基于回归分析的人口预测
统计系课程实验论文基于回归分析的人口数量预测学号：05
姓名：李洋
年级：2014级
专业：统计学
课程：回归分析
指导教师：姜喜春
完成日期：2016年6月19日
目录
摘要 .................................................................................................... 错误!未定义书签。前言 .................................................................................................... 错误!未定义书签。第1章一元线性回归 .......................................................................... 错误!未定义书签。
1.1 指标的选择 ............................................................................. 错误!未定义书签。
1.2 样本确定 ................................................................................. 错误!未定义书签。
1.3 一元回归分析 ......................................................................... 错误!未定义书签。
1.3.1 绘制总人口与粮食产量的散点图 ............................ 错误!未定义书签。
1.3.2 设定理论模型 ............................................................ 错误!未定义书签。
1.3.3 回归诊断 .................................................................... 错误!未定义书签。第2章多元线性回归 .......................................................................... 错误!未定义书签。
2.1 数据中心化标准化 ............................................................... 错误!未定义书签。
2.2 多元回归模型建立 ............................................................... 错误!未定义书签。
2.3 逐步回归法 ........................................................................... 错误!未定义书签。
2.4 多重共线性 ......................................................................... 错误!未定义书签。
2.3.1 多重共线性检测 ........................................................ 错误!未定义书签。
2.4 主成分分析 ........................................................................... 错误!未定义书签。
2.4.1 主成分分析模型建立 ................................................ 错误!未定义书签。第3章非线性模型 ............................................................................ 错误!未定义书签。
3.1 曲线回归 ............................................................................... 错误!未定义书签。
3.1.1 曲线拟合 .................................................................... 错误!未定义书签。
3.2 Logistic模型 ......................................................................... 错误!未定义书签。结论 .................................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
回归分析法是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。同时依据事物发展变化的因果关系来预测事物未来的发展走势，它是研究变量间相互关系的一种定量预测方法，又称回归模型预测法或因果法，应用于经济预测、科技预测和企业人力资源的预测等。回归分析可以说是统计学中内容最丰富、应用最广泛的分支。这一点几乎不带夸张。包括最简单的t检验、方差分析也都可以归到线性回归的类别。而卡方检验也完全可以用logistic回归代替。
众多回归的名称张口即来的就有一大片，线性回归、logistic回归、cox回归、poission回归、probit回归等等。
关键词：线性回归；非线性回归；logistic回归
最早的形式回归的方法是最小二乘法，这是在1805年出版的勒让德，和高斯在1809年。勒让德和高斯都采用的方法确定的问题，从天文观测，有关Sun的机构（主要是彗星，但后来也新发现的小行星）的轨道。1821年，高斯发表最小二乘法理论的进一步发展，在包括高斯-马尔可夫定理的一个版本。
弗朗西斯·高尔顿在十九世纪的“回归”是杜撰来描述一种生物现象。这种现象是高度高大的祖先的后代往往倒退下来，对一个正常的平均水平（这种现象也被称为向均值回归）。对高尔顿，，回归只有这个生物意义，Udny圣诞节和皮尔逊但他的工作，后来扩展到更一般的统计范围内。在圣诞节和Pearson，工作的响应和解释变量的联合分布被假定为高斯。这个假设RA费舍尔在1922年和1925年，他的作品被削弱。费舍尔认为的响应变量的条件分布为高斯分布，但联合分布不一定要。
在这方面，费舍尔的假设是高斯1821年制定的。
在20世纪50年代和20世纪60年代，经济学家旧机电台计算器，计算回归。
1970年以前，有时长达24小时接收从一个回归的结果。
回归方法继续是一个活跃的研究领域。在最近的几十年中，新的方法已经制定了稳健回归，回归涉及的相关反应，如时间序列曲线和增长曲线，回归的预测或响应变量的曲线，图片，图表或其他复杂的数据对象，容纳不同的回归方法丢失的数据，非参数回归，贝叶斯方法进行回归，回归的预测变量的测量误差，预测变量的观测回归，回归和因果关系的推论与类型。
第1章一元线性回归
1.1 指标的选择
影响人口增长的主要因素经济因素，经济因素对人口自然增长的作用主要表现在它决定了人口的增殖条件和生存条件，通过改变人口的出生率和死亡率来影响人口的自然增率。一般情况下，当人口数量不能满足经济发展对劳动力的需求时，人口自身的再生产必将会刺激；当人口数量超越了经济发展所能提供的消费总数后，人口自身的再生产必将受到遏制。在现代生产力水平下，人口的自然增长率往往随着经济水平的提高而下降。经济因素对人口机械增长也有重要影响。通常情况下，经济发达或发展速度较快的地区，对人口具有一种吸引力和凝聚力，人口机械增长为正值；相反，经济落后或经济发展速度缓慢的地区，对人口会产生一种排斥力和离散力，人口机械增长一般为负值。与此同时粮食产量、出生率、死亡率，也是影响人口增长的因素。
符号说明：用1x、2x、3x、4x表示粮食产量、GDP、出生率、死亡率。y表示总人口。
1.2 样本确定
通过查阅中国政府网，得到了1980年到2014年各因素的数据。
表1-1 样本数据
1.3 一元回归分析
定义1.1 回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
1.3.1 绘制总人口与粮食产量的散点图
图1-1 粮食产量与总人口散点图
1.3.2 设定理论模型
根据图1-1随着粮食产量的增加，总人口的数量增加，且各样本点大致落在一条直线附近，故可以采用公式：
01y x ββε=++ (1-1) 一元线性回归理论模型，对数据进行一元回归分析。
1.3.3 回归诊断
根据表1-1模型摘要表可以看到，0.909r =，说明以粮食产量为唯一因变量与总人口的拟合程度很高。
根据表1-2系数表，将系数带入公式（1-1）可得出回归模型公式：
用一元回归模型对2014年的总人口进行预测，的到的预测值?142165.8355
y
第2章多元线性回归
定义2.1在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。
2.1 数据中心化标准化
数据中心化和标准化在回归分析中的意义是取消由于量纲不同、自身变异或者数值相差较大所引起的误差。
图2-1 标准化结果
2.2 多元回归模型建立
多元回归模型公式：
对数据进行多元回归分析，结果如图2.2
粮食产量（万
吨）
1.045 .152 .647 6.893 .000 GDP（亿元）-.005 .008 -.078 -.635 .531 出生率（%）-1460.79
8
262.207 -.496 -5.571 .000
死亡率（%）-4060.27
2 3649.70
-.091 -1.112 .275
a. 應變數\: 人口（万人）
根据表2-1可知R=0.972，拟合度高，所以能用该模型进行预测，同时模型的检验P值sig<0.05，说明该模型显著可信；根据表2-3得到多远线性回归方程: 同时，根据方程得到14年总人口预测值?138182.2403
y=，与真实值相差1400.25403
e=.
2.3 逐步回归法
定义2.2 逐步回归法：逐步回归的基本思想是有进有出。具体做法是将变量一个一个的引入，每引入一个变量后，对已引入变量进行逐个检验，当原引入变量因后引入变量变得不显著时，对其进行剔除，保证最后所得的回归子集是最优回归子集。
根据图2.2可知，变量GDP与死亡率未通过显著性检验，因此采用逐步回归的方法对方程进行优化。
: 同时得到2014年总人口的预测值?138506.21662
y=与真实值相差172.21662
e=
对比一般多元回归方法的出的模型预测值与运用了逐步回归后的预测值，发现不用逐步回归的预测值更接近真实值；其原因主要有三方面：
1.我国的人口普查为10年一次，其数据主要也是通过预测的出，所以数据本身
存在较大的误差；
2.在实际问题中，自变量之间通常存在相关性，当相关程度严重时称为多重共线性。自变量之间的多重共线性会对回归产生极大的影响；
3.人口预测不适合采用线性多元回归的方法进行预测。
2.4 多重共线性
定义2.3多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。
多重共线性产生原因：
（1）经济变量相关的共同趋势；
（2）滞后变量的引入；
（3）样本资料的限制。
影响：
（1）完全共线性下参数估计量不存在；
（2）近似共线性下OLS估计量非有效，多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r2)为方差膨胀因子(Variance Inflation Factor, VIF)如果方差膨胀因子值越大，说明共线性越强。相反因为，容许度是方差膨胀因子的倒数，所以，容许度越小，共线性越强。可以这样记忆：容许度代表容许，也就是许可，如果，值越小，代表在数值上越不容许，就是越小，越不要。而共线性是一个负面指标，在分析中都是不希望它出现，将共线性和容许度联系在一起，容许度越小，越不要，实际情况越不好，共线性这个“坏蛋”越强。进一步，方差膨胀因子因为是容许度倒数，所以反过来；
（3）参数估计量经济含义不合理；
（4）变量的显著性检验失去意义，可能将重要的解释变量排除在模型之外；
（5）模型的预测功能失效。变大的方差容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。
2.3.1 多重共线性检测
用SPSS 22.0对数据进行多重共线性检测
（1）特征值有3个接近0，表明存在多重共线性； （2）条件指数有3个>10，表明可能存在多重共线性；
（3）在相关系数矩阵中，死亡率数值接近1可能存在多重共线性；
存在多重共线性的原因，不需要再次剔除变量。得到剔除共线性后的多元线性回归方
程：134?134678.878 1.0121366.2025681.557y
x x x =+-- 2.4 主成分分析
定义2.4 主成分分析（Principal Component Analysis ，PCA ）， 是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。
在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。
主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。主成分分析的主要原理是寻找一个适当的线性变换：
（1）将彼此相关的变量转变为彼此独立的新变量；
（2）方差较大的几个新变量就能综合反应原多个变量所包含的主要信息；
（3）新变量各自带有独特的专业含义。
住成分分析的作用是：
（1）减少指标变量的个数；
（2）决多重相关性问题
2.4.1 主成分分析模型建立
运用SPSS 22.0对数据进行主成分分析
94.18%，所以可以采用前两个变量建立回归模型。
y 万人。
根据回归方程预测出2014年人口?142180.52727
因为：
1.主成分分析中，我们首先应保证所提取的前几个主成分的累计贡献率达到
一个较高的水平（即变量降维后的信息量须保持在一个较高水平上），其次对这些被提取的主成分必须都能够给出符合实际背景和意义的解释（否则主成分将空有信息量而无实际含义）。
2.主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清
楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p（除非p本身较小），否则维数降低的“利”可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊”。
所以预测的结果出现了更大的误差
第3章非线性模型
3.1 曲线回归
定义3.1 非线性回归是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
确定两个变数间数量变化的某种特定的规则或规律；估计表示该种曲线关系特点的一些重要参数，如回归参数、极大值、极小值和渐近值等；为生产预测或试验控制进行内插，或在论据充足时作出理论上的外推。
3.1.1 曲线拟合
对国内总人口的拟合，选取总人口指标为因变量，单位为万人，拟合总人口关于时间t的趋势曲线。以1980年为基准年，取值为1
t=,2014年35
t=。
绘制总人口与变量t的散点图，如图3-1所示。
图3-1 总人口对t的散点图
从散点图可以看到，总人口大致符合三次函数形式，当人口的增长速度大致相同时，其趋势线就是三次函数形式。
图3-2 拟合曲线图
通过观察图3-2，发现三次曲线模型拟合度最好，其次为线性和复合模型，故根据公式：
建立三次曲线模型。
B
標準錯
誤
Beta
时间 1849.094 65.501 1.609 28.230 .000 时间 ** 2 -17.683
4.196
-.571 -4.214
.000
时间 ** 3 -.070 .077 -.076 -.908 .371
（常數）
96103.58
8
276.15
7
348.00
4
.000
根据图表3-1，得到三次函数模型的 1.000R =，说明拟合程度非常好；同时根据表3-2可知，方程整体都通过了显著性检验；根据表3-3可知，不但方程整体通过了显著性检验，每个不同次幂的t 也经过了显著性检验，所以建立的三次方程式完全符合实际情况的。
根据第三个表建立出三次函数方程：
同时得出2014年预测值?136174.94841y
=万人，预测值与真实值相差607.0516e =万人。
预测值与真实值相差程度远小于运用线性多元回归方法、逐步回归法和主成分分析后的预测值与真实值之间的差异，进一步证明建立的三次函数模型符合实际情况。
3.2 Logistic 模型
Logistic 模型增长公式为：
其中t p 为时刻的人口总数，m p 为人口极限规模，e 为自然对数的底，t 为时刻长度，a 、b 为待定参数。
Logistic 模型考虑到人口总数增长的有限性，提出了人口总数增长的规律即随着人口总数的增长，人口增长率逐渐下降，但对于在短期内如30-50年内人口增长可能呈上升趋势如人口生育率上升、死亡率下降等原因而导致人口呈上升趋势。Logistic 模型在应用中对时间长，人口数据变化大，因此误差较大且不稳定。而小城镇人口的变化就存在人口数据变化较大的特点，所以Logistic 模型对小城镇人口的预测并不适合。
用对人口进行Logistic 曲线拟合，运用命令：
x=[2014 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 1989 1988 1987 1986 1985 1984 1983 1982 1981 1980]
y=[136782 136072 135404 134735 134091 133450 132802 132129 131448 130756 129988 129227 128453 127627 126743 125786 124761 123626 122389 121121 119850
118517 117171 115823 114333 112704 111026 109300 107507 105851 104357 103008 101654 100072 98705]
x=x';y=y';
st_ = [2000 127627 1];（在x,y内任意取的数）
ft_ = fittype('a/(1+b*exp(-k*(x-1980)))' ,...
'dependent',{'y'},'independent',{'x'},...
'coefficients',{'a', 'b', 'k'});
cf_ = fit(x,y,ft_ ,'Startpoint',st_)
最后运行出的结果：
cf_ =
General model:
cf_(x) = a/(1+b*exp(-k*(x-1980)))
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 1.217e+005 (1.144e+005, 1.29e+005)
b = 1.176e+005 (-4.741e+009, 4.742e+009)
k = 13.21 (-4.032e+004, 4.035e+004)
根据运行结果，得到Logistic拟合方程：
其中a为人口上线的估计值，因为在1995年人口的实际值就已经超过了预测上限，所以该模型不是和用于预测未来的人口。造成模型不准确的原因主要是数据过少，且人口数据多数来自抽样调查，数据本身存在一定误差。
结论
通过不同的模型建立方法对获得的人口数据建立了多个不同的预测模型；经过对比发现三次曲线模型是最符合实际运用的；导致其他模型不适用的原因主要为：
（1）目前我国的人口出生率低、死亡率低、自然增长率低．这表明我国将进入“低、低、低”现代人口再生产类型的行列；即我国今后的人口数量趋势大致会成为一条水平线。
（2）自20世纪70年代初期大力推行计划生育政策以来，中国人口过快增长的势头得到了有效遏制．由于中国人口基数大，青少年的比重较高，在今后一段较长的时期内，人口总量还将持续增长，在经历高峰期后，人口总数才会呈缓慢下降的趋势；本次分析采用的数据为1980年到2014年，数据受到政策影响较大。
通过对模型趋势线的观测，发现在未来一段的时间内我国的人口都将处于缓慢增加的状态，到2025左右年会达到峰值。
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一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测 多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。 一、参数估计量的置信区间 在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1 ?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次 的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。 即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。 在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值2 αt ，那么t 值处在()2,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即
α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i α ββββαβα-=?+<
回归分析方法
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。 假设对于x 的n 个值i x ，得到 y 的n 个相应的值i y ，确定01ββ，的方法是根据最小二乘准则，要使 取最小值。利用极值必要条件令 01 0,0Q Q ββ??==??，求01ββ，的估计值01??ββ，，从而得到回归直线01 ??y x ββ=+。只不过这个过程可以由软件通过直线拟合完成，而无须进行繁杂的运算。
基于回归分析和弹性系数法的运量预测
基于回归分析和弹性系数法的运量预测 发表时间：2019-03-27T11:18:52.297Z 来源：《基层建设》2018年第35期作者：苏影 [导读] 摘要：运量预测是列车开行方案确定、车流组织、车辆运用计划和列车生产计划编制的基础，也是铁路技术标准、站场布置、通信和信号设计的依据[1]。本文以黑龙江省客运量为基础数据，采用回归分析和弹性系数两种方法进行运量预测。 中铁第五勘察设计院集团有限公司东北分院黑龙江哈尔滨 150000 摘要：运量预测是列车开行方案确定、车流组织、车辆运用计划和列车生产计划编制的基础，也是铁路技术标准、站场布置、通信和信号设计的依据[1]。本文以黑龙江省客运量为基础数据，采用回归分析和弹性系数两种方法进行运量预测。深入分析了回归模型建立、函数拟合、趋势外推等统计方法的计算过程，为统计学方法在设计项目的应用提供参考。 关键词：运量预测；回归分析；趋势外推；弹性系数 1.引言：运量预测是对未来一定时期内经济社会发展对交通运输需求的测算和判定。准确的运量预测对国家资源配置、投资结构调整、工程项目的经济评价、运输组织等具有非常重要的作用。根据预测的对象、层次不同预测可分为客运量预测、货运量预测、全社会运量预测、分行业运量预测。本文主要以地区的全社会客运量预测为案例，但其预测方法也同时适用于分行业的客货运量预测。 2.综述：运量预测是市场预测，属于经济预测的范畴，大多为中长期预测。传统的预测方法按技术特性可分为经验推断法、产销平衡法和经济数学预测法[2]。经验推断法主要根据预测者的经验对未来做出判断，计算简单，应用广泛，主要包括调查法、指标法、弹性系数法等。产销平衡法主要应用于煤炭、矿石、钢铁等大宗品类货物的预测。经济数学法又称数理统计法，主要通过建立模型进行推导运算，对预测者的数学及计算机应用能力有很高要求，主要方法有指数平滑、趋势外推、回归分析、重力模型等。本文主要采用弹性系数、回归分析、趋势外推三种方法。 3.基于回归分析法的客运量预测 3.1回归分析法 回归分析法是利用数据统计原理，对大量统计数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程（函数表达式），并加以外推，用于预测今后的因变量变化的分析方法。根据自变量数量可将回归模型分为一元回归和多元回归。根据回归趋势，可分为线性回归和非线性回归。预测公式为： 由统计数据建立的回归模型是否适用，因变量与自变量间相关性是否密切，需要通过相关性系数R判定。在实际分析中当R>0.7时，称强相关；R=0.3~0.7时，称为相关；R<0.3时，称为弱相关，或可认为不相关。 3.2回归模型建立 客运量是人民出行需求和意愿的数值体现，客运量的大小与地区生产力水平和基础设施的完善程度等均有很大关系。本文以黑龙江省近30年（1987年-2016年）的统计数据为基础，选取国民生产总值（GDP），人均生产总值、人口、固定资产投资为自变量，客运量为因变量，进行回归分析，建立回归模型。回归分析结果如表3-1、3-2、3-3所示： 表3-1 模型摘要 a.因变量：客运量（万人） b.预测值：（常数），全社会固定资产投资（亿元），人口（万人），国民生产总值（亿元） 表3-2 变异数分析 表3-3 模型系数 在建模过程中通过相关性检验将人均生产总值剔除，得到以全社会固定资产投资、人口、国民生产总值为自变量的多元线性回归模型。如表3-1所示，该模型的相关系数为0.865，判定系数为0.748，说明模型有较高的相关性。表3-2为回归方程显著性检验结果，由表可
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释
因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得
你应该要掌握的7种回归分析方法
你应该要掌握的7种回归分析方法 标签：机器学习回归分析 2015-08-24 11:29 4749人阅读评论(0) 收藏举报 分类： 机器学习（5） 目录(?)[+]转载：原文链接：7 Types of Regression Techniques you should know!（译者/刘帝伟审校/刘翔宇、朱正贵责编/周建丁） 什么是回归分析？ 回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。 回归分析是建模和分析数据的重要工具。在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。我会在接下来的部分详细解释这一点。 我们为什么使用回归分析？ 如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。下面，让我们举一个简单的例子来理解它： 比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。 使用回归分析的好处良多。具体如下： 1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；
2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。 回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。 我们有多少种回归技术？ 有各种各样的回归技术用于预测。这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。我们将在下面的部分详细讨论它们。 对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法： 1. Linear Regression线性回归 它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。 线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。 用一个方程式来表示它，即Y=a+b*X + e，其中a表示截距，b表示直线的斜率，e是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量（s）来预测目标变量的值。
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） 目录 [隐藏] ? 1 多元线性回归分析预测法概述 ? 2 多元线性回归的计算模型[1] ? 3 多元线性回归模型的检验[1] ? 4 多元线性回归分析预测法案例分析 o 4.1 案例一:公路客货运输量多元线性回归预测方法探讨[2] ? 5 相关条目 ? 6 参考文献 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：
其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加 一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得 即
回归分析方法及其应用中的例子
3.1.2 虚拟变量的应用 例3.1.2.1：为研究美国住房面积的需求，选用3120户家庭为建模样本，回归模型为： 123log log P Y βββ++logQ= 其中：Q ——3120个样本家庭的年住房面积（平方英尺） 横截面数据 P ——家庭所在地的住房单位价格 Y ——家庭收入 经计算：0.247log 0.96log P Y -+logy=4.17 2 0.371R = （）（） （） 上式中2β=0.247-的价格弹性系数，3β=0.96的收入弹性系数，均符合经济学的常识，即价格上升，住房需求下降，收入上升，住房需求也上升。 但白人家庭与黑人家庭对住房的需求量是不一样的，引进虚拟变量D ： 01i D ?=?? 黑人家庭 白人家庭或其他家庭 模型为：112233log log log log D P D P Y D Y βαβαβα+++++logQ= 例3.1.2.2：某省农业生产资料购买力和农民货币收入数据如下：（单位：十亿元） ①根据上述数据建立一元线性回归方程：
? 1.01610.09357y x =+ 20.8821R = 0.2531y S = 67.3266F = ②带虚拟变量的回归模型，因1979年中国农村政策发生重大变化，引入虚拟变量来反映农村政策的变化。 01i D ?=?? 19791979i i <≥年 年 建立回归方程为： ?0.98550.06920.4945y x D =++ （）（） （） 20.9498R = 0.1751y S = 75.6895F = 虽然上述两个模型都可通过显着性水平检验，但可明显看出带虚拟变量的回归模型其方差解释系数更高，回归的估计误差（y S ）更小，说明模型的拟合程度更高，代表性更好。 3.5.4 岭回归的举例说明 企业为用户提供的服务多种多样，那么在这些服务中哪些因素更为重要，各因素之间的重要性差异到底有多大，这些都是满意度研究需要首先解决的问题。国际上比较流行并被实践所验证，比较科学的方法就是利用回归分析确定客户对不同服务因素的需求程度，具体方法如下： 假设某电信运营商的服务界面包括了A1……Am 共M 个界面，那么各界面对总体服务满意度A 的影响可以通过以A 为因变量，以A1……Am 为自变量的回归分析，得出不同界面服务对总体A 的影响系数，从而确定各服务界面对A 的影响大小。 同样，A1服务界面可能会有A11……A1n 共N 个因素的影响，那么利用上述方法也可以计算出A11……A1n 对A1的不同影响系数，由此确定A1界面中的重要因素。 通过两个层次的分析，我们不仅得出各大服务界面对客户总体满意度影响的大小以及不同服务界面上各因素的影响程度，同时也可综合得出某一界面某一因素对总体满意度的影响大小，由此再结合用户满意度评价、与竞争对手的比较等因素来确定每个界面细分因素在以后工作改进中的轻重缓急、重要性差异等，从而起到事半功倍的作用。 例 3.5.4：对某地移动通信公司的服务满意度研究中，利用回归方法分析各服务界面对总体满意度的影响。 a. 直接进入法 显然，这种方法计算的结果中，C 界面不能通过显着性检验，直接利用分析结果是错误
回归分析方法应用实例
4、回归分析方法应用实例 在制定运动员选材标准时，理论上要求先对不同年龄的运动员，各测试一个较大的样本，然后，计算出各年龄的平均数、标准差，再来制定标准。 但是，在实际工作中，有时某些年龄组不能测到较大的样本。这时能不能使用统计的方法，进行处理呢？ 我们遇到一个实例。测得45名11至18岁男田径运动员的立定三级跳远数据。其各年龄组人数分布如表一。由于受到许多客观因素的限制，一时无法再扩大样本，因此决定使用统计方法进行处理。 第一步，首先用原始数据做散点图，并通过添加趋势线，看数据的变化趋势是否符合随年龄增长而变化的趋势，决定能否使用回归方程制定标准。如果趋势线不符合随年龄增长而变化的趋势，或者相关程度很差就不能用了。 本例作出的散点图如图1，图上用一元回归方法添加趋势线，并计算出年龄和立定三级跳远的： 一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X 相关系数 r＝0.7945（P<0.01） 由于从趋势线可以看出，立定三级跳远的成绩是随年龄增加而逐渐增加，符合青少年的发育特点。而且, 相关系数r＝0.7945，呈高度相关。因此，可以认为计算出的一元回归方程，反映了11至18岁男运动员年龄和立定三级跳远成绩的线性关系。决定用一元回归方程来制定各年龄组的标准。 第二步，用一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X 推算出各年龄的立定三级跳远回归值，作为各年龄组的第2等标准。 第三步，用45人的立定三级跳远数据计算出标准差为：0.8271。由于在正态分布下，如把平均数作为标准约有50%的人可达到标准，用平均数-0.25标准差制定标准则约有60%的人可达到，用平均数+0.25、+0.52、+0.84标准差制定标准约有40%、30%、20%的人可达到标准。本例用各年龄组回归值-0.25标准差、+0.25标准差、+0.52标准差、+0.84标准差计算出1至5等标准如表2、图2。
第15章 SPSS回归分析与市场预测.
第十五章 SPSS回归分析与市场预测 市场营销活动中常常要用到市场预测。市场预测就是运用科学的方法，对影响市场供求变化的诸因素进行调查研究，分析和预见其发展趋势，掌握市场供求变化的规律，为经营决策提供可靠的依据。预测的目的是为了提高管理的科学水平，减少盲目的决策，通过预测来把握经济发展或者未来市场变化的有关动态，减少未来的不确定性，降低决策可能遇到的风险，进而使决策目标得以顺利实现。 回归分析是研究两个变量或多个变量之间因果关系的统计方法。其基本思想是，在相关分析的基础上，对具有相关关系的两个或多个变量之间数量变化的一般关系进行测定，确立一个合适的数学模型，以便从一个已知量来推断另一个未知量。 15.1 回归分析概述 相关回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量在预测期变化结果的预测方法。根据市场现象所存在的相关关系，对它进行定量分析，从而达到对市场现象进行预测的目的，就是相关回归分析市场预测法。 相关回归分析市场预测法的种类：根据相关关系中自变量不同分类，有以下几种主要类型：1、一元相关回归分析市场预测法，也称简单相关回归分析市场预测法。它是用相关回归分析法对一个自变量与一个因变量之间的相关关系进行分析，建立一元回归方程作为预测模型，对市场现象进行预测的方法。2、多元相关回归市场预测法，也称复相关回归分析市场预测法。它是用相关分析法对多个自变量与一个因变量之间的相关关系进行分析，建立多元回归方程作为预测模型，对市场现象进行预测的方法。 回归模型的建立步骤： 1）做出散点图，观察变量间的趋势。如果是多个变量，则还应当做出散点图矩阵、重叠散点图和三维散点图。 2）考察数据的分布，进行必要的预处理。即分析变量的正态性、方差齐等问题。并确定是否可以直接进行线性回归分析。如果进行了变量变换，则应当重新绘制散点图，以确保线性趋势在变换后任然存在。
回归研究分析方法总结全面
回归分析方法总结全面
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一、什么是回归分析 回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。 回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。 二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。 2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析 若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。 若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。 三、回归分析的主要内容 1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。 2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。 3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。 四、一元线性回归分析 1.一元线性回归分析的特点 1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。 2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y 为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图
基于回归分析的人口预测.doc
统计系课程实验论文基于回归分析的人口数量预测 学号：2014962005 姓名：李洋 年级：2014级 专业：统计学 课程：回归分析 指导教师：姜喜春 完成日期：2016年6月19日
摘要 .................................................................................................................................... I 前言 .. (1) 第1章一元线性回归 (2) 1.1 指标的选择 (2) 1.2 样本确定 (2) 1.3 一元回归分析 (3) 1.3.1 绘制总人口与粮食产量的散点图 (3) 1.3.2 设定理论模型 (4) 1.3.3 回归诊断 (4) 第2章多元线性回归 (5) 2.1 数据中心化标准化 (5) 2.2 多元回归模型建立 (5) 2.3 逐步回归法 (6) 2.4 多重共线性 (7) 2.3.1 多重共线性检测 (8) 2.4 主成分分析 (9) 2.4.1 主成分分析模型建立 (9) 第3章非线性模型 (11) 3.1 曲线回归 (11) 3.1.1 曲线拟合 (11) 3.2 Logistic模型 (13) 结论 (15) 参考文献 (16)
回归分析法是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。同时依据事物发展变化的因果关系来预测事物未来的发展走势，它是研究变量间相互关系的一种定量预测方法，又称回归模型预测法或因果法，应用于经济预测、科技预测和企业人力资源的预测等。回归分析可以说是统计学中内容最丰富、应用最广泛的分支。这一点几乎不带夸张。包括最简单的t检验、方差分析也都可以归到线性回归的类别。而卡方检验也完全可以用logistic回归代替。 众多回归的名称张口即来的就有一大片，线性回归、logistic回归、cox回归、poission回归、probit回归等等。 关键词：线性回归；非线性回归；logistic回归
回归分析方法
回归分析方法Newly compiled on November 23, 2020
第八章回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要
占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。
第3章 回归预测方法
第3章回归预测方法 思考与练习（参考答案） 1.简要论述相关分析与回归分析的区别与联系。 答：相关分析与回归分析的主要区别： （1）相关分析的任务是确定两个变量之间相关的方向和密切程度。回归分析的任务是寻找因变量对自变量依赖关系的数学表达式。 （2）相关分析中，两个变量要求都是随机变量，并且不必区分自变量和因变量；而回归分析中自变量是普通变量，因变量是随机变量，并且必须明确哪个是因变量，哪些是自变量； （3）相关分析中两变量是对等的，改变两者的地位，并不影响相关系数的数值，只有一个相关系数。而在回归分析中，改变两个变量的位置会得到两个不同的回归方程。 联系为： （1）相关分析是回归分析的基础和前提。只有在相关分析确定了变量之间存在一定相关关系的基础上建立的回归方程才有意义。 （2）回归分析是相关分析的继续和深化。只有建立了回归方程才能表明变量之间的依赖关系，并进一步进行预测。 2.某行业8个企业的产品销售额和销售利润资料如下： 根据上述统计数据: （1）计算产品销售额与利润额的相关系数； r ，说明销售额与利润额高度相关。 解：应用Excel软件数据分析功能求得相关系数0.9934
（2）建立以销售利润为因变量的一元线性回归模型，并对回归模型进行显著性检验（取α＝）； 解：应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为： 7.273,0.074a b =-= 据此，建立的线性回归方程为 ?7.2730.074Y x =-+ ① 模型拟合优度的检验 由于相关系数0.9934r =，所以模型的拟合度高。 ② 回归方程的显著性检验 应用Excel 软件数据分析功能得0.05 ?=450.167(1,6) 5.99F F >=,说明在α=水平下回归效果显著. ③ 回归系数的显著性检验 0.025?=21.22(6) 2.447t t >=,说明在α=水平下回归效果显著. 实际上，一元线性回归模型由于自变量只有一个，因此回归方程的显著性检验与回归系数b 的显著性检验是等价的。 （3）若企业产品销售额为500万元，试预测其销售利润。 根据建立的线性回归方程 ?7.2730.074Y x =-+，当销售额500x =时，销售利润?29.73Y =万元。 3.某公司下属企业的设备能力和劳动生产率的统计资料如下： 该公司现计划新建一家企业，设备能力为千瓦/人，试预测其劳动生产率，并求出其95%的置信区间。
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析 回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。 回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。 二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。 2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析 若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。 若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。 三、回归分析的主要内容 1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。 2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰 色系统?作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统?区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理 建模原理 给定观测数据列 X (O) = {工⑼⑴卫⑼(2)UM)(N)} 其中是$ U 常数，a 称为发展灰数,IJ 称为内生 控制灰数，是对系统的常定输入?此方程满足初始 条件 (7.3)1 当f =阳时工⑴=X a Xt C ) 的解为J C^(O= Z(Gw 十牛 对等间隔取样的离散值(注意到^ = I)则为 √I)(? + l) = [√1?l)-?* += (7.4) 灰色建模的途径是一次累加序列tλ2)通过最小二乘法来 估计常薮口与乩 模型的求解 ■经一次累加得 K ⑴二{兀⑴(1),兀⑴(2),…,*D(N)} (7.2) 设满足一阶常微分方程 ￠7.3) dx ⑴ dt + ax (L)= 14
原始序列为： X(O)=(X(O)(1),…X(O)(6)) =(7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909) 构造累加生成序列 X(I) =(X(I)(1),… X(I)(6)) =(7691,18614,27943,37869,48018, 59085,71580,84567,98469,114250,131159) 归纳上面的式子可写为 X a X D = {f X⑼(j) Ii=I B2-,N} >■1 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成 对X(I)作紧邻均值生成 1 Z(I)(k)=丄(Z(I)(k) Z(I)(k - 1)) 2 k = 2,.… MATLAB代码如下： X=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; Z(I)=X(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format Iong g Z Z = Colu mns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5
多元回归分析法的介绍及具体应用
多元回归分析法的介绍及具体应用
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多元回归分析法的介绍及具体应用 在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相互影响的,就需要利用相关分析和回归分析。回归分析的主要类型:一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。这里主要讲的是多元线性回归分析法。 1. 多元线性回归的定义 说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析,一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下,分析某一个因素（自变量)是如何影响另一事物(因变量）的过程,所进行的分析是比较理想化的。其实，在现实社会生活中,任何一个事物(因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量)的影响。 一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量,但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响;影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。 因此,在许多场合,仅仅考虑单个变量是不够的,还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察,才能获得比较满意的结果。这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相关条件下,两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式,称为多元线性回归模型。 多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似,只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。 ２. 多元回归线性分析的运用 具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。 （1)、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们
最小平方法在回归分析和趋势预测中的应用
最小平方法在回归分析和趋势预测中的应用 最小平方法，又称最小二乘法。其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差之和等于零，用表达式表示即 0)(=-∑x x ；二、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小 值，用表达式表示为最小值=-∑2 ) (x x 。这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到 回归分析和趋势预测中来。回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。 最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与理论值(趋势值)的离差平方和为最小。据此来拟合回归方程或趋势方程。 1、利用最小平方法拟合直线回归方程 拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数a 和b 之值，而用最小平方法求出的回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。 假设直线回归方程为：bx a y c +=，其中a 是直线的截距，b 是直线的斜率，称回归系数。a 和b 都是待定参数。将给定的自变量x 之值代入上述方程中，可求出估计的因变量 y 之值。这个估计值不是一个确定的数值，而是y 许多可能取值的平均数，所以用c y 表示。当x 取某一个值时，y 有多个可能值。因此，将给定的x 值代入方程后得出的c y 值，只能 看作是一种平均数或期望值。配合直线方程的具体方法如下： ∑=-=最小值2 )(c y y Q (1) 用直线方程bx a y c +=代入式(1)得： 最小值=--=∑2)(bx a y Q (2) 分别求Q 关于a 和Q 关于b 的偏导，并令它们等于0： ?????=---=??=---=??∑∑0 ))((20)1)((2x bx a y b Q bx a y a Q 整理后得出由下列两个方程式所组成的标准方程组： ?? ?+=+=∑∑∑∑∑2x b x a xy x b na y (3) 根据已知的或样本的相应资料x 、y 值代入式(3)，可求出a 和b 两个参数：