2021年中考数学 几何专题训练：全等三角形(含答案)

2021中考数学几何专题训练：全等三角形

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是()

A.甲和乙

B.乙和丙

C.甲和丙

D.只有丙

2. 如图，已知∠1＝∠2，欲证△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选项是()

A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C

C．DB＝DC D．AB＝AC

3. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的理由是()

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL

4. 如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去()

A．只带①B．只带②

C．只带③D．带①和②

5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()

A.△ABD和△CDB的面积相等

B.△ABD和△CDB的周长相等

C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD

D.AD∥BC，AD=BC

6. 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为 ()

A.40°

B.50°

C.55°

D.60°

7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()

A．a＋c B．b＋c

C．a－b＋c D．a＋b－c

8. (2019?陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为

A．2B23

C．32

D．3

9. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()

A．4个B．3个C．2个D．1个

10. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．

12. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．

13. 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：________，使得△ABO≌△CDO.

14. 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为cm.

15. 如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A ＝________°.

16. (2019?南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE ＝________cm.

18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是.

三、解答题（本大题共4道小题）

19. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，△ABC的面积是142.5 cm2，AB＝20 cm，AC＝18 cm，求DE的长．

20. 如图所示，BE＝CF，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，点B，C分别在AM，AN上，且BD＝CD，AD是∠BAC的平分线吗？为什么？

21. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝

5

5，点P是射线BC上一点，

连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.

(1)求证：△ABE≌△CBE；

(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；

(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．

22. 如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，

点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．

2021中考数学几何专题训练：全等三角形-答案

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 【答案】B[解析]依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等;依据AAS全等判定可得丙三角形与△ABC全等，不能判定甲三角形与△ABC全等.故选B.

2. 【答案】C[解析] 当添加条件A时，可用“ASA”证明△ABD≌△ACD；当添加条件B时，可用“AAS”证明△ABD≌△ACD；当添加条件D时，可用“SAS”证明△ABD≌△ACD；当添加条件C时，不能证明△ABD≌△ACD.

3. 【答案】D

4. 【答案】C[解析] 由“ASA”的判定方法可知只带③去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃．

5. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;

B.∵△ABD≌△CDB，

∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;

C.∵△ABD≌△CDB，

∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.

∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;

D.∵△ABD≌△CDB，

∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.

∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.

6. 【答案】D[解析] 因为△ABC≌△ADE，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，所以∠CAB=∠EAD=

180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.

7. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF ＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.

8. 【答案】A

【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，

在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，

在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，

∴CF=DF=1，∴22

+2

DF CF

∴BC=BD+CD=22A．

9. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．

10. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.

选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.

选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.

∴∠FEC=∠BDE.

这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.

选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.

∴∠FEC=∠BDE.

又∵BD=CE=2，∠B=∠C，

∴△BDE≌△CEF.

故能判定两个小三角形全等.

二、填空题（本大题共8道小题）

11. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

12. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，

∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；

若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；

若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.

13. 【答案】∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD(答案不唯一)

[解析] 由题意可知∠AOB＝∠COD，AB＝CD.

∵AB是∠AOB的对边，CD是∠COD的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A ＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD.

14. 【答案】12[解析] 如图，连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，∴∠A=∠BDE=90°.

在Rt△DBE和Rt△ABE中，

∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm，∴DE=12 cm.

15. 【答案】80

[解析] ∵点O 到△ABC 三边的距离相等，∴BO 平

分∠ABC ，CO 平分∠ACB.

∴∠A ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠BOC)＝80°.

16. 【答案】70

【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，

在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF =??=?

，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，

∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．

17. 【答案】3

[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，

∴∠BCD ＋∠B ＝90°. ∴∠ECF ＝∠B.

在△ABC 和△FCE 中，???∠B ＝∠ECF ，

BC ＝CE ，∠ACB ＝∠FEC ，

∴△ABC ≌△FCE(ASA)．∴AC ＝FE. ∵AE ＝AC －CE ，BC ＝2 cm ，EF ＝5 cm ， ∴AE ＝5－2＝3(cm)．

18. 【答案】16

[解析] ∵BF ∥AC ，

∴∠EBF=∠EAD.

在△BFE 和△ADE 中，

∴△BFE ≌△ADE (ASA).∴BF=AD.

∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD. ∵当FD ⊥AC 时，FD 最短，此时FD=BC=5， ∴四边形FBCD 周长的最小值为5+11=16.

三、解答题（本大题共4道小题）

19. 【答案】

解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.

设DE ＝x cm ，则S △ABD ＝12AB·DE ＝12×20x ＝10x(cm 2)，S △ACD ＝12AC·DF ＝1

2×18x ＝9x(cm 2)．

∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，∴10x ＋9x ＝142.5， 解得x ＝7.5，∴DE ＝7.5 cm.

20. 【答案】

解：AD 是∠BAC 的平分线．

理由：∵DE ⊥AM 于点E ，DF ⊥AN 于点F ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.

在Rt △DBE 与Rt △DCF 中，???BE ＝CF ，BD ＝CD ，

∴Rt △DBE ≌Rt △DCF(HL)． ∴DE ＝DF.

又∵DE ⊥AM ，DF ⊥AN ， ∴AD 是∠BAC 的平分线．

21. 【答案】

(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .

在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；

(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，

解图①

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，

∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝5

5， ∴AO ＝OC ＝5，

∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45，

∵1

2AC ·BD ＝BC ·AH ， 即1

2×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，

∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP

， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ， 即AP PE ＝5＋22＝72，

∴AP ＝7

2PE ， 又∵EF ∥AH ，

∴△EFP ∽△AHP ， ∴EF AH ＝PE AP ，

∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE

×4＝8

7，

∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝12

7； (3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，

解图②

∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ， ∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°， ∴AO ＝OE ＝5，

∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，

∴△ADE ∽△PBE ， ∴AD BP ＝DE BE ，

∴5BP ＝535，

∴BP ＝15.

22. 【答案】

∵∠1＝∠2＝∠BAC ，且∠1＝∠BAE ＋∠ABE ，∠2＝∠CAF ＋∠ACF ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠CAF ，

∴∠BAE ＝∠ACF ，∠ABE ＝∠CAF.

在△ABE 和△CAF 中，???∠BAE ＝∠ACF ，

AB ＝CA ，∠ABE ＝∠CAF ，

∴△ABE ≌△CAF(ASA)． ∴S △ABE ＝S △CAF .

∴S △ABE ＋S △CDF ＝S △CAF ＋S △CDF ＝S △ACD . ∵CD ＝2BD ，△ABC 的面积为15， ∴S △ACD ＝10. ∴S △ABE ＋S △CDF ＝10.