2020年广东省揭阳市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年广东省揭阳市高考数学二模试卷（一）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合M={x|-1＜x＜1}，，则M∩N=（）

A. B.

C. {x|0≤x＜1}

D.

2.复数的共轭复数的虚部为（）

A. B. C. D.

3.已知双曲线mx2+y2=1的一条渐近线方程为2x+y=0，则m的值为（）

A. B. -1 C. -2 D. -4

4.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，

爱好不爱好合计

男生20525

女生101525

合计302050

由K2=得K2=≈8.333＞7.879

p（K2＞k）0.0100.0050.001

k 6.6357.87910.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

5.某公司2018年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况.已

知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有（）

A. 56万元

B. 65万元

C. 91万元

D. 147万元

6.已知，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（）

A. B. -2 C. D.

7.已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）

A. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α

B. 若m∥α，α∩β=n，则m∥n

C. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β

D. 若m⊥α，m?β，则α⊥β

8.已知函数则的是（）

A. B. C. e D. 3

9.我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚

五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图源于这个题目，执行该程序框图，若输入x=20，则输出的结果为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

10.设函数，则下列结论错误的是（）

A. 为的一个周期

B. 的图象关于直线对称

C. 的一个零点为

D. 的最大值为2

11.设F是椭圆的右焦点，A是椭圆E的左顶点，P为直线

上一点，△APF是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（）

A. B. C. D.

12.若函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则f（x）的最大值是（）

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若x，y满足约束条件，则z=3x-2y的最小值为______．

14.已知平面向量，且∥，则实数m的值为______．

15.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，且四棱锥S-ABCD的顶点都在半

径为2的球面上，则四棱锥S-ABCD体积的最大值为______．

16.已知△ABC中，，D是BC边上的一点，且△ABD为等边三角形，则△ACD

面积S的最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d不为零，若a1，a3，a9成等比数列，且

S4=10．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求证：．

18.已知如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，，点E，F，M分别

为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．

（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；

（2）求证：D1B⊥平面DEF．

19.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线y=kx+m（m＞0）与抛物线C交于不同的两

点M，N．

（1）若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；

（2）若m=2，求|MF|?|NF|的最小值．

20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过

1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．

（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；

（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？

（3）小明打算将A（0.9kg），B（1.3kg），C（1.8kg），D（2.5kg）四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为45元的概率．

21.已知函数f（x）=x-a ln x-1．

（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；

（2）?t＞0且a≤1，求证：．

22.在直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求△OAB的面积．

23.已知正实数x，y满足x+y=1．

（1）解关于x的不等式；

（2）证明：．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：；

∴．

故选：A．

可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．

考查描述法的定义，以及交集的运算．

2.答案：C

解析：解：设z====，所以z的共轭复数的虚部为-，

故选：C．

先求出复数的代数形式，即可得到的共轭复数的虚部，

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

3.答案：D

解析：解：双曲线mx2+y2=1的渐近线方程为：y±x=0，

因为双曲线mx2+y2=1的一条渐近线方程为2x+y=0，

可得，解得m=-4．

故选：D．

求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出m的值．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

4.答案：A

解析：解：由题意知K2=≈8.333＞7.879，

对照临界值得出，有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

故选：A．

由题意知观测值K2，对照临界值得出结论．

本题考查了独立性检验原理的应用问题，是基础题．

5.答案：B

解析：【分析】

根据题意，在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，可得不少于3万元的项目投资占比为，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%，

即可得到那么不少于3万元的项目投资．

本题考查了扇形图的读图识图能力，属于基础题．

【解答】

解：由题意，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，

所以在1万元以上的项目投资中，不少于3万元的项目投资占比为，

而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%，

所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×=65万元，

故选：B．

6.答案：C

解析：【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用sin2θ+cos2θ=1，解得a．由于θ为第二象限角，可得sinθ＞0，cosθ＜0．即可得出a 的值，进而可求tanθ的值．

【解答】

解：∵，

∴sin2θ+cos2θ=（）2+（-）2=1，

解得：a=0，或a=4，

∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．

∴a=4，

∴可得：sinθ=，cosθ=-，tanθ=-．

故选：C．

7.答案：B

解析：解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A 正确；

对于B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，故错；

对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；

对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；

故选：B．

A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；

B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，；

C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；

D，根据面面垂直的判定；

本题考查了命题真假的判定，属于基础题．

8.答案：D

解析：【分析】

根据题意，由函数的解析式求出f（）=-ln3，进而可得f[f（）]=f（-ln3），计算可得

答案．

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，函数

则f（）=ln=-ln3，

则f[f（）]=f（-ln3）=e ln3=3；

故选：D．

9.答案：C

解析：【分析】

本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．

【解答】

解：若x=20，

则T=1+1=2，S=0+2=2，S＜20,是，a=2，b=，n=2

T=2+=，S=+2=，S＜20,是，a=4，b=，n=3，

T=4+=，S=+=，S＜20,是，a=8，b=，n=4，

T=8+=，S=+=，S＜20,是，a=16，b=，n=5，

T=16+=，S=+=，S＜20,否，程序终止，输出，n=5，

故选：C．

10.答案：D

解析：【分析】

本题主要考查诱导公式、余弦函数的性质，属于基础题．

由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的性质得出结论．

【解答】

解：∵函数=cos2x+cos2x=（+1）cos2x，

故它的周期为=π，故A正确；

当x=，求得f（x）=-（+1），为最小值，故它的图象关于直线x=对称，故B正确；当x=，求得f（x）=0，故f（x）的一个零点为x=，故C正确；

由于f（x）的最大值为+1，故D错误，

故选D．

11.答案：B

解析：【分析】

本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率，着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．

利用△FPA是底角为30°的等腰三角形，可得|PF|=|FA|，且|PF|=2|FM|，根据P为直线

上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．

【解答】

解：设交x轴于点M，

∵△FPA是底角为30°的等腰三角形

∴∠PFA=120°，|PF|=|FA|，且|PF|=2|FM|

∵P为直线上一点，

∴2（-c）=a+c，解之得2a=3c

∴椭圆E的离心率为e==

故选：B．

12.答案：C

解析：解：因为函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，

则，即，解得，

当a=b=4时，f（x）=f（-2-x）恒成立，

即a=b=4满足题意，

即f（x）=-x2（x+2）2=-[（x+1）2-1]2，

当x=0时，f（x）取最大值0，

故选：C．

由函数的性质得：函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则，即，解得，当a=b=4时，f（x）=f（-2-x）恒成立，即a=b=4满足

题意，

由二次函数的最值问题得：f（x）=-x2（x+2）2=-[（x+1）2-1]2，当x=0时，f（x）取最大值0，得解．

本题考查了函数的性质及二次函数的最值问题，属中档题．

13.答案：0

解析：解：由z=3x-2y得y=x-，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

平移直线y=x-，由图象可知当直线y=x-经过点

O时，直线的截距最大，

此时z最小，将O（0，0）代入目标函数z=3x-2y，

得z=0．

故答案为：0．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出结果．

本题考查线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法．

14.答案：

解析：解：平面向量，且∥，

所以，2m+1-（-）?2m=0，解得m=-．

故答案为：-．

根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出m的值．

本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．

15.答案：6

解析：解：设M为正方形ABCD的中心，O为外接球的球

心，

则OM⊥平面ABCD，

∵正方形ABCD边长为，∴AM=，

∴OM==1，

当S，O，M在同一条直线上且O在四棱锥内部时，S到平

面ABCD的距离取得最大值，

最大距离为2+1=3．

∴四棱锥的最大体积为（）2×3=6．

故答案为：6．

计算球心到平面ABCD的距离，得出S到平面ABCD的最大距离，再根据体积公式计算最大体积．

本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，属于中档题．

16.答案：

解析：解：△ABC中，，且△ABD为等边三角

形，如图所示；

则∠ADC=120°，△ADC中，AC=2，

由余弦定理得：AC2=CD2+AD2-2CD?AD?cos∠ADC，

即12=CD2+AD2-2CD?AD?（-），

又CD2+AD2≥2CD?AD，所以3CD?AD≤12，

即CD?AD≤4，当且仅当CD=AD=2时取“=”；

所以△ACD面积为S=AD?CD?sin∠ADC≤×4×=，

即△ACD面积S的最大值为．

故答案为：．

利用余弦定理和基本不等式求得CD?AD的最大值，再求△ACD面积S的最大值．

本题考查了余弦定理以及三角形面积的计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．

17.答案：解：（1）由a1，a3，a9成等比数列，

可得且d≠0，

化简得a1=d，

由S4=10可得2a1+3d=5，

由上解得a1=d=1，

∴a n=1+（n-1）?1=n；

（2）由（1）知，

，

∴

．

解析：本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，裂项相消法，考查计算能力，属于中档题．

（1）利用等比数列以及等差数列的定义及性质，求出等差数列的首项与公差，得到数列的通项公式；

（2）求出，利用裂项相消法得，再相加即可得出答案．

18.答案：解：（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、

AC、CM，

则四边形MNAC为所作图形．

由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，

且，

过M作MP⊥AC于点P，

可得，，

得，

∴梯形MNAC的面积=．

证明：（2）证法1：在长方体中ABCD-A1B1C1D1，

设D1B1交EF于Q，连接DQ，

则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，

，

由DE=DF得DQ⊥EF，又EF⊥BB1，

∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，

，∴∠D1QD=∠BD1D，

∴∠QD1B+∠D1QD=∠DD1B+∠BD1Q=90°，

∴DQ⊥D1B，∴D1B⊥平面DEF．

证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中

点，

且为D1B1的四等分点，，

由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，

又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1=B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，

由得tan∠QDD1=tan∠D1BD，

得∠QDD1=∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD=∠QDB+∠QDD1=90°，

∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF=Q，∴D1B⊥平面DEF．

解析：（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．推导出四边形MNAC为梯形，过M作MP⊥AC于点P，由此能求出梯形MNAC的面积．

（2）证法1：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，推导出EF⊥平面BB1D1D，从而EF⊥D1B，推导出DQ⊥D1B，由此能证明D1B⊥平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，推导出BB1⊥EF，从而EF⊥平面BB1D1D，EF⊥D1B，推导出DQ⊥D1B，由此能证明D1B⊥

平面DEF．

本题考查几何图形面积的求法，考查空间中直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．

19.答案：解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），对求导得：，

------------------------------------（1分）

故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，又切线垂直，∴，

即x1?x2=-4，-------------------------------------------------（3分）

把y=kx+m代入C的方程得x2-4kx-4m=0．

∴x1x2=-4m．-------------------------------（5分）

故m=1．------------------------------------------------（6分）

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义可知|MF|=y1+1，|NF|=y2+1---------------（8分）

由（1）和m=2知x1x2=-8，x1+x2=4k

所以

=4k2+9-

-----（11分）

所以当k=0时，|MF|?|NF|取得最小值，且最小值为

9．-----------------------------------------------------（12分）

解析：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），对求导得：，故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，通过切线垂直，得到x1?x2=-4，把y=kx+m代入C的

方程得x2-4kx-4m=0．利用韦达定理求解即可．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义可知|MF|=y1+1，|NF|=y2+1，由（1）和m=2知x1x2=-8，x1+x2=4k，求出|MF|?|NF|的表达式，然后求解最小

本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．

20.答案：解：（1）每天包裹数量的平均数为

0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------（2分）

【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为

】

设中位数为x，易知x∈（200，300），则0.001×100×2+0.005×（x-200）=0.5，解得x=260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------（4分）

（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5-3×100=1000（元），

所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------（7分）（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重0.9+1.8+2.5=5.2（千克），礼物B、C、D共重1.3+1.8+2.5=5.6（千克），都超过5千克，------------------（8分）

故E和F的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，

对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）------------------------------（10分）

故所求概率为．----------------------------------------------------------------------------------（12分）

解析：（1）根据频率分布直方图，将每一组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．

（2）根据（1）中得到的平均值，求出每天的费用，减去300元的前台工作人员工资即可．

（3）将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg，共有5种分法，其中快递费用为45的有3种，可得概率．

本题考查了用频率分布直方图估计平均值，考查频率公式，频率分布直方图的应用，古典概型的概率求法．属于基础题．

21.答案：解：（1）∵函数f（x）=x-a ln x-1，∴，

当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；

当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，

故f（x）在x=a取得极小值0，∴f（a）=a-a lna-1=0，

令p（a）=a-a lna-1，p'（a）=-ln a，所以p（a）在（0，1）单调递增，

在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）=0，∴f（a）=0的解为a=1，

故a=1．

证明：（2）证法1：由，

∵a≤1，所以只需证当t＞0时，恒成立，

令，

由（1）可知x-ln x-1≥0，令x=e t得e t-t-1≥0，

∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）=0，

故．

证法2：，

设（t＞0），则g'（t）=e t-at-a，

则g''（t）=e t-a，又e t＞e0=1，a≤1，得g''（t）＞0，

∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）=1-a≥0，

∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）=0，

故．

解析：（1）求出，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，

不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，从而f （x）在x=a取得极小值0，由此能求出a．

（2）法1：由，由a≤1，得只需证当t＞0时，恒成立，令，x-ln x-1≥0，令x=e t

得e t-t-1≥0，由此能证明．

法2：，设（t＞0），则g'（t）=e t-at-a，推导出g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）=0，由此能证明．

本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

22.答案：解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，

所以C1的极坐标方程为，

即（ρ∈R），

C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ=0,

即ρ-2cosθ-4sinθ=0,

（2）将代入ρ-2cosθ-4sinθ=0，

解得，故．

将代入ρ-2cosθ-4sinθ=0，

解得，故．

由题可知，，

故△OAB的面积为．

解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可把C1，C2化成极坐标方程；

（2）联立极坐标方程并利用极径的几何意义和面积公式可得．

23.答案：（1）解：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，

∴

，

解得，所以不等式的解集为；

证明：（2）方法一：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，

∴===

．

当且仅当时，取“=”．

方法二：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，

∴====

，

当且仅当时，取“=”．

解析：本题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．

（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可；

（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．