(完整版)高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间

1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的

一个线性函数，已知

f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3

求f (X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

).

解因为f是V上线性函数，所以有

f (ε1)＋ f (ε3)=1

f (ε2)-2 f (ε3)=-1

f (ε1)+f (ε2)=-3

解此方程组可得

f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是

f (X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

).＝X

1

f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)

＝4 X

1

－7 X

2

－3 X

3

2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使

f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1

解设f为所求V上的线性函数，则由题设有

f (ε1)＋ f (ε3)=0

f (ε2)-2 f (ε3)=0

f (ε1)+f (ε2)=1

解此方程组可得

f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1

于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为

a= X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

时，就有

f (a)=f (X

1ε

1

+X

2

ε

2

+X

3

ε

3

)

= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2

)＋X 3 f (ε

3

)

=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε

2

，ε

3

是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令

α1＝ε1－ε

3

，α2＝ε1＋ε

2－ε

3，α3＝ε

2＋ε

3

试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设

（α1，α2，α3）＝（ε1，ε2

，ε

3

）A

由已知，得

A ＝110011111????????-??

因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1-

＝（f1,f2,f3）011112111-??

??-????--??

因此

g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3

4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *

中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。

当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。

若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且

fi(γ)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)

f

1

k+

(γ)＝cb≠0

即证。

5．设α1，α2，…αs是线性空间V中得非零向量，试证：

fi(αi)≠0 (i=1,2…,s)

证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量α，则可定义V*的一个线性函数α**如下：

α**(f)=f(α) (f∈V*)

且α**是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的映射

α→α**

是一个同构映射，又因为α1，α2，…αs是V中的非零向量，所以α1**，α2**，…αs**对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，?f∈V*使

f(αi)＝αi**(f) ≠0 (i=1,2…,s)

即证.

6.设V＝P[x]

3

,对P(x)=C0+C1x+C2x2∈V,定义

f

1(p(x))=

1

()

p x dx

?

f

2(p(x))=

2

()

p x dx

?

f

3(p(x))=

1

()

p x dx

-

?

试证f

1， f

2

， f

3

都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使

f 1， f

2

， f

3

是它的对偶基。

证：先证是V上线性函数，即f

1

∈V*，对?g(x),h(x) ∈V, ?k∈P,由定义有

f

1（g(x)＋h(x)）＝

1

(()())

g x h x dx

+

?

＝

1

()

g x dx

?＋10()

h x dx

?

＝f

1

(g(x))+ f

1

(h(x))

f

1(kg(x))=

1

()

kg x dx

?=k10()

g x dx

?=k f1(g(x))

即证f

1。同理可证f

2

， f

3

∈V*。

再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f

1， f

2

， f

3

是它的对偶基。若记

P1(x)= C0+C1x+C2x2则由定义可得

f

1(p(x))=

1

()

p x dx

?＝C0+1

2

C1+

1

3

C2=1

f

2(p(x))=

2

()

p x dx

?=2C0+2C1+8

3

C2=0

f

3(p(x))=

1

()

p x dx

-

?=-C0+1

2

C1-

1

3

C2=0

解此方程组得

C0=C1=1,C2=-3 2

故

P1(x)=1+x-3

2

x2

同理可得

p2(x)=- 1

6

+

1

2

x2

p3(x)= -1

3

+x-

1

2

x2

7.设V是个n维线性空间，它得内积为（α，β），对V中确定得向量α，定义V上的一个函数α*：

α*（β）=（α，β）

1）证明α*是V上的线性函数

2）证明V到V*的映射是V到V*的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。）

3）证：1）先证明α*是V上的线性函数，即α*∈V*，对?β1，β2∈V，

?k∈P，由定义有：

α*（β1＋β2）＝（α，β1＋β2）

＝（α，β1）＋（α，β2）

＝α*（β1）＋α*（β2）

α*（kβ1）=（α，kβ1）=k（α，β1）=kα*（β1）故α*是V上的线性函数。

2）设ε

1

，

ε

2

…

ε

n

是V的一组标准正交基，且对?β∈V由定义

ε

i *（β）＝（ε

i

β）(i=1,2…,n)

知

ε

i *（ε

j

）＝（

ε

i

，

ε

j

）＝

1,

0,

i j

i j

=

?

?

≠

?

于是ε

1

*，ε

2

*…ε

n

*是ε

1

，

ε

2

…

ε

n

的对偶基，从而V到V*的映射是V与V*

中两基间的一个双射因此它也是V到V*的一个同构映射

8．设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。

1）证明，对V上现行函数f，f A仍是V上的线性函数；

2）定义V*到自身的映射为f→f A证明A*是V*上的线性变换；

3）设ε

1

，

ε

2

…

ε

n

是V的一组基，f

1

， f

2

， f

n

是它的对偶基，并设A在ε1，ε2…

ε

n 的矩阵为A。证明：A*在f

1

， f

2

，… f

n

下的矩阵为A′。

证：1）对?α∈V，由定义知（f A）（α）＝f（A（α））是数域P中唯一确定的元，所以f A是V到P的一个映射。

又因为?α，β∈V，?k∈P,有（f A）（α＋β）＝f（A（α＋β））

＝f（A（α）＋A（β））

＝（f A）（α）＋（f A）（β）

（f A）（kα）＝f（A（kα））=f（k A（α））

=k f（A（α））=k（f A）（α）所以f A是V上线性函数。

2）对?f∈V*，有A*（f）= f A∈V*,故A*是V*上的线性变换。

3）由题设知

A（ε1，ε2…εn）＝（ε1，ε2…εn）A

设A*（f

1， f

2

，… f

n

）＝（f

1

， f

2

，… f

n

）B

其中A=(a

ij )

n n?

,B=(b

ij

)

n n?

,且f

1

， f

2

，… f

n

是

ε

1

，

ε

2

…

ε

n

的对偶基，于是

f

j A＝A*（f

j

），所以a

ji

= b

ij

(i,j=1,2,…n),即证A*在f

1

， f

2

，… f

n

下的矩阵为B=A′.

9.设V是数域P上的一个线性空间，f

1， f

2

，… f

n

是V上的n个线性函数。

1）证明：下列集合

W＝{α∈V︱f i(α)=0(1≤i≤n)}

是V的一个子空间，W成为线性函数f

1， f

2

，… f

n

的零化子空间；

2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。

证：1）因为f

1， f

2

，… f

n

是V上的n个线性函数，所以f∈V*(1≤i≤n)，

且f

i

(0)=0(i=1,2,…n)，因而0∈W，即证W非空。

又因为?α，β∈V，?λ∈P，有

f

i

(α＋β)＝f i(α)＋f i(β)＝0 (i=1,2,…n)

f

i

(λα)＝λ f i(α)＝0

所以α＋β∈W，λα∈W，即证W是V的一个子空间。

2）设W

1是V的任一子空间，且dim（W

1

）＝m,则当m＝n时，只要取f为V的零函数

，就有

W

1

＝V＝{α∈V ︱f (α)=0}

所以W

1

是f的零化子空间。

当m

1

，

ε

2

…

ε

m

为W

1

的一组基，将其扩充为V的一组基

ε

1

，

ε

2

…

ε

m ，

ε

1

m+

，…

ε

n

，并取这组基的对偶基f

1

， f

2

，… f

n

的后n-m个线性函数

f

1 m+,f

2

m+

,…,f

n

,则

W

1

=V={α∈V︱f i(α)=0(m+1≤i≤n)}

即W

1是f

1

m+

,f

2

m+

,…,f

n

的零化子空间，事实上，若令

U

1

＝{α∈V︱f i(α)=0(m+1≤i≤n)}

则对?α＝a1ε1+a2ε2+…+a mεm∈W1,有

f

1

m+

(α)= f2m+(α)=…=f n(α)=0

因而α∈U1，即W1? U1。

反之，?β＝b1ε1+b2ε2+…+b mεm+b1m+ε1m++…b nεn∈U1，

由f

1

m+

(α)= f2m+(α)=…=f n(α)=0，可得b1m+＝b2m+=…=b n=0,因而β＝

b 1ε

1

+b

2

ε

2

+…+b

m

ε

m

+b

1

m+

ε

1

m+

+…b

n

ε

n

∈W

1

，即U

1

?W

1

，故U

1

＝W

1

。10．设A是数域P上的一个m极矩阵，定义P m n+上的一个二元函数

f(X,Y)=tr(X′AY) (X,Y∈P m n+)

1)证明f(X,Y)是P m n+上的双线性函数；

2)求f(X,Y)在基E

11

,E

12

,…,E

1n

,E

21

,…,E

2n

,…,E

1

m

,E

2

m

,…,E

mn

下的度量矩阵。

证：1）先证f(X,Y)是P m n+上的双线性函数，对?X,Y,Z∈P m n+,?k1,k2∈P

由定义有

f (X, k

1

Y+ k

2

,Z)=tr(X′A(k

1

Y+ k

2

Z))

= k

1

tr(X′AY)+ k

2

tr(X′AZ)

= k

1

f(X,Y) + k

2

f(Y,Z)

因而f(X,Y)是P m n+上的双线性函数。

2）由E'

ij

AE

ks

＝a

ik

E

js

知

f (E

ij

, E

ks

)=tr(E'

ij

AE

ks

)=tr(a

ik

E

js

)

=

,

0,

ik

a j s

j s

=

?

?

≠

?

以下设f(X,Y)在基E

11

,E

12

,…,E

1n

,E

21

,…,E

2n

,…,E

1

m

,E

2

m

,…,E

mn

下的度量矩阵为B，则

B=

11121

21222

12

m

m m m mm

a E a E a E a E a E a E

a E a E a E ?? ? ? ? ???

L

L

M M O M

L

其中，E为n阶单位矩阵。

11．在P4中定义一个双线性函数f(X,Y),对

X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)∈P4有

f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y3

1)给定P4的一组基

ε

1＝（1，－2，－1，0），

ε

2

＝（1，－1，1，0）

ε

3＝（－1，2，1，1），

ε

4

＝（－1，－1，0，1）

求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵；

2）另取一组基η1，η2，η3，η4，且

（η1，η2，η3，η4）＝（ε1，ε2，ε3，ε4）T 其中

T＝

1111 1111 1111 1111?? ?

-- ?

?

-- ?

--

??

求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵。

解1）设f (X,Y)在给定基ε

1

，

ε

2

，

ε

3

，

ε

4

下的度量矩阵为A=(a

ij

)

44?

,则

A＝

47514 1227 011114 154152

--

?? ?--

? ?

-

?

--

??

其中a

ij ＝f (

ε

i

,εj).

3)设f (X,Y)在给定基η1，η2，η3，η4下的度量矩阵为B,则由

（η1，η2，η3，η4）＝（ε1，ε2，ε3，ε4）T 可得

B=T′A T=

646824 18261672

23800 15400 -

?? ?--

? ?--

???

12.设V是复数域上的线性空间，其维数n>=2,f (,αβ)是V上的一个对称双线性函数。

1）证明V中有非零向量ξ使f (ξ，ξ)＝0

2）如果f (,αβ)是非退化的，则必有线性无关的向量ξ，η满足

f (ξ，η)＝1

f (ξ，ξ)＝f (η，η)＝0

证1）设α1，α2…αn为复数域上N维线性空间V的一组基，f (,αβ)是V上的对称双线性函数，则f (,αβ)关于基α1，α2…αn的度量矩阵A为对称矩阵，于是，存在非退化的矩阵T，使

T′AT=

00

r

E

??

?

??

=B

若令（ε

1

，

ε

2

，

ε

3

，…

ε

n

）＝（α1，α2…αn）T

则ε

1

，

ε

2

，

ε

3

，…

ε

n

也是V的一组基，且f (,αβ)关于基ε1，ε2，ε3，…εn

的度量矩阵为B，因此

?ξ＝X

1ε

1

+ X

2

ε

2

+…X

n

ε

n

,η= Y1ε1+ Y2ε2+…Y nεn∈V,有

f(ξ,η)=X1 Y1+ X2 Y2+…+X r Y r

f(ξ,ξ)=X21+X22+…+X2r (0≤r≤n)

故而

当r=0时，对V中任一非零向量ξ，恒有f(ξ,ξ)=0；

当r=1时，只要取ξ＝ε2≠0，就有f(ξ,ξ)=0；

当r≥2时，只要取ξ＝iε1+ε2≠0，就有f(ξ,ξ)=0；2)如果f (,αβ)是非退化的，则f(ξ,η)=X1 Y1+ X2 Y2+…+X n Y n 因而只要取

ξ

ε

1ε

2，ηε

1ε

2

就有

f(ξ,η)=

）2））＝1 f(ξ,ξ)=

）22＝0 f(η,η)=

）22＝0 即证。

13．试证：线性空间V 上双线性函数f (,αβ)是反对称的充要条件是：对任意的α∈V ，都有

f(,αα)=0

证：必要性。因为f (,αβ)是反对称的，所以?α∈V ，恒有 f(,αα)=－f(,αα) 故f(,αα)=0

充分性。因为f (,αβ)是双线性函数，所以?,αβ∈V ，有 f (α+β,α+β)=f(,αα)=f(β,β)=0 故 f (,αβ)＝－f(β,α) 即 f (,αβ)是反对称的。

14．设f (,αβ)是V 上对称或反对称的双线性函数，,αβ是V 中的两个向量，若 f (,αβ)＝0，则称,αβ正交，再设K 是V 的一个真自空间，证明：对ξ?K 必有 0≠

η∈K+L(ξ) 使f(η,α)＝0对所有α∈K 都成立

证明 ：1）先证f (,αβ)是对称的双线性函数的情形。

因为K 是V 的子空间，所以f (,αβ)是K 上的对称双线性函数，设dim （K ）＝r 则f (,αβ)关于K 的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，必存在K 的一组基α1，

α2…αr ，使f (,αβ)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵

D ＝diag(d 1,d 2, …d ) 只要令 η＝

11(,)f d ξαα1＋22

(,)

f d ξαα2＋…

(,)

r r

f d ξααr －ξ 且当d i =0(1≤i ≤r)时，就删除d i 相应的项，则0≠η∈K+L(ξ)，于是对任意α∈K,恒有

f(η,α)＝0 2）再证f (,αβ)是反对称双线性函数的情形，

首先，若对给定ξ?K ，若存在β∈K ，使f(ξ,β)=0,则可令ε1＝ξ，ε1

-＝λβ，使得

f(εi ，ε

i

-)=1.又因为K+L(ξ)是V 的子空间，所以f (,αβ)也是K+L(ξ)上的反对称双线

性函数，于是可将εi ，ε

i

-扩充为K+L(ξ)的一组基：

ε1，ε1

-，ε

2

，ε

2

-，…ε

r

，ε

r

-，η1，η2…ηs

使

(,)1(1,2,...)(,)0(0)(,)0((),1,2,...)

i i i j k f i r f i j f k L k r εεεεαηαξ-==?

?

=+≠??=∈+=?

故而

当s ≠0时，只要取η＝η1，则对?α∈K ，恒有f(η,α)=0; 当s=0时，只要取η＝ε1，则由ξ＝ε1，K=L(ε1，ε1

-，ε

2

，ε

2

-，…ε

r

，ε

r

-),

对?α∈K ，也有f(η,α)=0。

其次，若对给定的ξ?K ，，及任意β∈K ，使f(ξ,β)=0,则只要取η＝ξ即可。 15．设V 与f (,αβ)同上题，K 是V 的一个子空间，令 ={}|(,)0,V f K ααββ∈=?∈ 1)试证K ⊥是 V 的子空间（K ⊥

称为K 的正交补）； 2）试证：如果K ∩K ⊥＝{0},则V ＝K ＋K ⊥

证：1）因为?β∈K ，恒有f(0, β)=0,所以0∈K ⊥，即K ⊥

非空。 另一方面，?α1，α

2

∈K ⊥

，?k ∈P, ?β∈K ，有

f(α1+α2,β)=f(α1,β)+f(α2,β)=0 f(kα1,β)=k f(α1,β)=0

故α

1+α

2

， kα

1

∈K⊥，从而K⊥是V的子空间。

2）由于K和K⊥都是V的子空间，知

K+ K⊥?V

不妨设K是V的一个真子空间，?ξ∈V,若ξ∈K，则证毕，若ξ?K，则存在 0≠η∈K+L(ξ)，

使

f(η,α)=0 （?α∈K）

于是η∈K⊥。又因为

η＝β＋kξ (β∈K,k∈P)

显然K ≠0,否则

η＝β＝K∩K⊥＝{0}

从而η＝β＝0，这是不可能的。因此有

ξ＝－1

κ

β＋

1

κ

η∈K+ K⊥

故V ?K+ K⊥。即证。

16．设V，，K同上题，并设f(α,β)限制，试证：

V＝K+ K⊥

的充要条件是f(α,β)在V上是非退化的.

证：必要性。设V＝K+ K⊥，且f(α,β)＝0 （?β∈K）

下证α＝0，设α＝α1+α2，α1∈K，α2∈K⊥，则?β∈K，有0＝f(α,β)＝f(α1+α2,β)＝f(α1,β)＋f(α2,β)

＝f(α1,β)

由于f(α,β)在K 上是非退化的，故α1＝0，从而α＝α

2

∈K ⊥

同理，?γ∈K ⊥，由f(α,γ)＝0可得α∈（K ⊥）⊥，但K ∩ K ⊥＝{0} 因而得知α＝0。

充分性：设α1∈K ∩ K ⊥，若≠0，则只要将α1扩充为一组基α1，α2

，…α

m

由于α1∈K ⊥，因而必有

,()0(1,2,)i j f j m αα==L

于是，?β∈K ，皆有f(α,β)＝0，这与f(α,β)限制在K 上非退化矛盾，所以

α1＝0，也就是K ∩ K ⊥＝{0}

由此即证V= K+ K ⊥.

17.设f(α,β)是N 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，对V 中的一个元素α 定义V *中的一个元素α*

：

α*

（β）＝f(α,β)（β∈V ）

试证：

1）V 到V *

的映射 α→α

*

是一个同构映射。

2）对V 的每组基ε1，ε

2

…ε

n

，有V 的唯一的一组基ε'

1，ε

'2

，

ε

'n

，使f(εi ,ε

'j )＝ij δ

4） 如果V 是复数域上的N 维线性空间，则有一组基1η，2η，…，n η，使 i η＝'

i η (i=1,2…n)

证：1）因为f(α,β)是N 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，所以存在V 的一组基ε1，ε

2

…ε

n

，使

f (εi ,

εj )=,0,i d i j

i j =??≠?

再由V *

的定义作ε

1

*

，ε2

*…ε

n

*∈V *

，设有线性关系

k 1

ε

1

*+k 2

ε

2

*

+…+k n

ε

n

*=0*

则

0＝0*（εi）＝（k1ε1*+k2ε2*+…+k nεn*）（εi）

＝k

1ε

1

*（ε

i

）＋k

2

ε

2

*（ε

i

）+…+k

n

ε

n

*（ε

i

）

＝k

1

f (ε1,εi)+k2 f (ε2,εi)+…+k n f (εn,εi)

=k

i d

i

(i=1,2…n)

但d

i

≠0(i=1,2…n)，故

k

i

=0(i=1,2…n)

这意味着ε

1

*，ε

2

*…ε

n

*线性无关，因而ε

1

*，ε

2

*…ε

n

*为V的一组

基，故V到V*的映射α→α*是一个双映射。

另一方面，?α，β，γ∈V，?k∈P,有

（α＋β）*（γ）＝f (α＋β,γ)＝f (α,γ)＋f (β,γ)

＝α*（γ）＋β*（γ）

(kα)*（γ）= f (kα,γ)=k f (α,γ)=kα*（γ）故V到V*的映射α→α*是一个同构映射。

2）设V*中的线性函数f

1,f

2

,…f

n

是V的基

ε

1

，

ε

2

…

ε

n

的对偶基，于是存在V

的唯一一个向量组α1，α2,…αn，使

α

i *（β）＝f(α

i

,β）= f i (β） (?β∈V,i=1,2,…n)

且

α

i *（ε

j

）＝f(αi,εj）=f i（εj）=

1,

0,ij

i j

i j

δ

=

?

=

?

≠

?

另一方面，设有线性关系

k 1α

1

+ k

2

α

2

+…k

n

α

n

=0

则

0＝f (k

1α

1

+ k

2

α

2

+…k

n

α

n

)(εi)

= k

1

f(α1,εi)+k 2f(α2,εi)+…k n f(αn,εi)

=k i (i=1,2,…n) 故k i =0(i=1,2,…n)。这意味着α1，α2

,…α

n

线性无关，因而α1，α

2

,…α

n

为V 的

一组基。只要令ε'

1＝α1，ε

'2

＝α

2

…，ε

'n

＝α

n

即证。

3）因为V 是复数域上·1的N 维线性空间，f(α,β)是N 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，所以存在V 的一组基1η，2η，…，n η，使f(α,β)在这组基下的度量矩阵为单位矩阵。再由2即可知i η＝'

i η (i=1,2…n)

18．设V 是对于非退化对称双线性函数f(α,β)N 维准欧氏空间，V 的一组基ε1，ε

2

…

ε

n

如果满足

f (εi ,εi )=1 (i=1,2…p)

f (εi ,εi )=-1 (i=p+1,p+2, …,n) f (εi ,ε

j

)=0 (i ≠j)

则称为V 的一组正交基。如果V 上的线性变幻A 满足 f(A (α),A (β))=f(α,β) (α,β∈V) 则A 为V 的一个准正交变换。试证：

1） 准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换； 2） 准正交变换的乘积也是准正交变换 3） 准正交变换的特征值等于1或－1； 4） 准正交变换在正交积上的矩阵A 满足

A 111

1??

? ?

?

?- ? ? ? ?-?

?O O

A ′＝111

1??

? ? ? ?- ? ? ? ?-?

?

O O

证： 1）因为f(α,β)是非退化的对称双线性函数，所以存在V 的一组基ε1，ε2

…

ε

n

，使f(α,β)在该基下的度量矩阵为对角矩阵，设其为

A ＝diag{d 1,d 2,…d n } 其中d i ≠0(i=1,2, …n).

若A 为V 的一个准正交变换，则由定义有

A （V ）＝L(A （ε1）, A （ε2）, …A （ε

n

）)

于是对于线性关系

k 1A （ε1）+k 2 A （ε2）+…+k n A （εn

）=0

有

0＝f (0, A （εi ）)=f (k 1A （ε1）+k 2 A （ε2）

= k 1 f (A （ε1）, A （εi ）)+ k 2 f (A （ε2）, A （εi ）) +…+k n f(A （ε

n

）,

A （εi ）)

= k 1 f (ε1,εi )+k 2 f (ε2,εi )+…+k n f (εn

,εi )

=,1,2,...,,1,...,i i i i k d i p

k d i p n

=??

-=+?

但d i ≠0 (i=1,2, …,n),故k i =0(i=1,2, …,n).这意味着A （ε1），A （ε2），…A （εn

）

线性无关，因而，A （ε1），A （ε2），…A （ε

n

）为A （V ）的一组基，且

dim(A （V ）)=n,有因为V 是有限维的，所以A 是可逆变换。

设A 的逆变换为A 1

-，则A

1

-仍为线性变换，且任意α,β∈V ，有

f (A 1

-(α),A 1

-(β))=f (A A 1

-(α),A A

1

-(β))=f(α,β)

故A

1

-也是准正交变换。

2）设A 1

A 2为V 的两个准正交变换，

则A 2A 1也是V 的一个线性变换，且任意α,β∈V ，有

f (A

2

A 1(α),A 2A 1(β))=f (A 1(α),A 1(β))=f(α,β)

A 2A 1也是准正交变换.

3)因为f(α,β)非退化的对称双线性函数，所以存在V 的一组基ε1，ε2

…ε

n

，使

f (εi ε

j )=,0,i d i j

i j =??≠?

设λ为准正交变换A 的任一特征值，α为其相应的一个特征向量，且

α＝k 1

ε

1+k 2

ε

2

+…+k n

ε

n

则

f (α,α)=f (A (α),A (α))=f (λα,λα)=λ2

f (α,α)

但f (α,α)＝k 2

1d 2

1+k 2

2d 2

2+…k 2

n d 2

n ≠0 所以λ

2

＝1，即证λ＝±1。

5） 设α1，α

2

…，α

n

为N 维准欧氏空间V 的一组正交基，则

f (αi ,αi )＝1 （i=1,2, …p ） f (αi ,αi )＝-1 （i= p+1,p+2, …n ） f (αi ,α

j

)＝0(i ≠j)

若准正交变换A 在基α1，α

2,…α

n

下的矩阵为A ，则 A （α1，α

2

,…α

n

）＝（α1，α

2,…α

n

）A

且有AA ′=P

P E E ??

?-?

?

,从而有 A 111

1??

? ? ?

?- ? ? ? ?-?

?O O

A ′＝111

1??

? ? ? ?- ? ? ? ?-?

?

O O