拓扑学测试题

拓扑学测试题一

一、选择题（每小题2分，共10分）

下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A.

1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间

下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A.

1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间

设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21

ττ?是X 的某个拓扑的基。

设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .

二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（）

四、 商映射一定是闭映射或开映射. （）

五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （） 六、 连通空间一定是局部连通空间. （）

七、 若

11

:f S →连续，则 1

t ?∈

，使

1

()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设

{}

0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑.

十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足

1T 公理，则

X 中任一子集的导集都是闭集.

十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.

十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.

十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集.

答案

一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B

二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√

三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.

解 例如 {}

0,1X =，

{},0,X τ=?，

{}{}01'=.

2. 设 {}

0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {

Φ

,{0},{0,1,2}},{

Φ

,{1},{0,1,2}},{

Φ

,{2},{0,1,2}}

，

{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个：

{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}} 5个开集的共有6个：

{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} 6个开集的有6个：

{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}, {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} … 8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑

四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ?，只要验证 ()c

A '是开集. ()

c

x A '?∈，则x 有开邻域U ，使得

{}()\U x A =?

，由 1T 公理知， {}\U x 是开集，从而 {}()\c

U x A '?，于是

()

c

U A '?；所以x 是

()c

A '的内点.

2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.

证明 设X 是从 2

R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ?∈，若 x y ≠

，设L 是线段xy 的中垂线，设 z L ∈,用

(,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.

3. 证明至少有两个点的

4T 空间的连通子集一定是不可数集.

证明 设X 是至少有两个点的连通的

4T 空间 Y 的子集，设 ,x y 是 X 中的两个不同点，令 {},{}A x B y ==，则 A 和

B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数 :[0,1]f X →使得， ()0,()1f x f y ==，又因 X 是连通的，故 ()f X 是 [0,1]中的连通集，而 0,1()f X ∈，因此 ()[0,1]f X =，于是 X

一定是不可数集.

4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集.

证明 （必要性）要证 ?为闭集，只要证它的余集是开集。 (,),(,)c x y x y ∈?为内点.由 (,)c

x y ∈?知， x y ≠，因 X

为Hausdorff 空间知，存在 x 开邻域 U ， y 的开邻域 V ，使得 ,U V ?=?于是 (,)c

x y U V ∈???，所以 (,)x y 为

内点，这就证明了 ?为闭集.

（充分性）对 ,,x y x y ?∈?≠,由 ?的定义知， (,)x y ∈?，即由Δ为闭集知， c

?为开集，于是存在开集 ,U V 使得

(,)c x y U V

∈??，由 c U V ??知， ,U V 为 ,x y 的不相交的邻域，这表明 X 为Hausdorff 空间.

测试题二

一、（15分）

（1）叙述“T 是集合X 上的拓扑”的定义； （2）证明：T=是X 上的一个拓扑.

二、（15分）

(1)叙述完备格的定义；

（2）设

是偏序集，证明：若L 的每个子集有下确界，则L 是一个完备格.

三、（10分）设，，求分别在数直线T ) 及可数补空间T )中的

闭包和内部.

四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是

的,则X 内每个网至多有一个极限点.

五、（10分）设T ),

W) 是两个拓扑空间，

,

, (1)叙述

是开映射的定义,(2)证明:是T

W 连续的当且仅当

W ,

T

六、（10分）（1）叙述紧空间的定义； （2）证明：空间的每个紧子集是闭的.

七、（15分）（1）叙述：“是集合X 上的一个度量”的定义；

（2）证明：若度量空间

是可分的，则它是第二可数的.

答案

一、（15分）（1）T 称为集合X 上的拓扑，若T 满足： (a)T,T;

(b)T T,

T;

(c)

A T

A T.

（2）证明：因是可数集，故T,T.T ，则

是可数集，从而

=

是可数集,即

T; A

T,

A,

是可数集，于是

是可数集，从而

A=

是可数集，即A

T.，因此T=

是X 上的一个拓扑.

（3）可数补拓扑是

的不是

.

由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间. 对，则且

，因此它是空间.

二、（15分）

(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.

(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D 表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.

三、（10分）

解：在数直线T)中，;可数补空间中，

.

四、（15分）

（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.

五、（10分）

（1）,则称在点T W连续的.

（2）证明（必要性） W,设. 则，由条件，存在

.于是T.

（充分性）,则T,从而，且,故是T W 连续的.

六、（10分）

(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.

(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在

，则是X中开集组成的F的

开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.

由的任意性知F是闭集.

七、（15分）

（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：

（a）

（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分

的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则 B B是X的可数开集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有

，这样 ,B是X的可数基.

八、（10分）

证明：设，，则

同理设则＝

＝.

测试题三

一、（每题3分，共24分）

1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.

2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.

3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.

4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.

5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.

6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.

7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.

8.可分空间一定满足公理

二、（20分）设是一个度量空间。证明下述两个结论等价：

1）是可分得。2）的拓扑有一个可数拓扑基。

三、（20分）证明：任一紧度量空间是可分的。

四、（每题18分，共计36分）

a)如果和都是的开集，，并且与都道路

连通，则与也都是道路连通的.

b)若的每个紧致子集都是闭集，则中的序列的极限是惟一的.

答案

一、是非1、√ 2、√ 3、ⅹ4、√5、√ 6、√ 7、√ 8、ⅹ

二、证明：1）2). 由于是可分的，故有一个可数的稠密集合。证明

是的一个可数拓扑基。

事实上，由于是可数集，映射显然是单全射。故是可数集。现设是任一开集。于是使得。现在设使得。由于在中稠密，故存在使得

。从而

设。那么

此即表明，从而，并且。于是是的元素的并。故是的一个可数的拓扑基。

2）1）设是的一个可数拓扑基。，任取。那么是可数基。为了证明此可数集在中稠密，只需证明对的任一开集，。

这是显然的。因为是拓扑基，故至少存在使得。于是。因此是的一个可数稠密集，即是可分的。

三、证明：，故。的紧性表明存在有限个使得

。

令，。则是的一可数集。

下面证明在中稠密，也即。为此设。于是存在使得。从而存在使得

。于是。此即表明，因此。

四.

a) 如果，和都是的开集，，并且与都道路连通，则与也都道路连通.

证明 下证

是道路连通的.

，因道路连通，故有

中的道路

使

，易见

设数集

的下确界为，则

，

因为是的开集，所以有使

，由

的定义知，存在

使

，作道路

因

道路连通，故存在道路

使

因此

是

中的从

到

道路. 这表明中的点

在

中的连通分 支

，因

道路连通, 故

，从而

, 于是, 即是道路连通的. 同理可证

是道路连通的.

b) 若X 的每个紧致子集都是闭集，则X 中的序列的极限是惟一的 证明 首先，单点集总是紧致的，从而

满足公理，假如的一个序列有两个不同的极限, 则

是包含的开集，它必定包含了

的几乎所有项，也就是说

只有有限项为，作子集

，则

紧致，从而是闭集，是的开邻域，它最多只能含

的有限多项，从而

.

测试题四

一、（20分）证明：T=

{}{}:U X X U ?-?是可数集构成

X 上的拓扑；并说明该拓扑是 1T 的还是 2T 的.

二、（20分）设 X ， Y 是两个拓扑空间， :f X Y →.证明以下两个条件等价： 1） f 连续； 2）对于 Y 的任何一个子集 B ， B 的内部的原象包含于 B 的原象的内部，即

()()()

101f B f B --?.

三、（20分） 1、叙述完全正则空间的定义； 2、证明：每一个完全正则空间都是正则空间。

四、（20分） 1） X 中任一既开又闭的连通子集都是 X 的连通分支. 2）如果 X 只有有限个连通分支，那么 X 的每个连通分支都是既开又闭的.举例说明如果 X 有无限个连通分支，结论未必成立.

五、（20分） 1、叙述紧致空间的定义； 2、证明：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.

答案

一、证明：因 X

X -=?是可数集，故 X ∈T, ?∈T. ?,U V ∈T ，则 ,X U X V --是可数集，从而 X U V -=

()()X U X V --是可数集,即 U V ∈T; ?A ?T, A ?∈A, X A -是可数集，于是 ()X A -是可数集，从而

X -A= ()X A -是可数集，即 A ?T.，因此T= {}

{}:U X X U ?-?是可数集是X 上的一个拓扑.

可数补拓扑是

1T 的不是

2T .

由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是

2T 空间. 对 ,,x y R x y ∈≠，则 {}()y R y N x ?-∈且

{}()x R x N y ?-∈，因此它是

1T 空间.

二、 证明： 1） ?2） ()1

f

B -开，又

()()1

1

f

B f B --?。所以

()()()

101f B f B --?

2） ?1） U 开，

()()()()

1101f U f U f U ---==，所以

()()()

11f U f U --=。

三、证明：设 C 为 X 的既开又闭的连通子集， A 为 X 的连通分支且 C A ?，则 C 在子空间 A 中也是既开又闭的。因

为 A 连通且 C ≠?，故必有 C A =

，即 C 是 X 的连通分支。

1） 设

1

n

i

i X U C ==，其中 ()i C i ?为 X 的连通分支。由于 ,i i C ?闭于 X ，从而 1j ?=，

2,,n 。 1n

i

i U C =也闭于 X ，又

因不同的连通分支不相交，故 j i

i j

C U C ≠=

开于 X ，即

j

C 是既开又闭的

()1,2,

,j n ?=。

当

X 有无限个连通分支时，结论未必成立。例如 X =作为 1

E 的子空间。 x ?∈

，

{}x 为连通分支，但不是

的

开子集。 四、1、设

X 是一个拓扑空间。如果对于任意 x X ∈和 X 中任何一个不含点 x 的闭集 B 存在一个连续映射

[]:0,1f X →使得 ()0f x =以及对于任何 y B ∈有 ()1f y =，则称拓扑空间

X 是一个完全正则空间。

2、证明：设 X 是一个完全正则空间。设 x X ∈， B 是 X 中的一个不含点的 x 闭集。则存在连续影射

[]:0,1f X →使

得 ()0f x =和对于任何 b B ∈。于是

110,2f -???? ???????和 11,12f -??

?? ?

??????分别是点 x 和闭集 B 的开领域，并且它们无交。这表明 X 是一个正则空间。

五、 1、设 X 是一个拓扑空间。如果 X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个紧致空间. 2、设 Y 是紧致空间的一个闭子集，如果 A 是 Y 的一个覆盖，它由 X 中的开集构成，则 {}Y 'B =A

是

X 的一个开

覆盖，设

1B 是 B 的一个有限子族并且覆盖 X ，则 {}1Y 'B -便是 A 的一个有限子族并且覆盖 Y ，这证明 Y 是的

X 一

个紧致子集.

测试题五

一、(20分) 1.叙述拓扑空间的定义;

2.证明：对无穷集 X ,集族T G X G cn

\:{=为可数集

}{}φ?为拓扑;

3.在 R X =且上述拓扑下，求 -

A A o

,，并做出说明，其中 }

:1

{N n n A ∈=.

二、(20分) 1.叙述 1T 空间的定义；

2.证明： ,(X T )为 1T 空间 }{}{,x x X x =∈??-

； 3.说明有限补空间 ,(R T F )是 1T 空间，但不是 2T 空间.

三、（15分）

1.叙述正则空间的定义；

2.证明： ,(X T )为正则空间 ),(),(,x N V x N U X x ∈?∈?∈??使得 U V ?-

.

四、(10分) 叙述拓扑空间上连续函数的定义，并给出函数连续的两个充要条件.

五、 (15分) 叙述度量空间的定义并证明度量空间为第二可数空间的充要条件为它是可分空间.

六、(10分) 叙述紧空间的定义并写出 ,(X T )为紧空间的两个充要条件.

七、(10分) 叙述连通空间的定义，并给出空间 ,(X T )为连通空间的三个充要条件.

答案

一. (20分)

1设 X 是一个集合， T P ?, X 称 X 为上的一个拓扑,若 T 满足下面的三条：

(1) X T ∈, T φ∈;

(2) U,V T ∈, U V T ??∈; (3) A T A T ????∈.

2.集族满足上述的三条开集公理，

3.

A A,A -

==? 二. (20分)

1.空间 X 称为 1T 空间 y x ,??且 y x ≠,存在 )(),(y N V x N U ∈∈使 U y ?且 V x ?;

2.设 X 是 1T 空间，对每个

x y ≠，则存在

V x y N V ?∈),(于是

,}{-?x y 因此 -

=}{}{x x ；

反之，由每个单点集是闭集，对每个 X y x ∈,且 y x ≠，则 )(}{\),(}{\y N x X x x N y X y ∈?∈?，即 X 是 1T 的；

3．由有限补空间 ,(R T F )的任意两个非空开集之交不空知它不是 2T 空间; R y x ∈?,且 y x

≠，则

)(}{\),(}{\y N x R x x N y R y ∈?∈?，即 X 是 1T 的.三. （15分）

1. 设 ,(X T )是拓扑空间.称 X 为正则空间 F ??闭于 F x X ?,，存在 )(),(F N V x N U ∈∈使 φ=?V U ;

2. ?设 X 是正则空间， )(x N U ∈，由 U X

x \?闭于 X ，存在 )\(),(U X N G x N V ∈∈使得 ?=?G V ，于是

U G V V c ???-

；

),(\),(,x N F X x F x X F X x ∈∈∴??∈??由已知，存在 ;\),(F X V x N V

?∈-令 )(\F N V X U ∈=-

，则

φ=?V U ，故 X 是正则空

四. （15分）

1.设 ,(X T ,(),Y U )是两个拓扑空间，若对 ,][),()),((,V U f x N U x f N V X x ?∈?∈?∈?则称 f 是T-U 连续的;

2.(a) ∈?V U,

∈-)(1

V f T ;

(b) ∈?V B ,

∈-)(1V f T . 五. （15分）

(1) ρ是集 X 上的一个度量 ),0[:+∞→??

X X ρ满足下面的度量公理：

),(),(),()3();,(),()2(;0),()1(y z y x z x x y y x y x y x ρρρρρρ+≤==?=；

(2)必要性是显然的，下证可分度量空间 ),(ρX 是第二可数的.

设 }:{N i x A i ∈=是 X 的可数稠子集，对每个 N n ∈令B p }:)1

,({A x n x B i i ∈=ρ,则B N n ∈?=B n 是

X 的可数开集族;

下面说明B 是 X 的基.

事实上,对每个 )(,x N U X x ∈∈存在

U n x B N n ?∈)1

,

(,0

0ρ,因 A 是 X 的稠子集,有

),21,

(0n x B x i ρ∈这样 ,)21,(0

U n x B x i ?∈ρB 是 X 的可数基.

六. （10分） 1.拓扑空间 X 称为紧的 X ?的每个开覆盖有有限子覆盖；

2.(1) X 内每个具有有限交性质的闭集族具有非空交； (2) X 内每个网有聚点.

七. （10分）空间 X 称为连通空间：若这样的子集 B A ,不存在， B A ,满足 φ=?=?-

-A B B A ； 充要条件： (1) X 没有由两个闭集组成的分划；

(2) X 没有由两个开集组成的分划； (3) X 的既开又闭的子集只有 .X ，φ

测试题六

一、(20分)1.叙述拓扑空间的定义；

2.证明：对无穷集 ,X 集族T F G X G /:{=为有限集 }{}φ?为拓扑；

3.在 R X =上述拓扑下，求 A ,A -

，并做出说明，其中 }2{}1,0?=

）（A . 二、(20分)1.叙述

0T 空间的定义；

2.证明： ,(X T )为 0T 空间 ,}{}{.,-

-

=∈??y x X y x 则 y x =；

说明： ))(,(L L σ空间是 0T 空间，但不是 1T 空间。（ L 为多于一点的偏序集）.

三、(20分) 1.叙述正规空间的定义； 2.证明： ,(X T )空间为正规空间 A ??闭于 ,X ),(A N W ∈?则

)(A N U ∈?使得 W U ?-

.

四、.(20分) 1.叙述网的定义；

2.证明: 若拓扑空间 ,(X T )是 2T 的，则 X 内每个网至多有一个极限点. 五、(20分) 1.叙述Urysohn 定理；2.叙述全正则空间的定义；

3.说明

45.33,,T T T 空间之间的关系.

答案

一、 (20分) 1设 X 是一个集合， T P ?, X 称 X 为上的一个拓扑,若 T 满足下面的三条： (1) X T ∈, T φ∈; (2) U,V T ∈, U V T ??∈; (3) A T A T ????∈.

2.集族满足上述的三条开集公理，

3.

A A,A -

==? 二、 (20分) 1,空间 X 称为 0T 空间 y x ,??且 y x ≠,存在 )(x N U ∈U y ?或存在 )(y N V ∈V x ?;

2.设 X 是

0T 空间且 --=}{}{y x ，若 y x ≠可设存在 )(x N U ∈U y ?即 φ=?}{y U 由定理

-

?}{y x 与假设矛盾；

反之 若 ,(X T )不是 0T 空间,则存在 y x X y x ≠∈.,，但是 U y x N U ∈∈?),(且 V x y N V ∈∈?),(于是得

--∈∈}{,}{x y y x ，从而 -

-=}{}{y x 由条件知 y x =，矛盾.

(3) y x L y x ≠∈?,,,可设 y x /≤，这样 y L ↓\是 x 的邻域，不含有 y ，从而 ))(,(L L σ是 0T 空间；

对任意 ,,L y x ∈若 y x ≤由 t S cot 开集是上集，则 x 的每个邻域是 y 的邻域，因此一般来说 ))(,(L L σ不是 1T 空间

三、(20分) 1. 设 ,(X T )是拓扑空间.称 X 为正规空间 H F ，??闭于 φ=?H F X ,，存在

)(),(F N V H N U ∈∈使 φ=?V U ; 2. ?设 X 是正规空间， )(A N W ∈， A 为闭集，由 φ=?c W A ，存在

)(),(c

W N V A N U ∈∈使得 ?=?U V ，于是 W V V U c c ???-

-

；

X F X H ????,均为闭集，

)(\H N F X H ∈?由已知，存在 ;\),(F X V F N V ?∈-

令 )(\F N V X U ∈=-

，则 φ=?V U ，故 X 是正规空间.

四、(20分) 1, 设

）（≤,D 是一个定向集， A 是任意集，每个映射 A D →:ξ称为 A 内的一个网, D m m m m D m ∈==∈?)(),(,ξξξξ

2证明； ,(X T )是 2T 的， ξ是 X 内任一网且 ξlim ,∈y x ，若 y x ≠，则 )(),(y N V x N U ∈∈?使 φ=?V U ，

显然不能同时终在 V U ,内，矛盾，故 y x

=.

五、(20分) 1 拓扑空间 ,(X T )是正规的 ?对任意非空闭集 B A ,，若 φ=?B A ，存在连续映射 ]1,0[:→X f 使

}.1{)(}.0{)(==B f A f 2.空间 X 称为全正则空间 B ??闭于 B x X ??,，存在连续映射 ]1,0[:→X f 使 }.1{)(,0)(==B f x f (3) 4T 的是 6.3T 的， 6.3T 的是 3T 的；反之不成立