《数学建模》实验指导4_matlab数值计算

实验：matlab 数值计算

实验目的：

1. 掌握用matlab 进行插值、拟合、方程求解等数值计算的方法。

实验内容：

1. 某气象观测站测得某日6:00-18:00之间每隔2小时的温度如下：

时间 6 8 10 12 14 16 18 温度 18 20 22 25 30 28 24 试用三次样条插值求出该日6:30,8:30,10:30,12:30,14:30,16:30的温度。

2. 已知lg(x)在[1，101]区间11个整数采样点x=1:10:101的函数值lg(x)，

试求lg(x)的5次拟合多项式p(x)，并分别绘制出lg(x)和p(x)在[1，101]区间的函数曲线。

提示: 对数表示: 以e 为底的是log() 以10为底的是log10() 以2为底的是log2()

3. 求以下非线性方程组的解：

21212

2x x x x e x x e --?-=?-+=? 4. 求以下有约束最值：

22min (,)120f x y x y

x y x y =+?+≤?-≥?

5．求

0.6220.611/0.60.6

y dy --?的值，画出被积函数在[-0.6,0.6]内的函数图形。提示:绘制已经定义的函数的命令为:ezplot('fun',[a,b]).

提示：

● 一维插值：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')

1. 函数根据X 、Y 的值，计算函数在X1处的值。X 、Y 是两个等长的已知向

量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method 是插值方法，允许的取值有'linear'(线性插值)、'nearest'(最近插值)、'spline'(三次样条插值)、'cubic'（三次多项式插值），缺省值是'linear'。

● 多项式拟合：[P,S]=polyfit(X,Y,m)

1. 函数根据采样点X 和采样点函数值Y ，产生一个m 次多项式P 及其在采样

点的误差向量S 。

2. 其中X 、Y 是两个等长的向量，P 是一个长度为m+1的向量。

● 单变量非线性方程求解：[x,fval]=fzero(f,x0,tol)

● [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

1. fun 是一个函数文件function f = fun(x)。x0是初始值。

2.A,Aeq是一个矩阵；b,beq是一个列向量。Ax<=b是不等式约束。

3.lb和ub是和x一样大小的列向量，规定每个分量的上下界。

4.nonlcon是函数文件，有特定格式function [c,ceq] = mycon(x)，描述

非线性约束c(x)和ceq(x)。

5.没有整数约束，0-1约束，敏感性分析。

要求: 把以上作业写成一个实验报告.

数值分析实验报告1

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。学号：06450210 姓名：万轩实验二插值法

数值计算实验课题目

数值实验课试题本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编

3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称

数值计算实验报告

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法实验报告成绩册姓名:宋元台学号：成绩：

数值计算方法与算法实验报告学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀姓名：宋元台学号：实验成绩：一、实验目的及要求实验目的：掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法二、实验内容三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)

1.算法分析：下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #includeMAX_N) { printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } printf("now input the (x_i,y_i)i=0,...%d\n",n); for(i=0;i<=n;i++) { printf("please input x(%d) y(%d)\n",i,i);

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。二、实验原理 1.曲线拟合曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

数值计算实验报告

2012级6班###(学号)计算机数值方法实验报告成绩册姓名：安元龙学号：2012060501 成绩：

数值计算方法与算法实验报告学期： 2014 至___2015 第 1 学期 2014年 10月26日课程名称:__数值计算方法与算法 __ 专业:信息与计算科学 12级5班实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师__孙峪怀姓名：安元龙学号： 2012060501 实验成绩：一、实验目的及要求实验目的：掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法二、实验内容三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析：下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)/(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp/*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)*/ Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. #include #define MAX_N 20 typedef struct tagPOINT { double x; double y; }POINT; int main() { int n; int i,j; POINT points[MAX_N+1];double diff[MAX_N+1]; double x,tmp,newton=0;

太原理工大学数值计算方法实验报告

本科实验报告课程名称：计算机数值方法实验项目：方程求根、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最小二乘拟合多项式实验地点：行勉楼专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日

y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"

心得体会使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。

《数值计算方法》上机实验报告

《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项，有，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0,

解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:，见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0 输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿开始读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx，，01* fx ()0 XX,,，?10 kk, ,1，kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志

,3,输入变量、输出变量说明: 结束例：导出计算的牛顿迭代公式，并il ?算。（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的两行（包括常ekk 数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:，见下页, 输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n

数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收

敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);

线性方程组AX=B的数值计算方法实验

线性方程组A X=B的数值计算方法实验集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

线性方程组AX=B的数值计算方法实验学号：姓名：梁哲豪一、实验描述在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法。迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题。上三角线性方程组的求解：基本算法：高斯消元法：将原方程组化为三角形方阵的方程组： l ll=l ll/l ll l ll=l ll?l ll?l ll （k=1,2,…,n-1; i=k+1,k+2, …,n ;j=k+1,k+2, …,n+1）

由回代过程求得原方程组的解： l l=l ll+1/l ll l l=(l ll+1?∑l ll l l)/l ll LU分解法：将系数矩阵A转化为A=L*U，L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。二、实验内容 1、许多科学应用包含的矩阵带有很多零。在实际情况中很重要的三角形线性方程组有如下形式： …… 构造一个程序求解三角形线性方程组。可假定不需要变换。而且可用第k行消去第k+1行的 x。 k 核心代码： #include #include #include #define N 4//矩阵阶数 void ColPivot(double c[N][N+1],double[]);//函数声明 void main(){ int i,j; double x[N]; double c[N][N+1]={1,3,5,7,1,

数值分析实验报告1

实验一误差分析实验（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何（2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象出现（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感思考题一：（上述实验的改进）在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值计算方法实验5

实验报告学院（系）名称：主程序部分列选主元部分

实验结果：一．列主元消去法输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果）一．列主元高斯消去法 #include #include void print(double a[3][3],int n,double b[3]){ printf("输出矩阵：\n"); for(int i=0;ifabs(d)){ d=a[i][k]; l=i; } i++; } printf("选出主元：%lf\n",d); if(d==0) printf("矩阵奇异！\n"); else if(l!=k){ for(int j=k;j

数值计算实验二报告

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告课程名称：数值分析班级：数学专业2班实验日期： 2013年 9月 26 日学号：姓名：指导教师：杨一都实验成绩：一、实验名称实验二: Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法二、实验目的及要求 1.让学生掌握Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法 2.让学生能够用这些方法解决一些实际问题三、实验环境每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容题1: 对函数211)(x x f += ,取n+1个等距分布的插值节点,取不同的n ,作n 次Lagrange 插值,把)(x f 和插值多项式的图象绘制在同一张图上进行比较. 题曲线拟合较好?为什么?你能找出更好的拟合曲线吗? 提示:用残差平方的大小来判断拟合的优劣,越小越好. 五、算法描述及实验步骤 1. （1）算法描述：画出2 11)(x x f +=的原函数图像与它的Lagrange 多项式插值图像在同一图上进行比较。（2）实验步骤： ①.在M-file 编辑窗口编辑Lagrange 插值M 文件； ②.画出f(x)原函数图像； ③.在命令窗口调用Lagrange 插值取n=10画拟合图像； ④.观察比较两个图像。 2. （1）利用最小二乘法对给定数据点分别画一次，二次和三次多项式拟合曲线。（2）实验步骤： a.输入数据点； b.建立一个划分为四个部分的图像窗口； c.画一次多项式拟合图像在第一部分； d.画二次多项式拟合图像在第二部分；

数值分析实验报告1

实验一误差分析实验1.1（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。误差计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表第三章泛函分析泛函分析概要泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数，且任何满足为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽范数范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之矩阵范数通常也称为相容范数。象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间，内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那外，还规定其必须满足相容性: 所以

(完整版)数值计算方法上机实习题答案

1．设?+=1 05dx x x I n n ，（1）由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ；解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2）粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ；因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小，所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。 2．求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。（1）在[0，1]上用二分法；程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;

(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告

实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;

%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);

数值计算方法实验报告

差值法实验日志实验题目：插值法实验目的： 1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。 2．对四种插值结果进行初步分析。实验要求：（1）写出算法设计思想；（2）程序清单；（3）运行的结果；（4）所得图形；（5）四种插值的比较；（6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。实验主要步骤： 1．已知函数) f满足： (x x0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 f(0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 x ） 0.35206 （1）用分段线性插值；打开MATLAB，按以下程序输入： x0=-5:5; y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y=1./(1+x.^2); y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=spline(x0,y0,x);

for k=1:11 xx(k)=x(46+5*k); yy(k)=y(46+5*k); yy1(k)=y1(46+5*k); yy2(k)=y2(46+5*k); yy3(k)=y3(46+5*k); end [xx;yy;yy2;yy3]' z=0*x; plot(x,z,x,y,'k--',x,y2,'r') plot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r') pause plot(x,z,x,y,'k--',x,y3,'r') 回车得以下图形:

（2）拉格朗日插值。创建M 文件，建立lagr 函数： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 新建一个M 文件，输入： x0=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5]; y0=[0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; x=0.0:0.01:0.5; y1=lagr1(x0,y0,x); 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

数值分析实验报告

实验五解线性方程组的直接方法实验5.1 （主元的选取与算法的稳定性）问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。实验内容：考虑线性方程组编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。实验要求：（1）取矩阵?? ? ?? ?? ?????????=????????????????=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取n=10计算矩阵的条件数。让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。思考题一：（Vadermonde 矩阵）设 ?? ??????????????????????=? ? ? ?????????????=∑∑∑∑====n i i n n i i n i i n i i n n n n n n n x x x x b x x x x x x x x x x x x A 0020 10022222121102001111 ，，其中，n k k x k ,,1,0,1.01 =+=，（1）对n=2,5,8，计算A 的条件数；随n 增大，矩阵性态如何变化？（2）对n=5，解方程组Ax=b ；设A 的最后一个元素有扰动10-4，再求解Ax=b （3）计算（2）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。（4）你能由此解释为什么不用插值函数存在定理直接求插值函数而要用拉格朗日或牛顿插值法的原因吗？相关MATLAB 函数提示： zeros(m,n) 生成m 行，n 列的零矩阵 ones(m,n) 生成m 行，n 列的元素全为1的矩阵 eye(n) 生成n 阶单位矩阵 rand(m,n) 生成m 行,n 列(0,1)上均匀分布的随机矩阵 diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩阵 tril(A) 提取矩阵A 的下三角部分生成下三角矩阵

数值分析实验报告-Sor法分析

数值分析实验报告一、实验目的 1、会使用Sor 法求解一个线性方程组 2、熟悉matlab 语言并结合原理编程求方程组 3、改变ω的值观察实验结果 4、会分析实验结果二、实验题目编制Sor 迭代格式程序进行求解一个线性方程组的迭代计算情况，运行中要选用不同的松弛因子ω进行尝试三、实验原理 Jacobi 迭代和seidel 迭代对具体的线性方程组来说，逼近*x 的速度是固定不变的，遇到收敛很慢的情况时就显得很不实用。 Sor 法是一seidel 迭代为基础，并在迭代中引入参数ω以增加迭代选择的灵活性，具体为： ! 用seidel 迭代算出的,)()1()()1(k k J k k J x x x x x -=?++相减得到差向量与再用参数ω乘之再加上 )1()()()1()1()()()1(++++-=?+=k J k k k k k k x x x x x x x x ωωω，即的下一步迭代作为，由seidel 迭代的公式可以得到Sor 法的迭代格式为 n i x a x a b a x x k j n i j ij k j i j ij i ii k i k i ,2,1),()1()(1)1(11)()1( =--+-=∑∑+=+-=+ω ω 式中ω称为松弛因子。四、实验内容用matlab 编程得到Sor 法求线性方程组的算法为： function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M) if nargin==4

eps= ; M = 200; elseif nargin<4 error return ： elseif nargin ==5 M = 200; end if(w<=0 || w>=2) error; return; end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵（ U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U); f=w*inv((D-L*w))*b; x=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) （

数值计算方法实验3

学院（系）名称：

附录（源程序及运行结果）：一．变步长梯形法 #include #include double f(double x){return 4/(1+x*x);} void main(){ double a,b,h,T1,T2,e,S,x; printf("请输入区间a和b："); scanf("%lf,%lf",&a,&b); printf("精度："); scanf("%lf",&e); h=b-a; T2=h/2*(f(a)+f(b)); do{ T1=T2; S=0; x=a+h/2; do{ S=S+f(x); x=x+h; }while(x=e); printf("用变步长梯形法输出T2：%lf\n",T2); } 运行结果：二．龙贝格积分法 #include #include double f(double x){return sin(x);} void main(){ double a,b,h,T1,T2=1,e,S,S1,S2=1,x,C1,C2,R1=0,R2=1; printf("请输入区间a和b："); scanf("%lf,%lf",&a,&b); printf("精度："); scanf("%lf",&e); h=2*(b-a); T2=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); int k=0; while(fabs(R2-R1)>=e){ k=k+1; h=h/2; T1=T2; S1=S2; S=0; x=a+h/2; do{S=S+f(x); x=x+h; }while(x