向量法求空间角(高二数学-立体几何)

D P

向量法求空间角

1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，

DP AQ AB 2

==．

（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；

（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．

2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为

．

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；

（2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；

（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE//AB ,△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB ,且F 是CD 的中点.

（1）求证:AF//平面BCE ;

（2）求证:平面BCE ⊥平面CDE ;

（3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小. 4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为正方形,G F E PD AD ,,,2==分别为CB PD PC ,,的中点．（1）求证://AP 平面EFG ;

（2）求平面GEF 和平面DEF 的夹角.

5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为

,求锐二面角

C O

H P

D C

1A A C B --的大小.

6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA

PD ，2AD PD EA ==，

F ，

G ，

H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．

（1）求证：FG

平面PED ；

（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

参考答案

1．（1）详见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA ，DP ，

DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立

空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，

)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，则可表示出),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a -=，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0=?，0=?，故⊥，⊥，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，

其中由于⊥DC 平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n

；设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=?QB n ，02=?QC n

，故

?=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即???=+--=+-,

0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n

，转化为两个法向量的夹角，设1n 与2n 的夹角为θ，则22

1||||cos 2121=

=?=n n n n

θ．即可求出平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.

试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所

在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=，因为0=?，0=?，故⊥，⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，又DC DQ D =

所以，⊥PQ 平面DCQ ．

（2）因为⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n

，

点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a -=，),,(a a a --=，

设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=?QB n ，02=?n

，故??

?=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即???=+--=+-,0,

0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，

故)1,1,0(2=n

．

设1n 与2n 的夹角为θ，则222

1||||cos 2121=

=?=n n n n

θ．所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为

考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系 2．（1）60?; （2）

2; （3）F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置. 【解析】试题分析：（1）取AD 中点M ，连接MO ，PM ，由正四棱锥的性质知∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角，∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角∴tan ∠PAO ＝26

，设AB ＝a ，则AO

＝22a ，PO ＝23

a ，MO=12a

, tan ∠PMO ＝3,∠PMO ＝60°; （2）依题意连结AE ，OE ，

则OE ∥PD ，故∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角，由正四棱锥的性质易证OA ⊥平面POB,故AOE ?为直角三角形，OE ＝21

PD ＝2

2DO PO +＝45a ∴tan ∠AEO ＝EO AO

＝

5102；（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ，易得BC ⊥平面PMN ，故平面

PMN ⊥平面PBC ，而△PMN 为正三角形，易证MG ⊥平面PBC ，取MA 的中点F,连EF,则四边形MFEG 为平行四边形，从而MG//FE,EF ⊥平面PBC,F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置.

试题解析：（1）取AD 中点M ，连接MO ，PM ，依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角（2分）

D B

C O E