师大附属中学自主招生试题(数学))
师大附中数学试卷（安徽）
一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上） 1、已知函数|1||24||31|y x x x =-+++-，则y 的最小值为. 2、化简：
(
)(
)
53322
53
32
++=++.
3、如图，ABC ?内接于⊙O ，3，1AC =，90A B ∠-∠=°，则⊙O 的面积为.
4、母亲节快到了，小红，小莉，小莹到花店提前订花并准备在母亲节送给自己的母亲.小红订了3支玫瑰、7支康乃馨、1支百合花，支付了14元，小莉订了4支玫瑰、10支康乃馨、1支百合花，支付了16元，小莹订了上面三种花各3支，则她应支付元.
5、已知关于x 的方程2222(1)34420x a x a ab b ++++++=有实根，则实数a b +=.
6、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为2011，那么它的周长为.
7、如图，矩形的边2AB =，1BC =，且顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，若A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上滑动，顶点C 到坐标原点O 的距离的最大值为.
8、 如图，已知菱形的顶点G 在矩形的边上，矩形的顶点A 在菱形的边上，若a ，
BC b =，30F ∠=°，则菱形的边长为.
二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9、 （本小题满分14分）如图，将一个很大的三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O 上，直角边与函数k y x
=（0x >）的图象交于点A ，直角边与k y x
=-（0x <）的图象交于点B. （1）证明：；
（2） 若将三角板绕点O 旋转，并在某一时刻使得过A 、B 两点的直线与直线
1
2
y x =
平行，且5AB =，求k 的值.
10、（本小题满分14分）如图，在⊙O中，弦垂直于直径，4，N是的中点，的延长线交⊙O于点E，与交于点M.
（1）求证：M、C、E、N四点共圆；
（2）求 的值.
11、 （本小题满分16分）已知抛物线221188
y x mx m m =-+++与x 轴交于1(,0)A x 、
（1）求m的取值范围；
（2）若OA OB OC
=+，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发，如图点P沿运动到B，点Q沿运动到C，且P点运动的速度是Q点运动速度的3倍，作直线与直线交于M，设k，问是否存在k值，使以P、B、M为顶点的三角形与ABC
?相似，若存在，求所有k值，若不存在，请说明理由.
安师大附中2012年初三素质测试数学试题参考答案
一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）
1、16
32、52
-3、5
2
π4、30
5、1
2
6、（或答20112012
?，2
2011+2011也正确） 7、21+8、2ab
二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应
写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9、证明：（1）证法一：过A作x轴垂线，垂足为
∴∠∠，又∵∠∠90°，
∴△∽△.………………………………………………（3分） 又点A 、B 分别在函数k y x
=与k y x
=-的图象上，
∴||2
AOC BOD k S S ??==，即△与△的相似比为1:1，
所以△≌△，即. ……………………………（7分）
证法二：过A 作x 轴垂线，垂足为C ，过B 作y 轴垂线，垂足为D ， ∵∠90°，∠90°，∴∠∠，
令∠∠θ，∴(||cos ,||sin )A OA OA θθ??，(||sin ,||cos )B OB OB θθ-??，………………（3分）
又点A 、B 分别在函数k y x
=与k y x
=-的图象上，
∴||sin ||cos ||cos ||sin k OA OA k OB OB θθθθ?
?=????
??=-
?-??
，即22||cos sin ||cos sin k OA OB θθθθ=?=?，∴. …………（7
分） （
2）设A (,)
a b ，则(,)B b a -………………………………………………………………………………
（8分）
∵直线与直线12y x =平行，∴设直线的解析式为1
2
y x m =+，且过A 、B 两点，
即
1212
b a m a b m ?=+???
?=-+??，消去
m
得：3b a =……………………
① ………………………………（10分） 又
5
AB =，且△为等腰直角三角形，∴5
2
OA =
，即2252
a b +=……………
② ……………（12分） 联立①②解之得：13
,22
a b ==. 故
3
4
k a b =?=
.………………………………………………………………………………………………（14分）
10、证：⑴∵垂直平分，∴弧等于弧，
,AED ABC ∴∠=∠,OB OC =Q ，ABC OCB ∴∠=∠，AED OCB ∴∠=∠，
圆. ………………………………………………（6分） （2）连,延长交⊙O 于K,如图，∵四点共圆，
∴NME NCE ∠=∠，又NCE EAB ∠=∠，NME EAB ∴∠=∠，∴∥.
又∵N 为中点，∴M 为中点 ……………………………………（10分） 故1, 由相交弦定理, ··1×3=3 .
11、 解：⑴ 由题意得： 20
180
m m ?>??+>? ，解得0m >或
1
18
m <-
……………………………………（4分） （注：若只有0?>解出0m >或1
20m <-得2分）.
（2）120,0x x <>Q ，12,OA x OB x ∴=-=，OA OB OC =+Q ，
120x x b ∴++=…………………（7分）
即21890m m +=解得0m =或1
2
m =-. 又
由
（
1
）
知
m >或
118
m <-
，12
m ∴=-
，故
211
482
y x x =--+. ………………………………（9
分）
（3）解法一：由（2）知：(8,0),(4,0),(0,4)A B C -，
∵PBM ABC ∠=∠，要使PBM ?∽ABC ?，只需条件BPM BAC ∠=∠或BPM BCA ∠=∠成立即可.
（ⅰ）若BPM BAC ∠=∠，此时∥，又,83OQ k PO k ==-， ∴
1
2
OQ OC PO OA ==，即
1
832
k k =-，解之得
8
5
k =
.………………………………………………………（12分）
（ⅱ）若BPM BCA ∠=∠，此时点P 在线段上，如
图，过点B 作⊥，垂足为N ，
∴QPO BCN ∠=∠，∴tan tan QPO BCN ∠=∠，即
OQ BN
OP CN
=，
又
5
BN =
，
4555
CN =
-=，∴
1
383
k
k
==
-
，解之得3
k=. …………………………………………（15分）
综上可知：当8
5
k=或3
k=时，以P、B、M为顶点的三角形与ABC
?相似. …………………………………………（16分）
解法二：由（2）知：(8,0),(4,0),(0,4)
A B C
-，(38,0),(0,)
P k Q k
-，
∵PBM ABC
∠=∠，要使PBM
?∽ABC
?，只需条件
BM BP
BC BA
=或BM BP
BA BC
=成立即可.
又∵直线的解析式为4
y x
=-+………………①
直线的解析式为
83
k
y x k
k
=?+
-
………………②
联立①②解出点M的坐标为833
(,)
22
k
k
-.
∴BM=. …………………………………………（13分）
（ⅰ）若BM BP
BC BA
=
123
12
k
-
=，解得：8
5
k=.
（ⅱ）若BM BP
BA BC
=，
即2
12
=，解得：3
k=. …………………………………………（15分）
综上可知：当8
5
k=或3
k=时，以P、B、M为顶点的三角形与ABC
?相似. ………………（16分）