微专题_初中数学

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数 学专题训练1

三角板与作图

1.

如图Z1-1，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°，则∠2= .2.将一副直角三角板按如图Z1-2的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a= .3.

已知a//b，某学生将一直角三角板按如图Z1-3放置，如果∠1=40°，那么∠2= .4.

尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）.55°

75°

50°B

5. 已知△ABC（AC

痕迹是（ ）.D

6.

用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（ ）.C

7.如图Z1一4，在△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）. A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C

C.AE//BC

D.∠DAE=∠EAC

D

8.如图Z1一5，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，

5

连接DE.若BC=10cm，则DE= cm.

10.如图Z1-7，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于。AC长为

半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则AC= .

11.如图Z1-8，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的

顶点上.

（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2/2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长.

解：（1）如图Z1-8T，矩形ABCD即为所求；

（2）如图Z1一8T，△ABE即为所求，CE=4.

12.如图Z1-9，在△ABC中，∠ACB=90°.

（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4，求出DE的长.

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数 学专题训练2

三角形与直角三角形

241.如图Z2-1，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，直线MN//BA，分别交

AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 .2.

如图Z2-2，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD=6，DE=4，则CD的长等 .3.如图Z2-3，在△ABC中，∠BAC=96°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，那么∠C= .

4.如图Z2-4，△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AN平分∠BAC，

AN⊥CN，则MN= .

415o

20cm 5.如图Z2-5，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，边AB的垂直平分线DE交AC于点D，若CD=10cm，则

AD= .6.如图Z2-6，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 .

2

8.如图Z2一7，在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边上（B，C点除外）的动点，

∠EDF的两边与AB，AC分别交于点E，F，且BD=CF，BE=CD.

（1）求证：DE=DF；

（2）若∠EDF=m，用含m的代数式表示∠A的度数；

（3）连接EF，求当△DEF为等边三角形时∠A的度数.

解：（1）证明：在△BDE与△CFD中，

BD=CF,

∵ ∠B=∠C, ∴ △BDE ≌ △CFD, ∴ DE=DF;

BE=CD.

（2）∵△BDE ≌ △CFD，∴ ∠BDE=∠CFD，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°， ∴∠EDF+∠CDF+∠CFD=180°， ∵ ∠C+∠CDF+∠CFD=180°, ∴∠EDF=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C, ∴∠A+2∠EDF=180°.

∴∠A=180°-2∠EDF，即∠A=180°-2m；

（3）∵△DEF为等边三角形，∴m=60°，∴∠A=180°-2×60°=60°.

9.如图Z2-8，已知：Rt △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P是

BC边上的一个动点.（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是 ；

（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CFLAP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是 ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP

相等的线段，并加以证明；

（4）如图④，已知BC=4，AD=2，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作

BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d 1，线段CF的长度为d 2，

试求出点P在运动的过程中d 1+d 2

的最大值.

解:（3）CP=AM，理由如下：

证明：∠BAE=∠ACF，∴∠EAM=∠FCP， 在△CFP和△AEM中，∴△CFP ≌ △

AEM，∴CP=AM；

AP⊥BC CF=BE+EF

10.如图Z2一9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CDLAB于点D，点M是AB

边上的点，点N是射线CB上的点，且MC=MN.

（1）如图①，直接判断∠MCD和∠BMN的数量关系；

（2）如图①，当点M在∠ACD的平分线上时，直接判断线段AM与BN的数量关系；

（3）如图②，过点M作ME//BC，交CD与点E.求证：EM=BN.

解:（1）∠MCD=∠BMN;

（2）AM=BN;

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数 学

专题训练3

特殊四边形

1.

如图Z3一1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，若OQ=OC，则点Q的坐标为 .

2.

如图Z3-2，直线 l 过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F.若AE=4a，CF=a，则正方形ABCD的面积为 .

3.

如图Z3-3，正方形ABCD的边长为4，E为BC上任意一点，EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则

EF+EG的值为 .

4.矩形ABCD与CEFG按如图Z3-4放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的

中点H，连接GH.若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH= .

（提示：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=0.5PG，再利用

勾股定理求得PG=/2）

5.如图Z3一5，在口ABCD中，AELBC，AFLCD，垂足分别为E，F，且BE=DF.若AB=5，AC=6，

24

则口ABCD的面积为 .（提示：连接BD）

7.

如图Z3一7，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于E、F，

连接PB、PD. 若AE=2，PF=8.求图中阴影部分的面积.

解: 作PM⊥AD于M，交BC于N，如图Z3一7T.

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，

四边形BEPN都是矩形.

∴S△ADC=S△ABC, S△AMP=S△AEP, S△PHE=S△PBN,

S△PFD=S△PDM, S△PFC=S△PCN,

∴S△DFP=S△PBE=0.5×2×8=8,

∴S阴=8+8=16.

8.如图Z3-8，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，

与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.

（1）求证：△ECG≌△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；

（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

解：（1）∵AF=FG， ∴∠FAG=∠FGA. ∵ AG平分∠CAB， ∴ ∠CAG=∠FGA.

∴ ∠CAG=∠FGA， ∴ AC//FG.

∴ ∠FHD=∠AED， ∵ DE⊥AC，∠AED=90 o ，

∴ ∠FHD=90 o ， ∴ FG⊥DE.

∵ FG⊥BC， ∴ DE//BC， ∴ AC⊥BC.

∴ ∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED.

∵ F是AD的中点，FG // AE， ∴ H是ED的中点.

∴ FG是线段ED的垂直平分线.

∴ GE=GD，∠GDE=∠GED. ∴ ∠CGE=∠GDE，

∴△ECG ≌ △GHD；

（2）证明：过点G作GPLAB于P，

∴GC=GP，而AG=AG，

∴ △CAG ≌ △PAG， ∴ AC=AP，

由（1）可得EG=DG，

∴ Rt△ECG ≌ Rt△GPD， ∴ EC=PD， ∴ AD=AP+PD=AC+EC；

9.如图Z3一9，正方形ABCD，矩形EFGH均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中

点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1.若矩形EFGH的周长为10，面积为6，求点F的坐标.

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数 学专题训练4

相似与三角函数