大学物理(上)试题2
《大学物理AI 》作业 电势
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题：（用“T ”和“F ”表示）
[ F ] 1．静电场中电场场强大的地方，电势就高。
解：电场强度为电势梯度的负值。场强大，只能说明电势在这区域的空间变化率大，不能说其电势高。
[ T ] 2．静电场中某点的电势能等于将电荷由该点移到势能零点电场力所做的功。 解：已经电势能的定义。
[ F ] 3．静电场中某点电势的数值等于单位试验电荷置于该点时具有的电势能。
解：应该是：静电场中某点电势的数值等于单位试验正电荷置于该点时具有的电势能。 [ T ] 4．静电场中某点电势值的正负取决于电势零点的选取。 解：电势的定义。
[ F ] 5．电场强度为零的空间点电势一定为零。
解：电场强度为电势梯度的负值。场强为0，只能说明电势在这区域的空间变化率为0，即是等势区。
二、选择题：
1．在点电荷 + q 的电场中，若取图中 P 点处为电势零点， 则 M 点的电势为 [
D
]
(A)
a
q
041
πε
(B)
a q
081πε ]
(C) a
q
-041πε
(D)
a q
-081πε
解：根据电势的定义有:a q
a a q r r q r E U a
a
P
M
M 00220821144d d πεπεπε--=??? ??--==
?=??
2．如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R 1、带电荷 Q 1，外球面半径为 R 2、带有电荷 Q 2。设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为 r 处的 P 点的电势 U 为： [
C
]
(A)
r Q Q 2
1041+πε
(B)
)(
41
22
110
R Q R Q +πε (C) )(
412
2
10
R Q r Q +πε
(D)
)(
41
2
110
r Q R Q +πε
解：根据均匀带电球面在其内外产生的电势为：
当
r
Q U R r R Q U R r 004,4,πεπε=
≥=
≤外内，由题意，场点在Q 1 的外部，而在Q 2的内部，所以选C 。
^
3．图中所示为一球对称性静电场的电势分布曲线， r 表示离对称中心的距离．请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的。 [
D
]
(A) 半径为 R 的均匀带负电球面 (B) 半径为 R 的均匀带负电球体 (C) 正点电荷 (D) 负点电荷
解：根据图片分析，该球对称性静电场的电势与r 成反比，且肯定是负电，只有D 符合。
4．质量均为 m ，相距为 r 1 的两个电子，由静止开始在电力作用下(忽略重力作用)运动至相距为 r 2 ，此时每一个电子的速率为
*
[
D
]
(A)
???
?
??-21112r r m ke
(B)
???
?
??-12112r r m ke
(C)
???
?
??-21112r r m ke (D)
????
??-2111r r m k e
解：对于两个电子组成的系统，不受外力作用。内力只有静电力(保守力)做功，有功能关系：势能减少量变为动能，设二者相距r 2时，各自速率为v 则：
)11(02
1
2)11(
442
122122
021
02r r m k e
v mv r r ke r e r e -=-?=-=-
πεπε
5．如图所示，半径为 R 的均匀带电球面，总电荷为 Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为 r 的 P 点处的电场强度的大小和电势为： [
B
]
(A)
0=E ，r
Q
U 041πε=
(B) 0=E ，R
Q
U 041πε=
(C) 2041
r Q E πε=
，r
Q
U 041πε=
(D) 2041
r Q E πε=
，
R Q
U 041πε=
解：均匀带电球面在其内部的电场分布为：R r E <=，0；电势分布为：
R r R Q
U <=
,410πε，所以选B 。
~
三、填空题:
1．一半径为R 的绝缘实心球体，非均匀带电，电荷体密度为r /0ρρ= (r 为离球心的距离，0ρ为常量)。设无限远处为电势零点。则球外(r ＞R )各点的电势分布为U ＝_________。 解：在非均匀带电绝缘实心球体内作一半径为r ’厚度为d r ’的同心薄球壳，如图所示，则由均匀带电球面外电势分布有：
P 点电势
r R r r r r r q
U R
p R 02
000200
024'd '4'/4d ερπεπρπε=
?==??
2．把一个均匀带有电荷+Q 的球形肥皂泡由半径r 1吹胀到r 2，则半径为R (r 1＜R ＜r 2)的球面上任一点的场强大小E 由 E=Q / (40R 2)
变为 0 ；电势U 由 _Q / (40R )
____变为___Q / (4
0r 2) (选无穷远处为电势零点)。
解：肥皂泡由半径r 1吹胀到r 2的过程，始终保持球对称性，故选取同心球面为高斯面，由高斯定理得：
半径为R (r 1＜R ＜r 2)的球面上任一点P 的场强大小E=Q / (4
0R 2)（r 1＜r ＜R ） 变为E=0（R ＜r ＜r 2）
;
选无穷远处为电势零点 ，由均匀带电球面内、外电势分布得电势将由
Q
/
(40R ) （r 1＜r ＜R ）变为Q / (40r 2) （R ＜r ＜r 2）
3．如图，在点电荷 q 的电场中，选取以 q 为中心、 R 为半径的球面上一点 P 处为电势零点，则与点电荷 q 距离为 r 的 P' 点的电势为
??
?
??-πR r q 1140ε 。 解：由电势定义式有P'点的电势
…
??
?
??-π=
=?=
?
?
'
R r q r r
q r E U R
r
P
P 114d 4d 02
0επε
4．如图，真空中有一点电荷Q 位于半径为R 的圆环中心，设无限远处为电势零点，若将一带电量为q 的点电荷从a 点沿半径为R 的环形路径移动到b 点，则电场力的功为_____0____。
解：因电场力是保守力，做功与路径无关。根据功的定义，试验电荷q 从a 点沿半圆弧轨道运动到b 点电场力的功
0)(d d =-=?=?=???
b a ab
ab
U U q l E q l F A
，因a 、b 两点电势相等
R
O b
a
1
r 2
r r
R
P
O 高斯面
5．如图一半径为R 的均匀带电圆环，带电量为Q ，水平放置。在圆环轴线的上方离圆心为R 的A 点处有一电子，当电子从静止下
落
到
圆
心
位
置
时
，
它
的
速
度
为
)2
1
1(220--
=R m qQ gR v επ。
解：典型均匀带电圆环在起点A 和终点O 的电势分别为：
R
Q U A 240?=
πε，R
Q U 004πε=
由功能原理有： 20021
24)21()(mv mgR R
qQ mgR U U q A A =+-=
+--=πε
~
由以上各式可以解出速度： )2
1
1(220--
=R m qQ gR v επ
四、计算题:
1．一“无限大”带负电荷的平面，电荷面密度为-（为一正的常数），若设平面所在处为电势零点，取x 轴垂直带电平面，原点在带电平面处，求其周围空间各点电势U 随距离平面的位置坐标x 变化的函数关系，并画出函数关系曲线。
解：
此无限大带负电的平面在其两侧产生的是均匀电场：
00
2,02,0εσ
εσ=
<-
=>E x E x 根据电势的定义式子，场强积分法来算电势，选无限大带电平面为电势零点，沿x 轴积分。
R
R Q
A O
00
000
2d 2d ,02d 2d ,0εσεσεσεσx
x x E U x x
x x E U x x
x
x x
x x -==
=<=
-==>????
》
2．一半径为R 的球形带电体，其电荷体密度为=Ar (r ≤R )，式中A 为
常量。试求：
(1) 球体内、外各点场强大小分布；
(2) 选球心处为电势零点，计算球体内、外各点的电势分布。
解：（1） 虽然电荷不是均匀分布，但电场的球对称性并未被破坏，因而我们选如图所示同心球面为高斯面。
24d επ∑?=
?=?内
S S
q
r E S E
由于电荷非均匀分布，当计算高斯面所包围的电量的代数和时，需用微元分析法，如图所示;
'd '4d 2r r q πρ?=
4
3024
30
2
'd '4'd '4','d '4'd '4', r A r r A r r Ar q R r R A r r A r r Ar q R r r
r R
R ππππππ==?=<==?=>??∑??∑
￥
带入高斯定理，得：
2
204
4,4, εεAr E R r r AR E R r =
<=
>内外，方向沿径向向外。
（2）求电势分布，以球心为电势零点，即00=U ，沿径向积分
03002003
0403040
022
040
012d 4d ,3412114d 4d 4d d d , εεεεεεεεAr r Ar r E U R r AR r AR AR R r AR r Ar r r AR r
E r E r E U R r r
r R
R r R
R r
r
-
==?=<-=-??? ??-=+=?+?=?=>???????
内内内外外
3．如图所示长度为L 的均匀带电直线，线电荷密度为，试求带电线的垂直平分线上距离直线为a 的P 点处的电势。 （要用到积分公式：
）
解：将带电直线视为点电荷的集合，x q d d λ= 选0=∞U ，那么
??
?
? ??
-+??? ????
?
? ??++??? ??=+==+=
==?
?--2222ln 44d d 4d 4d 4d d 2
2
2
2
02
22
20
2
2
2
2000L a L L a L a x x
U U a x x
r x r q
U L
L
L
L πελ
πελπελπελπε
a
P