1994考研数一真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、 填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)

1 1

(1) lim cot x( -- --) = ______________ .

x -S ＞ sin x x

⑵曲面z-誉+2xy = 3在点(1,2,0)处的切平面方程为 ______________ .

宀2 ⑶设u = e 」sin x

，则 色U

在点(2,—)处的值为 ______________ . y 阴

均 2

⑷设区域D 为x 2 +y 2兰R 2

，则J J (x 2十y 2)dxdy=__________________ .

D a b

⑸已知〉=(1,2,3),」(1,丄,丄),设，其中门是〉的转置，则A n 二

2 3

二、 选择题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)

~2 Sin x 4

2 3 4 -2 2 3 4

2

2

cos xdx , N (sin x cos x)dx , P (x sin x —cos x)dx , 三1X 2 -2 则()

⑵二元函 数f(x, y)在点(by 。)处两个偏导数

f x (x °,y 。)、 f y (X o ,y o )存在是

f(x, y)在该点连续的()

(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件

(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件

00

00

| a |

⑶设常数'0,且级数a 2收敛,则级数(-1)"」0丄() n 二 n m J n +&

(A)发散(B)条件收敛

(C)绝对收敛(D)收敛性与，有关

⑷怙atanx bdosx ：詔,其中a

2 c 2

= 0,则必有() x 0

cln(1-2x) d(1-e^ ) (A) b =4d (B)b =—4d

(C) a =4c (D) a 二 _4c

⑸已知向量组〉1、〉2、〉3、＞4线性无关，则向量组()

(A)N ::P :: M (B) M :: P :: N (C)N ::M :: P (D) P M :: N

(A) 〉2、＞3、〉3*4、〉4 * -线性无关

(B) ：1 一°2、a 2-^3、G 3-^4、 a 4 一°1 线性无关

(C) 心亠-：：2、-:込亠'：：3、>3亠二4、〉4-「线性无关

(D) 宀亠-：：2、〉2亠二3 > :- 3—4、二4 线性无关 三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分.)

X =CO s(t ), , ,2

(1) 设」 2 t 2

1 求或、4在t =匸的值.

l y =tcos(t 2) - [ — cosudu, dx dx \ 2 ⑵将函数f (x) arctanx-x 展开成x 的幕级数.

4 1 -x 2

四、(本题满分6分)

2

计算曲面积分

xd

y dz 2zd x dy

,其中S 是由曲面x 2

? y 2

二R 2

及两平面z 二R,

S

x+y+z

z =-R(R 0)所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设f(x)具有二阶连续导数，f (0) =0, f (0) =1，且

[xy(x y) - f (x)y]dx [f (x) - x 2y]dy =0为一全微分方程，求f (x)及此全微分方 程的通解.

六、 (本题满分8分)

设f(x)在点x = 0的某一领域内具有二阶连续导数,且lim-^^ -0,证明级数 00

1 x

f (丄)绝对收敛. n 生 n

七、 (本题满分6分)

已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所 围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面z=0,z=1所围成的立体体积. 八、 (本题满分8分)

x + x — 0

设四元线性齐次方程组()为 1

2

'又已知某线性齐次方程组(二)的通 〔X 2 - = 0,

解为 k 1（0,1,10） k 2（—1,2,2,1）.

(1)求线性方程组()的基础解系；

⑶求

dx

sin 2x 2sin x

⑵问线性方程组()和(「)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由?

九、(本题满分6分)

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A T是A的转置矩阵，当A =A时, 证明| A| = 0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)二P(AB),且P(A)二p ,则

P(B)= ____________

(2)设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律，且X的分布律为

则随机变量Z二max 仅,丫｝的分布律为 ______ .

十、(本题满分6分)

已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32) 和

1X Y

N(0,42),X与Y的相关系数,设Z二一一，

2 3 2

(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；

⑵求X与Z的相关系数‘XZ ；

(3)问X与Z是否相互独立？为什么？

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.)

⑴【答案】-

6

【解析】原式变形后为“ 0

”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存

在，所以连续应用两次洛必达法则，有

cosx(x —sin x) x — sin x

原式二 lim 2

lim cosx lim 7 xsin x T T

1-cosx si nx 1 si nx 、 =lim 2 lim .(由重要极限lim 1)

x 刃 3x 2 x e 6x 6 x

>0

x

⑵【答案】2x y -4 =0

【解析】所求平面的法向量n 为平行于所给曲面在点（1,2,0）处法线方向的方

向向量l ,取n = l ，又平面过已知点M （1,2,0）.

已知平面的法向量（A,B,C ）和过已知点（冷』。,％）可唯一确定这个平面:

A(x-x)) B(y-y °) C(z-z0 =0.

因点(1,2,0)在曲面 F(x, y,z) =0 上.曲面方程 F(x, y, z) =z —e z ■ 2xy -3. 曲面在该点的法向量

f cF cF cF : n

= 2 , ,

严

[dx &y dz

故切平面方程为2（x -1厂（y -2） =0,即2x ，y -4 = 0. 兀2

~~2

e

【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，为了简化运算，所以本

（可边代值边计算，这样可以简化运算量

.） 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 u = '（X, y ）, v =丁（x, y ）都

在点 （x, y ）具有对x 及对y 的偏导数，函数z = f （u,v ）在对应点（u,v ）具有连续偏导数，则

一 2y,2x,1 —e z

4,2,0^ =2〈2,1,0?,

(1,2,0)

(1,2,0)

⑶【答案】 题可以先求—，再求_

L'、

:u

=空 -2

二

陶（2丄） c u E x W y 「

x

x

e cos —, r y

c I c u 6 2 -x e (1-x)cos 二 x)

矽礼丄）ex

，兀

1

y= I 兀丿

J 仃2亠

仃

xe cos x ex r

-2

2

x =2