劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法

邢台学院物理系

《自动控制理论》

课程设计报告书

设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进

措施

专业：自动化

班级：＿

学生姓名:

学号: 4

指导教师：

2013年3月24日

邢台学院物理系课程设计任务书

专业：自动化班级：

2013 年 3 月 24 日

摘要

劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。劳斯判据，这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。

劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。

本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。

关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性

目录

1 劳斯稳定判据

1.1 劳斯稳定判据原理

1.2 实际例题分析

1.3 全零行与临界稳定

2 结构性不稳定系统的改进措施

2.1 改变环节的积分性质

2.2 加入比例微分环节

3 总结及体会

参考文献

1 劳斯判据

1.1 劳斯判据原理

劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。

根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。

c c

a a c c c c a a c c c c a a c c s a a

a a a c a a a a a c a a a a a c s a

a

a s a a a s n n n n 13

4317133413

33

15132413

23

1313143

1

7061331

5

041231

3

0211325311420-=-=-=-=-=-=---

若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。否则系统为不稳定或临界稳定，实际上临界稳定也属于不稳定。劳斯表中第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。

1.2 实际例题分析

例题1：某系统的特征方程为：0100s 24s 8s )s (D 23=+++=，判断系统稳定性。 解：系统的特征方程为 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= 劳斯表： s 3 1 24

s 2 8 100 s 1 92 s 0

100

第一列同号，所以系统稳定。

例题2：设闭环系统传递函数为5

4322017123)(2

34523++++++++=s s s s s s s s s G ，判定该系统是否稳定。

解：系统特征方程为054322345=+++++s s s s s 劳斯表 ： s 5 1 1 4

s 3 －0.5 1.5 0 s 2 9 5 0 s 1 16／9 0 0 s 0 5 0 0

第一列元素中出现负数，系统不稳定

例题3：某反馈控制系统的特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 试确定使该闭环系统稳定的K 值。

解：系统特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 劳斯表 ： s 3 1 2k+3 s 2 5k 10

s 1 2

232

k k k +- 0

s 0 10 0 解得K>0.5

1.3全零行与临界稳定

1） 劳斯表第一列中出现系数为零，而其余系数不全为零

用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表 。如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。

例题：某系统特征方程为： 判定该系统是否稳定。如不稳定，求不稳定根的个数。

解：系统特征方程为: 0122234=++++s s s s 0

122234=++++s s s s

s 3 2 2 0 s 2 0（ε） 1 0

s 1 2ε-2

ε 0 0

s 0 1 0 0

系统不稳定，有两个位于S 右半平面的根。

2）劳斯表某行系数全为零的情况。

表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。

表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现：

1）大小相等，符号相反的一对实根； 2）一对共轭纯虚根；

3）对称于虚轴的两对共轭复根；

例题：某系统的特征方程为： 判断系统稳定性。

解：系统特征方程为: 劳斯表 ： s 5 1 3 －4 s 4 1 3 －4 s 3 0 0 0 s 2 25 0 0

-∞

=-

→ε

ε2

2lim 0

+

-

-

+

→--→1

2

2,2

2εεε044332345=--+++s s s s s 044332345=--+++s s s s s

s 0 －8 0 0

构造辅助方程43)(24-+=s s s A 对A(s)求导

s s ds

s dA 64)

(3+= 由劳斯表可知有一个特征根在S 的右半平面，系统属于临界稳定，即不稳定。

2. 结构性不稳定系统的改进措施

如果无论怎样调整系统的参数，也无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。如图3-17所示的系统。

闭环传递函数为

特征方程式为

=0

根据劳斯判据，由于方程中s 一次项的系数为零，故无论K 取何值，该方程总是有根不在s 左半平面，即系统总是不稳定。这类系统称为结构不稳定系统。解决这个问题的办法一般有以下两种：

2.1 改变环节的积分性质

可用比例反馈来包围有积分作用的环节。例如，在积分环节外面加单位负反

馈，见图3-18，这时，环节的传递函数变为

从而使原来的积分环节变成了惯性环节。图3-17所示系统中的一个积分环节加上

单位负反馈后，系统开环传递函数变成为系统的闭环传递函数为

特征方程式：

劳斯表： s3 T 1 s2 1+T K

s1 1

1

T TK

T +-

+

s0 K

根据劳斯判据，系统稳定的条件为,即

所以，K的取值范围为

可见，此时只要适当选取K值就可使系统稳定。

2.2. 加入比例微分环节

如图3-19所示，在前述结构不稳定系统的前向通道中加入比例微分环节，系

统的闭环传递函数变为

劳斯表： s3 T Kτ

s2 1 K

s1 K(τ－T)

s0 K

系统的稳定条件为,即

可见，此时只要适当选取系统参数，便可使系统稳定。

三、总结及体会

稳定性是对控制系统的最基本要求，稳定性完全取决于系统本身的结构和参数。线性系统稳定的充分必要条件是其特征方程根全部位于s平面左半平面上。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。判断系统是否稳定通常采用系统稳定性判据，其中劳斯判据就是最常采用的一种稳定性判据。劳斯判据是根据系统特征方程系数构成的劳斯阵列来判断系统稳定性的。劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。

物理中所用到的系统模式很多，然后系统稳定性判据的主要意义在于能够在判断的基础上对不稳定系统进行改进，使其变成稳定性系统，最终到达进行操作系统的目的。

参考文献

[1] 黄坚. 自动控制原理. 科学出版社, 2007

[2] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社, 2007

[3] 广西物理报期刊. 2010

[4] 张静.MATLAB在控制系统中的应用. 北京：电子工业出版社. 2007

课程设计成绩评定表

指导教师签名：年月日