高中数学常用导数

这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：

1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】

2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】

3.指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】

4.对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】

5.三角函数

(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx

(2)余弦函数y=（cosx）y'=-sinx

(3)正切函数y=(tanx）y'=1/(cosx)^2

(4)余切函数y=（cotx）y'=-1/(sinx)^2

6.反三角函数

(1)反正弦函数y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2

(2)反余弦函数y=（arccosx）y'=-1/√1-x^2

(3)反正切函数y=（arctanx）y'=1/(1+x^2)

(4)反余切函数y=（arccotx）y'=-1/(1+x^2)

口诀

为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：

常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式

推导

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

2. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'.

3. 复合函数的导数：

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

4. 积分号下的求导法则：

d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)]

证明

基本初等函数求导公式的证明：

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

2．这个公式的证明过程见右图。

3．y=a^x,

Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。

所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0时，(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时，1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入limΔx→0时，Δy/Δx=limΔx→0时，a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

4．y=logax

Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有

limΔx→0Δy/Δx=logae/x。

也可以进一步用换底公式

limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx

Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)

所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。

7．y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/(cosx)^2=[(cosx)^2+(sinx)^2]/(cosx)^2=1/(cosx)^2 8．y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/(sinx)^2=-1/(sinx)^2

9．y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10．y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-(cosy)^2=-1/√1-x^2

11．y=arctanx

x=tany

x'=1/(cosy)^2

y'=1/x'=(cosy)^2=1/(secy)^2=1/[1+(tanx)^2]=1/(1+x^2)

12．y=arccotx

x=coty

x'=-1/(siny)^2

y'=1/x'=-(siny)^2=-1/(cscy)^2=-1/[1+(coty)^2]=-1/(1+x^2)