得到各个服务平台的工作强度方差为2.28。 针对问题二的第一个子问题，通过建立线性加权评价模型定量评价了该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，结果发现全市服务平台覆盖率较低且各个区的工作量不均衡，得出全市服务平台的布局存在明显的不合理的结论。并确定各区域人口密度、各区域公路总长度以及各区域平均每天总的发案率为各区域对交巡警需求的指标，然后根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了较为合理的分配全市警力资源的解决方案。 对于问题二的第二个子问题，以围堵范围最小和调动警力最少的原则，通过分析案发后嫌疑犯可能到达的位置，给出了围堵方案。 关键词：交巡警服务平台 0-1整数规划模拟退火法
高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题参考答案
交巡警服务平台的设置与调度优化分析 摘要 本文以实现警察的刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能为宗旨，利用有限的警务资源，根据城市的实际情况与需求合理地设置了交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围及调度警务资源。并分别对题目的各问，作了合理的解答。 问题一： （1）、根据题目所给数据，确定各节点之间的相邻关系和距离，利用Floyd算法及matlab编程求出两点之间的最短距离，使其尽量满足能在3分钟内有交巡警平台警力到达案发结点的原则，节点去选择平台，把节点分配给离节点距离最近的平台管辖，据此，我们得到了平台的管辖区域划分。 （2）、我们对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁的问题，我们认定在所有调度方案中，某种方案中耗时最长的的围堵时间最短即最佳方案，利用0-1变量确定平台的去向，并利用线性规划知识来求解指派问题，求得了最优的调度方案。 （3）、在确定增添平台的个数和具体位置的问题中，我们将尽量保证每个节点都有一个平台可以在三分钟内到达作为主要原则来求解。我们先找出到达每个平台的时间都超过三分钟的节点，并尝试在这些节点中选取若干个作为新的平台，求出合理的添加方案。 问题二： （1）、按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析现有的服务平台的设置是否合理，我们以各区覆盖率作为服务平台分布合不合理的评价标准，得到C、D、E、F区域平台设置不合理。并尝试一些新的设置方案使得设置更为合理，最后以覆盖率最低的E区为例，使用一种修改方案得到一个比原方案更合理的交巡警服务平台的设置方案。 （2）、追捕问题要求在最快的时间内抓到围堵罪犯，在罪犯和警察的行动速度一致的前提假设下，我们先设定一个具体较小的时间，编写程序检验在这个时间内是否可以成功抓捕罪犯，不行则以微小时间间隔增加时间，当第一次成功围堵时，这个时间即为最佳围堵方案。 关健字：MATLAB软件，0-1规划，最短路，Floyd算法，指派问题 一、问题重述 “有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
全国数学建模竞赛B题CUMCMB
2 0 1 3 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”) B 题碎纸片的拼接复原 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达(见【结果表达格式说明】)。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。 【数据文件说明】 (1) 每一附件为同一页纸的碎片数据。 (2) 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19 条碎片。 (3) 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11X19个碎片。 (4) 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11 X 19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中 每一碎片对应两个文件，共有2X 11X 19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。 【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： (1) 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1X 19的表格； (2) 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11X 19的表格； (3) 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11X 19的表格；
全国研究生数学建模比赛E题解答
参赛密码 （由组委会填写） 第十二届“中关村青联杯”全国研究生 数学建模竞赛 学校 参赛队号 队员姓名 参赛密码 （由组委会填写） 第十二届“中关村青联杯”全国研究生 数学建模竞赛 题目数控加工刀具运动的优化控制 摘要：
本文基于计算机数控系统的工作原理，建立了刀具运动的优化控制模型，目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制，从而增强机床运行的平稳性。主要运用了S型曲线的加减速控制方法，建立了通用模型，该模型可通过已经设定的刀具加工路径，得出机床运动过程中任意一点的速度，从而验证所设定的符合加减速控制原理，得到最优的数控加工刀具的路径。在该通用模型中，机床控制的加速度和速度都是连续变化的，因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化，保证了速度的光顺及加速度的连续，提高了机床运动的平稳性，运用该模型，可以帮助寻找最优刀具路径，从而实现数控刀具加工的优化。 本论文的创新点在于模型适用范围广，突破了速度范围和加速度的限制不仅适用于S型曲线七阶段的加减速，而且适用于平稳性更强的五阶段和三阶段的S型曲线加减速控制路径。 论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。在直线插补模型中，不论运行轨迹是直线还是曲线，刀具的运行都是按阶梯形路径行走，用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。并且每一步长的增量均为分辨率???，并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。根据此原理，采用直线插补,, x y z 法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。 对于问题一：根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°和135°，然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。分别对刀具在拐角为90°和135°处进行受力分析得到结果：转角为90°时的合力F2>0.765F2(135°
中国大学生数学建模竞赛历年试题
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
大学生数学建模竞赛A题参考答案
2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 <请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土<0~10 厘M深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1> 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2> 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3> 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4> 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 题目A题城市表层土壤重金属污染分析 摘要： 本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。 在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目, 将全区划分成个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作 为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆
数学建模竞赛试题 2015
A题飞越北极 2000年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下： 7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。 假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处： A1 (北纬31度，东经122度)； A2 (北纬36度，东经140度)； A3 (北纬 53度，西经165度)； A4 (北纬62度，西经150度); A5 (北纬 59度，西经140度)； A6 (北纬 55度，西经135度)； A7 (北纬 50度，西经130度)； A8 (北纬 47度，西经125度)； A8 (北纬 47度，西经122度)； A10 (北纬 42度，西经87度)。 请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：
（1）设地球是半径为6371千米的球体； （2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。
B题：DNA限制性图谱的绘制 绘制DNA限制性图谱是遗传生物学中的重要问题。由于DNA分子很长，目前的实验技术无法对其进行直接测量，所以生物学家们需要把DNA分子切开，一段一段的来测量。在切开的过程中，DNA片段在原先DNA分子上的排列顺序丢失了，如何找回这些片段的排列顺序是一个关键问题。 为了构造一张限制性图谱，生物学家用不同的生化技术获得关于图谱的间接的信息，然后采用组合方法用这些数据重构图谱。一种方法是用限制性酶来消化DNA分子。这些酶在限制性位点把DNA链切开，每种酶对应的限制性位点不一样。对于每一种酶，每个DNA分子可能有多个限制性位点，此时可以按照需要来选择切开某几个位点（不一定连续）。DNA分子被切开后，得到的每个片段的长度就是重构这些片段的原始顺序的基本信息。在多种获取这种信息的实验方法中，有一种广泛采用的方法：部分消化（the partial digest, PDP）方法。 在PDP中，采用一种酶，通过实验得到任意两个限制性位点之间片段的长度。假设与使用的酶对应的限制性位点有n个，通过大量实验，可得到n+2个点（n个位点加上两个端点）中任意两点之间的距离，共2 C个值。然后用这22+n C个距离来重构n个限制性位点的位n 2 + 置(解不一定唯一，两个端点对应于最长的距离)。若?X是线段上的点集X中所有点之间距离的集合，PDP就是给定?X求X。下图给出了一个例子。
全国数学建模竞赛一等奖论文
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习答案(第5章)
《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇） 课后练习答案 第5章SPSS的参数检验 1、某公司经理宣称他的雇员英语水平很高，如果按照英语六级考试的话，一般平均得分为75分。现从雇员中随机选出11人参加考试，得分如下： 80, 81, 72, 60, 78, 65, 56, 79, 77,87, 76 请问该经理的宣称是否可信。 原假设：样本均值等于总体均值即u=u0=75 步骤：生成spss数据→分析→比较均值→单样本t检验→相关设置→输出结果（Analyze->compare means->one-samples T test；） 采用单样本T检验（原假设H0:u=u0=75,总体均值与检验值之间不存在显著差异）； 分析：指定检验值:在test后的框中输入检验值（填75），最后ok!
分析：N=11人的平均值（mean）为73.7，标准差（std.deviation）为9.55,均值标准误差(std error mean)为2.87.t统计量观测值为-4.22，t统计量观测值的双尾概率p-值（sig.(2-tailed)）为0.668，六七列是总体均值与原假设值差的95%的置信区间,为(-7.68,5.14),由此采用双尾检验比较a和p。T统计量观测值的双尾概率p-值（sig.(2-tailed)）为0.668＞a=0.05所以不能拒绝原假设；且总 体均值的95%的置信区间为(67.31,80.14),所以均值在67.31~80.14内,75包括在置信区间内,所以经理的话是可信的。 2、在某年级随机抽取35名大学生，调查他们每周的上网时间情况，得到的 数据如下（单位：小时）： （1）请利用SPSS对上表数据进行描述统计，并绘制相关的图形。 （2）基于上表数据，请利用SPSS给出大学生每周上网时间平均值的９５％的置信区间。 （1）分析描述统计描述、频率 （2）分析比较均值单样本T检验
全国数学建模大赛简介2020年最新
一、什么是数学建模？ 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）；数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 建模应用 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性。 自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 二、数学建模的几个过程 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
目前正规数学建模比赛有哪些
目前正规数学建模比赛有哪些？ ——数学中国总策划致全体中国数学建模爱好者数学中国作为促进数学建模发展公益性组织，其本身代表着数学建模爱好者的价值观，致力于“用数学建模改变中国人对数学枯燥的看法，致力于数学建模市场行业化”的使命，愿意承担起建立中国“数学建模”行业的责任。 然而，从今年上半年开始，数学建模的活动越来越多，尤其以数学建模比赛居多，这就让一些人钻了洞子，利用比赛去赚钱，甚至近期有人发出了【怎样举办一个数模比赛】的帖子，看了之后真是让人触目惊心。其完全是奔着赚钱去考虑的，完全是奔着很多数模者的虚荣心去的，而未考虑对参赛者的责任、未考虑对参赛者的伤害（因为你们的比赛，可能让一个人从此对数学建模反感，从此让他再不踏入数模这扇门，这是在毁灭数学建模行业，毁灭近26年来中国数学建模人的心血）。 目前，数学中国认可的比赛有以下几个，并且均是经过证实的： 1、CUMCM：全国大学生数学建模竞赛（指导单位：中国工业与应用数学学会） 2、MCM/ICM：美国大学生数学建模竞赛（COMAP杂志社主办，指导单位：美国工业与应用数学学会、美国数学学会、运筹研究与管理学会） 3、GMCM：研究生数学建模竞赛（主办单位：全国研究生数学建模竞赛组织委员会发起（朱道远老师），相关组织范畴内的学校轮流作主办方） 4、TZMCM：数学中国数学建模网络挑战赛（主办单位：内蒙古数学学会、全球数学建模认证中心；协办单位：数学中国） 5、EMCM：中国电机工程学（电工）杯数学建模竞赛（主办单位：中国电机工程学会数学委员会） 6、CAMCM：数学中国数学建模国际赛【俗称小美赛】（主办单位：内蒙古数学学会、全球数学建模认证中心；协办单位：数学中国） 7、苏北赛（主办单位：江苏省工业与应用数学学会，中国矿大数模协会） 8、华中赛（主办单位：华中地区高校数模协会轮流举办，华中数模组委会） 9、华东邀请赛（主办单位：上海几个高校数模协会轮流举办，华东数学联盟协会协办） 10、东北赛（主办单位：东北高校数模协会轮流组办，东北三省数模竞赛组委会） 以上比赛，各有特色： 1、CUMCM，国内高校学术认可度比较高，社会认可度有限； 2、MCM/ICM，国内外高校均认可，社会认可度有限； 3、GMCM，国内认可度比较高，社会认可度有限； 4、TZMCM：国内认可度比较高，社会认可度有限（2012年社会认可度有所改变，由于我本人一年多来在全国各个企业家会议上对数模人才进行推广，并且取得了一定得成效，下面做些补充说明）； 5、EMCM：国内学术界认可度搞，社会认可度有限； 6、CAMCM：国内认可度一般，社会认可度有限； 7、苏北赛：国内认可度一般，社会认可度有限； 8、华中赛：国内认可度一般，社会认可度有限； 9、华东赛：国内认可度一般，社会认可度有限； 10、东北赛：国内认可度一般，社会认可度有限； 以上比赛也是目前国内正规单位举办的比赛，所以希望大家能够认真辨别，以免收到伤害，而终止自己的数模生涯。凡是数学建模行业有意的事情，比如比赛、活动等，数学中国一定予以鼓励和支持，但是有害于数学建模行业的事情，有悖于数学中国的责任和使命，数学中国也会予以反对。 补充： 上面提案到TZMCM的认可度问题：由于第五届TZMCM的宗旨除了推广数学建模外，还提出了促进数学建模社会化。因此，基于此种宗旨承诺，我用了两年的时间参加了国内大大小小的各种企业家会议，去的最多的是电子商务大会、云计算大会、移动互联网大会、互联网大会等，了解了目前中国对数模人才的需求，以及对数模的评价。 基于以上调查，数学中国下半年推出了针对数模能力认真者的移动互联网实训、中国数学建模人才认证平台、数模人才推介频道（12月份跟大家见面）等促进数模社会化的事宜，将会为数模人才寻找出路引出一条路。