27.2.3 利用三边判定三角形相似定理 同步练习
27.2.3 利用三边判定三角形相似定理
基础训练
知识点1 用三边对应成比例判定两三角形相似
1.若△ABC和△A'B'C'满足下列条件,其中使△ABC与△A'B'C'相似的是( )
A.AB=2 cm,BC=2 cm,AC=3 cm;A'B'=6 cm,B'C'=4 cm,A'C'=6 cm
B.AB=2 cm,BC=3 cm,AC=4 cm;A'B'=3 cm,B'C'=6 cm,A'C'= cm
C.AB=10 cm,BC=AC=8 cm;A'B'= cm,B'C'=A'C'= cm
D.AB=1 cm,BC= cm,AC=3 cm;A'B'= cm,B'C'=2 cm,A'C'= cm
2.如图,有四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的是( )
A.①③
B.①②
C.②③
D.②④
3.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
4.如图所示,在正方形网格上有6个三角
形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.②~⑥中与①相似的是( )
A.②③④
B.③④⑤
C.④⑤⑥
D.②③⑥
知识点2 三边对应成比例定理的应用
5.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,若这两个三角形相似,则△DEF的另两边长可能分别是( )
A.2 cm,3 cm
B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm
6.如图所示,若A,B,C,P,Q,甲,乙,丙,丁都是方格纸中的格点,为使△PQR∽△ABC,则点R应是甲,乙,丙,丁四点中的( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
7.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,则它的另外两边长分别为( )
A.2.5,3
B.,
C.1.6,2.4
D.2.5,3或,或1.6,2.4
8.如图,点A,B,C,D,E,F分别是小正方形的顶点,在△ABC与△DEF中,下列结论成立的是( )
A.∠BAC=∠EDF
B.∠DFE=∠ACB
C.∠ACB=∠EDF
D.这两个三角形中没有相等的角
9.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形三边长分别是3,4及x,那么x的值( )
A.只有1个
B.可以有2个
C.可以有3个
D.有无数个
10.在方格纸中,每个小方格的顶点称为格点,以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形,如图所示的5×5的方格纸中,要作格点△ABC 与△OAB相似(相似比不能为1),则点C的坐标是 .
提升训练
考查角度1 利用全等证三边的比相等判定两三角形相似
11.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC三边上的点,AE=BF=CD.求证:△ABC∽△DEF.
考查角度2 利用相似证三边的比相等判定两三角形相似
12.如图,O为△ABC内一点,点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,求证:△DEF∽△ABC.
考查角度3 利用网格求各边长判定相似三角形
13.如图,网格图中每个方格都是边长为1的正方形,若A,B,C,D,E,F 都是格点,试说明△ABC∽△DEF.
考查角度4 利用相似三角形的性质解决实际应用问题(分类讨论思想) 14.一个钢筋三脚架边长分别是20 cm,50 cm,60 cm,现在要做一个与
其相似的钢筋三脚架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,有几种不同的截法?
15.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)证明△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似并予以证明.
探究培优
拔尖角度1 利用相似三角形的判定解坐标系中有关相似的问题
16.如图,在平面直角坐标系
中,A(1,0),B(3,0),C(0,3),D(2,-1),P(2,2).
(1)△ABC与△ADP相似吗?说明理由;
(2)在图中标出点D关于y轴的对称点D',连接AD',CD',判断△ACD'的形状,并说明理由;
(3)求∠OCA+∠OCD的度数.
拔尖角度2 利用相似三角形解与二次函数综合问题
17.如图所示,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),E(3,0),与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似?若相似,请给予说明;若不相似,请说明理由.
参考答案
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
解：当直角边长为6,8,且另一个与它相似的直角三角形中3,4也为直角边时,x的值为5;当8,4为对应边的长且为两直角三角形的斜边长时,x的值为,故x的值可以为5或.
10.错解1:(4,4);错解2:(5,2)
诊断:解此题的关键是找出C点位置,有的同学往往会因考虑不周而漏掉其中一种情况.
正解:(4,4)或(5,2)
11.证明:∵△ABC是等边三角形,AE=BF=CD,
∴BE=CF=AD,∠A=∠B=∠C.
∴△ADE≌△BEF≌△CFD.
∴EF=FD=ED,即△DEF是等边三角形.
又∵△ABC是等边三角形,
∴△ABC∽△DEF.
12.证明:由三角形的中位线定理得,===,
∴△DEF∽△ABC.
13.解:因为AC=,BC=,AB=4,DF=2,EF=2,DE=8,所以=, =,=,
所以==,所以△ABC∽△DEF.
解：利用勾股定理先求出两个三角形各边的长,然后求出对应边的比,再判断是否相似.
14.解:由题意,易知应从长为50 cm的钢筋上截下两段,设一段长为x cm,另一段长为y cm,则:
①==,∴x=12,y=36,x+y=48<50,符合题意;
②==,∴x=10,y=25,x+y=35<50,符合题意;
③==,∴x=75,y=90,x+y=165>50,不合题意.
综上所述,共有两种不同的截法.
15.(1)证明:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,
显然有AB2+AC2=BC2,
根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.
(2)解:△ABC和△DEF相似.
理由如下:根据勾股定理,得
AB=2,AC=,BC=5,DE=4,DF=2,EF=2.
∴===,
∴△ABC∽△DEF.
(3)解:如图,连接P2P5,P2P4,P4P5,则△P2P4P5符合要求.
证明:∵P2P5=,P2P4=,P4P5=2,AB=2,AC=,BC=5,
∴===,
∴△ABC∽△P4P5P2.
16.解:(1)△ABC∽△ADP.
理由:∵AD=,AB=2,AP=,AC=,PD=3,BC=3,∴===.∴△ABC∽△ADP.
(2)如图所示.△ACD'是等腰直角三角形.
理由:∵AD'=,AC=,D'C=2,
∴AD'=AC,AD'2+AC2=()2+()2=20=D'C2,
∴△ACD'是等腰直角三角形.
(3)∵点D与点D'关于y轴对称,∴∠OCD=∠OCD',
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA+∠OCD'=∠ACD'=45°.
17.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
把A,B,E三点的坐标分别代入,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)相似.由(1)可求出点D坐标为(1,4),易求出
OA=1,OB=3,AB=,BD=,BE=3,DE=2,∴===,∴△AOB∽△DBE.