圆锥曲线专题大题突破
圆锥曲线大题专题
招式一：弦的垂直平分线问题 (2)
招式二：动弦过定点的问题 (3)
招式四：共线向量问题 (5)
招式五：面积问题 (12)
招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (15)
招式七：直线问题 (19)
招式八：轨迹问题 (23)
招式九：对称问题 (31)
招式十、存在性问题 (34)
招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+??
=?消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k
--=--令y=0,得021122x k =-，则2
11
(,0)22E k - ABE ?Q 为正三角形，∴211(
,0)22E k -到直线AB 的距离d AB 。
AB =Q =d =
=k =满足②式此时053x =。 【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题
目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。 例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123
301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?
，进而可求出AB
的中点1
1(,)22M b --
+，又由11
(,)22
M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出22
1114(2)32AB =+-?-=．
招式二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2
，
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3
2
c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为2214x y +=
（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由
122
(2)
44
y k x x y =+??+=?消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=12x -Q 和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1
12
1
414k y k =+，即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q 12122
k k k k t -∴
=-+，Q 直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--，
∴令y=0，得211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4
x t =
又2t >Q ，∴402t <
t = 故当43 3 t = 时，MN 过椭圆的焦点。 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =u u u r u u u r g ，2BC AC =u u u r u u u r ，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的 方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。 解：(I) 2BC AC =u u u r u u u r Q ，且BC 过椭圆的中心O OC AC ∴=u u u r u u u r 0AC BC =u u u r u u u r Q g 2 ACO π ∴∠=又 A (23,0)Q ∴点C 的坐标为(3,3)。 Q A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为： 22 2 112x y b += 将点C (3,3)代入方程，得24b =，∴椭圆E 的方程为 22 1124 x y += (II)Q 直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称， ∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为： 3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，由223(1)3120 y kx k x y ?=+-?? +-=??消y ，整理得： 222(13)63(1)91830k x k k x k k ++-+--=3x =Q 是方程的一个根， 229183 313P k k x k --∴=+g 即2291833(13)P k k x k --=+同理可得：22 91833(13) Q k k x k +-=+ 3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+Q ＝()23P Q k x x k +-＝ 2 123(13) k k -+ 222291839183 3(13)3(13)P Q k k k k x x k k --+--=-++＝2363(13) k k -+13P Q PQ P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值13 。 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围. 解：（1）.0,2=?=AM NP AP AM Θ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ∴动点N 的轨迹是以点 C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22 ===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12 22 =+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12 ,22 2=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2 3 0. 034)2 1 (222>>?=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G )2(216 2 13),1(2182142 2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=+则 )2,()2,(, 2211-=-∴=y x y x λλΘ又,, 2 1 21x x x x = ∴=∴λλ，)21 (332 ) 21(33221)2()1(222 2+=+=++?k k k λλ .33 1 .316214.316 )21(3324,2 3 22<<< ++ <∴<+<∴> λλ λ解得k k Θ.13 1 , 10<<∴<<λλΘ又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λx )1,3 1[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线21 4 y x =的焦点，离心 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r ，求证：1210λλ+=-. 解：设椭圆C 的方程为22 221x y a b += （a ＞b ＞0）抛物线方程化为24x y =，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b = 由c e a ===，∴2 5a =，椭圆C 的方程为 2 215 x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2 215 x y += 并整理，得2 2 2 2 (15)202050k x k x k +-+-=∴21222015k x x k += +，2122 205 15k x x k -=+ 又110(,)MA x y y =-u u u r ，220(,)MB x y y =-u u u r ，11(2,)AF x y =--u u u r ，22(2,)BF x y =--u u u r ， 而 1MA AF λ=u u u r u u u r ， 2MB BF λ=u u u r u u u r ，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ= -，2222x x λ=-，所以 121212 12121212 2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14 6 ( ,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线方程。 解：设双曲线方程为122 22=-b y a x ， Q （x 0, y 0）。 ),(00y c x -= ， S △OFQ = 62||||210=y OF ，∴c y 6 40± =。 ),)(0,(00y c x c -=?=c(x 0－c)=c x c 4 6)146(02=?-。 ,3296 832220 2 ≥+=+c c y x 当且仅当)6,6()6,6(,||,4,96 8322-==或此时最小时即Q c c c ， 所以1124.12 4161662222 222 2=-?????==??? ???=+=-y x b a b a b a 故所求的双曲线方程为。 类型1——求待定字母的值 例1设双曲线C ：)0(1222 >=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA= PB 12 5 ，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,1) ),1,(125)1,(,2211-=-∴y x y x PB ∴x 1=212 5x . 联立，??? ??=-=+112 22y a x y x 消去y 并整理得，(1－a 2)x 2+2a 2x －2a 2=0 (*) ∵A 、B 是不同的两点，∴?????>-+≠-， ， 0)1(84012 242 a a a a ∴0 2 12a a --， 即222222212125,121217a a x a a x --=--=且，消去x 2得，2212a a --=60 289 ， ∴a=1317± ，∵0 17 。 类型2——求动点的轨迹 例2如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。 思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。 解：由?? ?-=+=3 12 x y kx y 得，k 2x 2+(2k －1)x+4=0. 由???>?≠0 0k ?.06121≠<<-k k 且 设P(x’,y’)，B(x 1，y 1)，C(x 2,y 2)， （图 则x 1+x 2= 221k k -, x 1.x 2=2 4k . 由PC BP λ=?),(11y y x x -'-'=),(22y y x x '-'-λ ? 1x x -'=λ)(2x x '- 由)1,()1,(2211-=-?=y x y x λλ?1x =λ2x 。 .218 2021212211k x x x x x x x x x x x -=+='?'-=-'∴ ≠λΘ ?.211 612181k k k k x k y -+=+-= +'=' 消去k 得， x’－2 y’－6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则???-='='???? ???? +'='=133313 y y x x y y x x ，代入(*)式得，3x －6y －4=0。 因为3 8 434812406121≠< x x x x k k 且且且 故点Q 的轨迹方程是3x －6y －4=0（3 8 434≠< 点)3 2,38(),34,4(),0,34 (C B A 的线段AB 。 类型3——证明定值问题 例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线。设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：22μλ+为定值。 思路：设A 、B 、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。 解：设椭圆方程为).0,(),0(122 22c F b a b y a x >>=+ 则直线AB 的方程为 .c x y -=代入椭圆方程中，化简得，.02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则.,22 22 2222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由 OB OA +与)1,3(-=a 共线，),(2121y y x x OB OA ++=+得， 0)()(32121=+++x x y y 。又,,2211c x y c x y -=-= .3,232,23,0)()2(3222 22212121b a c b a c a c x x x x c x x =∴=+=+∴=++-+∴即 而,222 b a c -=于是2 2222 1,23c b c a == 。 因此椭圆方程为.33,1322222 22b y x b y b x =+=+即 设M(x, y), 由OB OA OM μλ+=得，),(),(),(2211y x y x y x μλ+=， .2121y y y x x x μλμλ+=+=∴且 因M 为椭圆上一点，所以.3)(3)(2221221b y y x x =+++μλμλ 即221212 2222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 又2 2222121,23,23c b c a c x x ===+，.8322 2222221c b a b a c a x x =+-= 则 22121212121213)(34))((33c c x x x x c x c x x x y y x x ++-=--+=+ .032 923222=+-= c c c 而,3322121b y x =+,3322222b y x =+ 代入①得，22μλ+=1，22μλ+为定值。 类型4——探索点、线的存在性 例4在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心H 分有向线段AD 。所成的比为31设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H ，| |||||HQ PQ HP 成等差数列，为什么？ 思路：先将AC ⊥BH 转化为代数关系，由此获得动点H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。 解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知)34, (y x A ∵H 为垂心 ∴AC ⊥BH ，∴0),2)(3 4,2(=+-y x y x ， 整理得，动点H 的轨迹方程为 13 42 2=+y x )0(≠y 。 22)1(||y x ++= ， 2||=， 22)1(||y x +-=。 | |||||HQ PQ HP | || || |HQ HP PQ + = 即 1)1(1)1(12 2 2 2 =+-+ ++y x y x ① ∵H 在椭圆上 a=2, b=3, c=1，P 、Q 是焦点， ∴42==+a HQ HP ，即∴4)1()1(2222=+-+++y x y x ② 由①得，= +-?++2222)1()1(y x y x 4)1()1(2222=+-+++y x y x ③ 联立②、③可得，2)1()1(2222=+-= ++y x y x ， ∴,3,0±==y x 显然满足H 点的轨迹方程13 42 2=+y x ， 故存在点H （0，±3| |||||HQ PQ HP 类型5——求相关量的取值范围 例5给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且 []9,4∈=λλAF ，求l 在y 轴上截距的变化范围。 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y 轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由λ=得，),1(),1(1122y x y x --=-λ，即 ?? ?-=-=-② ①1 212)1(1y y x x λλ 由②得，.2122 2y y λ= Θ,4121x y =12222 2,4x x x y λ=∴=③ 。 联立①、③得，λ=2x 。 而).2,(),2,(,0λλλλλ-∴>B B 或当直线l 垂直于x 轴时，,1=λ不符合题意。 因此直线l 的方程为)1(2)1(-=-x y λλ或).1(2)1(--=-x y λλ 直线l 在y 轴上的截距为 12-λλ或.12--λλ由1 2 1 2 1 2-+ +=-λλλλ 知， 1 2-λλ 在[]9,4∈λ上递减的，所以 ,341243≤-≤λλ.4 31234-≤--≤-λλ 于是直线l 在y 轴上截距的变化范围是.34,4343,34?? ? ?????????-- Y 存在、向量例6、双曲线()()0,20,01:22 2 2a Q x A b a b y a x C 轴上存在一点，的右顶点为>>=-，若C 上 存在一点，求离心率的取值范围使PQ AP P ⊥。 解：点的轨迹P PQ PA ∴⊥Θ方程为42322 2 a y a x =+?? ? ??-， 即2 2 2 23a ax x y -+-=)2(a x a x ≠≠且。由???-+-==-2 222 2222223a ax x y b a y a x b ，消去y 得()() 02302322432222222222=-+-+=--+--b a a x a x b a b a a ax x a x b 即 ()()( )[] ()() ?? ? ??-=-=+-=∴≠=--+-∴1332,,022 22222222 2 2 2 e a c c a a b a b a a x a x b a a x b a a x Θ的右支上在双曲线12222=-b y a x P Θ，解得,13,2a e a a x >?? ? ??-∴>∴261 定值问题例7：,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求证：（1）,A B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线AB 经过一定点。 分析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112212122,2()4y px y px y y p x x ==?= 又由 121200OA OB OA OB x x y y ⊥??=?+=u u u r u u u r u u u r u u u r 2212124,4x x p y y p ?==- （2）221212121212 22()AB y y p y y p x x K x x y y --=-?= = -+ 直线AB 的方程为1111121212 222()px p p y y x x y x y y y y y y y -= -?=-++++ 21112121212 222(2)y px y y p p x x p y y y y y y -+=+=-+++，故直线过定点(2,0)p 。 招式五：面积问题 例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3 6 短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2 3 ，求△AOB 面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意c a a ?=???=? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为2 213 x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥ 轴时，AB =。（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+ 223 (1)4 m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。22221(1)()AB k x x ∴=+-222222 23612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2 4222121212 33(0)341961 23696k k k k k k =+=+ ≠+=++?+++≤。 当且仅当2219k k = ，即k =时等号成立。当0k = 时，AB = 综上所述max 2AB =。 ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB =?=。 2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36 ,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2 3 ，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意c a a ?=???=? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为22 13x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥ 轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+ = ，得223(1)4m k =+． 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．222 21(1)()AB k x x ∴=+-22 22222 3612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 222222222 12(1)(31)3(1)(91) (31)(31)k k m k k k k ++-++== ++ 242 22121212 33(0)34196123696k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤． 当且仅当221 9k k = ，即k =时等号成立．当0k = 时，AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB = ?= ． 3、已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线 交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22 00 132 x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ） 椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22 001x y +=， 所以，2222 00021 132222 y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+， 代入椭圆方程22 132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2 122632 k x x k +=-+， 212236 32 k x x k - = +2BD x =-== 因为AC 与BC 相交于点 P ，且AC 的斜率为1k - ，所以，2211132k AC k ? +? ??==?+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)96 2(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++???? g ≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为 96 25 ． 招式六：弦或弦长为定值、最值问题 1、已知△OFQ 的面积为26，OF FQ m ?=u u u r u u u r （1646m ≤≤OFQ ∠正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2 6||,(1)OF c m c ==-u u u r 当 ||OQ u u u r 取得最小值时，求此双曲线的方程。 解析：（1）设OFQ θ∠= ||||cos()1 ||||sin 6 2 OF FQ m OF FQ πθθ??-=? ???=??u u u r u u u r u u u r u u u r 46tan θ?= 646m ≤≤ Q 4tan 1θ-≤≤- （2）设所求的双曲线方程为22 1111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-u u u r 则 ∴11||||2OFQ S OF y ?= ?=u u u r ，∴1y =又∵OF FQ m ?=u u u r u u u r ，∴2111(,0)(,)()1OF FQ c x c y x c c c ?=?-=-?=- )u u u r u u u r 1,||x OQ ∴= ∴==≥u u u r 当且仅当4c =时，||OQ u u u r 最小，此时Q 的坐标是 或 2222 2266 141216 a a b b a b ??-==?? ∴ ???=???+=? ，所求方程为22 1.412x y -= 2、已知椭圆14 22 2=+ y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=?PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=， )2,(001y x PF ---=，∴1)2(20 2 21=--=?y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则14 22 20=+y x ，∴2 42 2 y x -=，从而1)2(242020=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. （Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为： )1(2--x k y .由??? ??=+ -=-14 2)1(22 2y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得222)222k k k x A +-+=，则2 224k k x x B A +=-，228)1()1(k k x k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A AB x x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由??? ??=+ +=14 2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=?m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3 | |m d =， 则3 ||3)214(21||212m m d AB S PAB ? ?-=?=?2)28(81)8(812222 2=+-≤+-=m m m m 。 当且仅当()22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。 3、已知椭圆2 212 x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相 切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。 解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-Q Q 圆过点O 、F ， ∴圆心M 在直线1 2 x =-上。 设1(,),2M t -则圆半径 13 ()(2).22 r =---= 由,OM r = 3,2= 解得t =∴ 所求圆的方程为2219 ()(.2 4 x y ++±= （II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入2 21,2 x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= Q 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴ 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则12x x +=AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001 ().y y x x k -=-- 令0,y =得2220022222121211 0,0, 2 G G k k k x x ky k k k k x =+=-+=-+++≠∴-< - 4、已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 2 - ．（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在 D 、F 之间），试求OD E ?与OD F ?面积之比的取值范围（O 为坐标原点）． 解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12AM BM k k ?=-， 整理，0x ≠）， （2）如图，由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠±将①代入12 22 =+y x ， 整理，得22(2)420s y sy +++=，由0?>，解得22s >． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,2 2.2s y y s y y s ?+=-??+??=?+? 令112 2 1212OBE OBF OB y S y S y OB y λ???===?，且01λ<<． =+21221)(y y y y ()2 22 182s s λλ+=+．∵22s >且2 4s ≠，316)8,4(2 822≠∈+=u s s u 且， 解得33λ-<<+且13λ≠ ． 01λ< 3 λ≠． 故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是113,133? ???- ? ?? ??? U ． 5、已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆 1C 的方程； （II ）设点P 在抛物线2C ： 2 ()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解析：（I ）由题意得21 2,,1 21b a b b a =?=??∴??=?=???所求的椭圆方程为2214y x +=， （II ）不妨设 21122(,),(,),(,), M x y N x y P t t h +则抛物线 2 C 在点P 处的切线斜率为 2x t y t =' =，直线 MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得 222 4(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40 t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆 1 C 有两个不同的交点，所以有 422 1162(2)40 t h t h ???=-++-+>??， 设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则 21232() 22(1)x x t t h x t +-==+， 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则 41 2t x += ，由题意得34x x =，即有2 (1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-； 当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ???=-++-+>??不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2 (1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式 422 1162(2)40 t h t h ???=-++-+>??成立，因此h 的最小值为1． 招式七：直线问题 例题1、设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且着焦点为1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，证明：点Q 总在某定直线上 解 (1)由题意： 2222222211c a b c a b ?=? ?+=???=-? ，解得22 4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一 设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r 均不为零，记AP AQ PB QB λ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则0λ>且1λ≠ 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r 于是 1241x x λλ-=-， 12 11y y λλ-=- 121x x x λλ+=+， 12 1y y y λλ +=+ 从而 22212241x x x λλ-=-，L L （1） 222 12 2 1y y y λλ -=-，L L （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即 221124,(3)x y +=L L 22 2224,(4)x y +=L L （1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二 设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r 均不为零。 且 PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r 又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±u u u r u u u r u u u r u u u r ,于是 1141,11x y x y λλλλ--= =-- （1） 2241,11x y x y λλλλ ++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得 222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,, 新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案 全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -= 4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3 高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在. 专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标． 【答案】（1)(２） 【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,, 要使其为定值，需满足, 解得 ． 故定点的坐标为 ． 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由． 【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点． 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； ）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线 的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于 ?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而 1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+ =kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其 中O 为原点）. 求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+== b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13 22 =-y x （Ⅱ）将得代入13 222 =-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-. 0)1(36)31(36)26(, 0312 222 k k k k 即.13 1 22<≠ k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319 ,31262 2>+>?--=-= +B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1 37 3231262319)1(22222 -+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732 222>-+->-+k k k k .33 1 2< 1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） 1.设F 1，F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与 椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标； （2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （1）求△P AB 面积的最大值； （2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是 1B ，2B ，且21MB MB ⊥. （1）求椭圆C 的方程； （2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2 e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程； (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点. (i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数； (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由. 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410. 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线 l 与圆C 2：()()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）若43 AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值； （2）求证：点Q 在一定直线上. 3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //， 且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:> =x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程； （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f . 5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为 2d ，且 212 d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） 4 1 ?如图，曲线G 的方程为y 2 2x(y > 0) ?以原点为圆心?以t(t 0)为半径的圆分别 点C , D ，求四边形 ABCD 面积的最小值. 由题意知，直线 AC 的斜率 k 存在，由对称性，不妨设 k 2 X 。 2.解：(I )设切点Q X 0, 4 X g 亍，知抛物线在Q 点处的切线斜率为肓，故所求切线方程为 X 0(X X 。) ? 因为点P(0, )在切线上. 所以4 2 ,X 0 16 , ?所求切线方程为y 2x 4 ? (II )设 A(X 1,屮),C(X 2, y 2) ? 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点 A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C ? (I)求点 A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 (n)设曲线G 上点D 的横坐标为a 2 , 求证：直线 CD 的斜率为定值. 1?解：(I) 由题意知，A(a, '2a). 因为|0A t ，所以a 2 2a t 2 .由于t 0 , 故有"O 由点B(0, t), C(c,0)的坐标知，直线 BC 的方程为x y 1 c t 又因点A 在直线BC 上，故有a ' 2a 1，将(1 )代入上式，得 a c t * 2a .a(a 2) 解得 c a 2 ,2(a 2) ? (n)因为D(a 2,、.2(a 2))，所以直线CD 的斜率为 ■2(a 2) a 2 c 2@—2) v 2(a ,2) a 2 (a 2 .、2(a 2)) 2(a 2) 所以直线CD 的斜率为定值. 2 ?设F 是抛物线G: X 2 4y 的焦点. (I )过点P(0, 4)作抛物线G 的切线，求切线方程; (II )设A, B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足 0 ,延长AF , BF 分别交抛物线G 于 B 萌 2a : (1 5圆锥曲线大题专题训练答案和题目
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