公式法解一元二次方程
22.2.3公式法解一元二次方程
一、素质教育目标
（一）知识储备点
理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．
（二）能力培养点
通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
二、教学设想
1．重点：运用公式法解一元二次方程．
2．难点：正确确定系数和准确运用公式．
3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．
4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．
三、媒体平台
1．教具、学具准备：自制投影胶片
2．多媒体课件撷英：
【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．
四、课时安排
１课时
五、教学步骤
（一）教学流程
（1）用配方法解2x2-8x-9=0．
（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）
2．课前热身
（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3．合作探究
（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；
二次项系数化为1得x2-4x-9
2
=0；
移项x2-4x=9
2
；
配方x2-4x+22=9
2
+4；
（x-2）2=17
2
，x-2=
34
2
或x-2=-
34
2
；
解得x1=2+34
2
，x2=2-
34
2
．
引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）；
二次项系数化为1得x 2+
b a x+
c a =0； 移项x 2+b a x=-c a
；? 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a
即（x+2b a ）2=22
44b ac a -． （2）师生互动
互动1
师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac ?≥0?，?那么b 2-4ac<0时会怎样呢？
生：当b 2-4ac<0时，24b ac -没有意义，此时一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．
明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，?也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a
=±242b ac a -，所以x=-2b a =242b ac a -即x=242b b ac a
-±-．教师概括出一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的求根公式x=242b b ac a -±-（b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，?直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法． 互动2
P34例6解下列方程：
①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；
③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．
明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（?1）?把方程化为一般形式，?确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．
互动3
请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．
明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）?当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）?配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）?公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．
4．达标反馈
选择题：
（1）用公式法解方程4x2+12x+3，得到（A）
A．x=
36
2
-±
B．x=
36
2
±
C．x=
323
2
-±
D．x=
323
2
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B）A．有两个正实数根B．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值
C．有两个负实数根D．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有两个实数根，则k的取值范围是（C）
A．k>-1
4
B．k≥-
1
4
C．k>-
1
4
且k≠2 D．k≥-
1
4
且k≠2
（2）解答题：
①用公式法解下列方程
⑴6x2-13x-5=0；⑵x（x+8）=16；
⑶2x2-4x=42；⑷-1
2
x2-3x+6=0；
⑸x2=2（x+1）；⑹0.009x2-3x+6=0；
⑺4y2-（2+8）y+2=0．
【答案】⑴5
2
，-
1
3
⑵±42-4 ⑶±6＋2⑷±21-3⑸±3+1
⑹38.784
0.018
±
⑺
(82)66
8
+±
②求关于x的一元二次方程m2-2m+m（x2+1）=x的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】m，-1，m2-m
③不解方程，判别下列方程的根的情况．
⑴2x2+3x-4=0；⑵16y2+9=24y；⑶5（x2+1）-7x=0．
【答案】⑴两不等实根⑵两等根⑶无实根
5．学习小结
（1）?引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．
（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，?只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．
（二）拓展延伸
1．链接生活
链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b2-4ac?值的情况可以判别方程根的情况．当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x的方程x2+2（a+1）x+（a2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a的值．
链接二：根据求根公式x=
24
2
b b ac
a
-±-
（b2-4ac≥0），请同学们计算方程的两根之