第二类曲面积分的计算方法定稿版

第二类曲面积分的计算

方法

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第二类曲面积分的计算方法

赵海林张纬纬

摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公

式，积

分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.

关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形

式

1 引言

曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程

中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面

广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.

2 预备知识

2．1第二型曲面积分的概念

2.1.1 流量问题(物理背景)

设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,

∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ.

若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量

cos cos cos n i j k αβ=++

则

若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.

(1) 分割

将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

(2) 近似

(,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替

i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和

(4) 取极限

2.1.2 定义

.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,

z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,

.S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)

i i i ξηζ.

若

lim

1

T n

i P →=∑,(,)i i

i

ξηζyz

i

S ?0

lim

1

T n

i Q →=+

∑,(,)i i

i

ξηζzx

i S

?0

lim

1

T n

i R →=+

∑,(,)i i

i

ξηζxy

i

S ?存在，

或者

(,,)(,,)(,,)S

S

S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++??????.

S 据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为

2．2 第二型曲面积分的性质

性质1 (方向性) 设向量值函数v 在定向的光滑曲面S 上的第二型曲面积分存在.记S -为与S 取相反侧的曲面，则v 在S -上的第二型曲面积分也存在，且成立S

S

v ndS v ndS -?=-?????.注意这个等式两边的n 是方向相反的.

性质2 （线性性） 若i

i i S

Pdydz Q dzdx R dxdy ++?? (1,2,k i =…，)存在，则有 1

1

1

()()()k k k i i

i i

i i

i i i S

c P dydz c Q dzdx c R dxdy ===++∑∑∑??=1

k

i

i

i

i

i S

c Pdydz Q dzdx R dxdy =++∑??，

其中i c i 12k =?（，

，，）是常数. 性质3 (曲面可加性) 若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且

存在，则有

2.3 第二型曲面积分的数量表达式

记{cos ,cos ,cos }{,,}dS n dS dS dS dS dydz dzdx dxdy αβγ=?==，称dS 为曲面 从而

S

S

A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ?=++????.

即

(,,)S

S

A x y z ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ?=++????，dydz 是dS 在yoz 面上的投影；

dzdx 是dS 在zox 面上的投影；dxdy 在dS 在xoy 面上的投影. 他们的取值可

正、可负、也可为零.如当cos 0α<时，dxdy 取符号.

特殊形式：

(,,)S

P x y z dydz ??称为P 对坐标,y z 的曲面积分；

(,,)S

Q x y z dzdx ??称为Q 对坐标,z x 的曲面积分；

(,,)S

R x y z dxdy ??称为R 对坐标,x y 的曲面积分.

2.4 介绍两类曲面积分之间的联系

与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S 为光滑曲面，并以上侧为正侧，R 为S 上的连续函数，曲面积分在S 的正侧进行.因而有

1

lim

(,,)(,,)xy

n

i

i

i

i T i S

R x y z dxdy R S

ξηζ→==?∑??

(1)

由曲面面积公式1

cos i xy

i S S dxdy γ

?=??

，其中γ是曲面i S 的法线方向与z 轴正向的交角，它是定义在xy i S 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以γ是锐角 .又由S 是光滑的，所以cos γ在闭区域xy i S 上连续.应用中值定理，在xy i S 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角i γ*满足等式1

cos xy i i i S S γ*

?=

?或cos xy i i i S S γ*?=??.

于是(,,)(,,)cos xy i i i i i i i i i R S R S ξηζξηζγ*?=?. n 个部分相加后得

1

1

(,,)(,,)cos xy n

n

i i i i i i i i i i i R S R S ξηζξηζγ*==?=?∑∑ (2)

现在以cos i γ表示曲面i S 在点(,,)i i i x y z 的 法线方向与z 轴正向夹角的余弦，则由

cos γ的连续性，可推得当0T →时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到

(,,)(,,)cos S

S

Q x y z dzdx Q x y z dS β=???? (3)

这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角γ改为γπ±.因而cos γ也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.

同理可证：

(,,)(,,)cos S

S

Q x y z dzdx Q x y z dS

β=???? (4)

其中,αβ分别是S 上的法线方向与x 轴正向和与y 轴正向的夹角.一般地有

[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]S

P x y z Q x y z R x y z dS

αβγ=++?? （5）

3 介绍第二型曲面积分的多种计算方法

在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面,也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之有效的方法.第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用stokes 公式求解，利用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.

3.1 直接利用定义法进行计算

若(,,)R x y z 在光滑有向曲面:S ()()z ,,,xy z x y x y D =∈上连续,则(,,)d d S

R x y z x y ??存

在,且有计算公式:

其中xy D 表示S 在xoy 面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“+”号，取下侧时取“-”号.这一公式表明，计算曲面积分(x,y,z)dxdy S

R ??时，只要把其

中变量z 换为表示∑的函数(,)z z x y =，然后xy D 在S 的投影区域上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.

类似地，如果曲面∑的方程(,)y y z x =，则

如果曲面∑的方程为(,)x x y z =,则

例1 计算积分：

其中S 是球面2221x y z ++=在第一、八卦限的部分，取球面外侧. (如图1)

解 设S =12∑?∑,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:

1∑∶ 1z

2∑∶ 2z =

它们在xoy 面上的投影区域xy D 都是单位圆在第一象限的部分. ∴ S

xyzdxdy ??1

xyzdxdy ∑=??+2

xyzdxdy ∑??

图1

计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记口诀：“一代二投三定向”.请看下例：

例2 计算:

2S

I x dydz =??+2y dzdx +2z dxdy ，

其中曲面S 为球面2221x y z ++=限于220x y x +-≤，0z ≥内的部分外侧 (如图2).

解 对于2S

x dydz ??，要将S 投影到yoz 面上，且S 方程表示

为

x =取前侧,由222221,0x y z x y x ++=+-=，消去x 得

y =±，因此投影区域yz D ：—

y ≤≤

，于是

计算2S

y dzdx ??,要将S 投影到zox 面上，此时S 方程表示为

y =不是单值的)，再把S 分为左片(即0y <的部分)且取左侧和右

片(即0y >的部分)且取右侧，S 在zox 面上投影域为zx D

：≤z

≤

注意投影区域不是一条曲线)，因此

2zx

D dzdx =-??

+2zx

D dzdx ??

对于2S

z dxdy ??,要将S 投影到xoy 面上，投影域为xy D ：220x y +≤，此时S

方程应

为z =，且取上侧，于是

2S

z dxdy ??

=2

xy

D dxdy ??

= cos 22

52(1)32d r rdr π

θ

θπ-=

??

，故38510532

I π=+. 图2

3.2 利用参数方程的计算方法

如果光滑曲面S 由参数方程给出：

:(),()()D S x x u v y y u v z u v u v ===∈，，，z ，），（，.

若在D 上各点他们的函数行列式

(,)(,)(,)

,,(,)(,)(,)

y z z x x y u v u v u v ??????不同时为零，则分别有

(,)

((,),(,),(,))

(,)S

D

y z Pdydz P x u v y u v z u v dudv u v ?=±????? (1)

(,)

((,),(,),(,))

(,)

S

D

z x Qdzdx Q x u v y u v z u v dudv u v ?=±????? (2)

(,)

((,),(,),(,))

(,)

S

D

x y Rdydz R x u v y u v z u v dudv u v ?=±????? (3) 注 (1),(2),(3)三式中的正负号分别对应曲面S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.

(4)

例如若S 为：()

,()z z x y x y D =∈，，，则S 可以看成参数为,x y 的参数方程确定的曲面，则由于

(,)(,)(,),,1(,)(,)(,)

x y y z z x x y z z x y x y x y ???=-=-=???， 所以

由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用

的方法更简便.

下面举例说明：

例 1 计算

3S

x dydz ??，

其中S 为椭圆面222

2221x y z a b c

++=的上半部分并选取外侧.

解 把曲面表示为参量方程：

(0,02)2

π

?θπ≤≤

≤≤.

由(1)式有

其中

cos sin sin cos (,)sin 0

(,)

b b y z J

c ?θ

?θ

??θ?=

=

-?=2sin cos bc ?θ，

积分是在S 的正侧进行.由上述的注，(4)式右端正号，即

例 2 计算积分

3

2222

()

S

xdydz ydzdx zdxdy

x y z ++++??

，

S 为曲面22

(2)(1)15169

z x y ---=+

的上侧. 解 取

,u v z ?==，则

x ?=，y ?=，z z =

取S *

为曲面22

(2)(1)15169

z x y ---=+

的下侧.则 20

1

R

R d dz R

π

?-=??

. 4π=.

从而

32222

()

S

xdydz ydzdx zdxdy

x y z ++++??

2π=.

例3 计算

其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向.

解1 S 可表示为z =(,)x y D ∈ 其中

由于积分按S 上侧进行，且(,)(,)x y J x y ?=?=10

01

=1，故(4)式应取正号， 而

所以

解

2 由于S 可表示为sin cos ,sin sin ,cos x y z ?θ?θθ===，

0,022

π

?θπ≤≤

≤≤

所以

本例计算虽然简单，但不难看出用公式(4)计算时不必对S 分划并讨论符号代之以在zox 平面上二重积分.

例4 计算

其中，S 是球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=，且设积分是沿球面外侧.

解 S 可表示为

0,02?πθπ≤≤≤≤.

由于在第一象限积分按上侧积分，而J = 2sin cos R ??0>，故(4)应取正号.

因为

22

2

2

2

(sin cos )sin cos S

x dydz d a R R d π

π

??θ?θθ=+???

?

=383

R a

π

类似可求得 2

3S

I y dzdx =??=383R b

π，所以31238()3R I I I I a b c π=++=++.

3.3 单一坐标平面投影法

设光滑曲面S ：(,)z z x y =,(,)xy x y D ∈（xy D 是S 在xoy 平面上的投影区域），函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在S 上连续，(,)z z x y =在xy D 上具有一阶连续偏导数，则

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++??

[(,,)()(,,)()(,,)]xy

x y D P x y z z Q x y z z R x y z dxdy =±-+-+??，

当S 取上侧时，上式右边取正号；当S 取下侧时，上式右边取负号. 若S 的方程为()()x x y y y x ==,z ，z ，，也有类似的公式：

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

++??[(,,)(,,)()(,,)()]yz

y z D P x y z Q x y z x R x y z x dydz =±+-+-??；

当S 取前侧时，上式右边取号；当S 取后侧时，上式右边取负号.

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

++??[(,,)()(,,)(,,)()]x z Dzx

P x y z y Q x y z R x y z y dzdx =±-++-??.

当S 取右侧时，上式右边取正号；当S 取左侧时，上式右边取负号.

例1 计算积分

()()()S

y z dydz z x dzdx x y dxdy -+-+-??，

其中S 为圆锥面222x z y +=介于0,0y h z ≤≤≥部分的上侧.

解 S 的方程为y =

原式()()()()()x z S

y z y z x x y y dzdx =--+-+--??

34

3

h =-.

例 2 求

()()()S

y z dydz z x dzdx x y dxdy -+-+-??，

其中S 为锥面z =(0)z h ≤≤部分的正侧.

解 S ：z =(0)z h ≤≤，则

x z =

y z =

.

又S 在平面上的投影D ：222x y h +≤.因为S 取下侧，所以

最后一个等号用到二重积分的对称性质.

3.4 分项投影法

分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：

分别将右式三项投影到,,yoz zox xoy 平面上，由于

分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用.

计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分项投影，如一个完整的球投影到xoy 平面上，上下半球曲面要分别投影计算，计算中注意利用方向性等性质以简化计算.

例1 计算积分

S

yzdydz zxdzdx xydxdy ++??，

其中S 是四面体()0x y z a a ++=>，0,0,0x y z ===的表面，外法线是正向. 解 这是三个第二型曲面积分之和.首先计算第二型曲面积分S

xydxdy ??，

而曲面S 是由四个有向的三角形区域：

()()()()BOC C ABC AOB OA 上，下，后，左组成.其中BOC （后)与()C OA 左在XY 坐标面的面积微元0dxdy =，()()ABC AOB 上，下在XY 坐标面的

投影都是三角形区域()00D x y x y a ==+=，，围成，从而 00D

D

xydxdy xydxdy =-++????.

同理可得

0S

S

yzdydz zxdzdx ==????，

于是

0S

yzdydz zxdzdx xydxdy ++=??.

例2 计算第二型曲面积分

()()()S

I f x dydz g y dzdx h z dxdy =++??，

其中S 是平面六面体(0,0,0)x a y b z c ≤≤≤≤≤≤的表面并取外侧为正向，

(),(),()f x g y h z 为S 上的连续函数.

解 记 1:S x a = （前侧为正向），2:0S x = （后侧为正向) 积分()S

f x dydz ??在另外四个曲面上的积分为零，故

由于变量的对称性，类似可得

所以

3.5 利用高斯公式（Gauss)化为三重积分的方法

格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式.

定理：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成.若函数,,P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则

(

)V

S

P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z

???++=++????????，

其中S 取外侧，上式称为高斯公式.

例1 计算曲面积分

()[2sin()](3)x y S

I x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +=+-+++++??，

其中S 为曲面1x y z y z x z x y --+-++-+=的外侧面，外法线为正向.

解 由题意得知， ,2sin(),3x y P x y z Q y z x R z e +=+-=++=+，

利用高斯公式，

1,2,3P Q R x y z

???===???，则 (

)(123)6V

V V

P Q R I dxdydz dxdydz dxdydz x y z ???=++=++=????????????. 其中，V 为S 包围的区域 1.x y z y z x z x y -++-++-+≤作旋转变换

,,.u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+则V *为S *包围的区域1u v w ++≤，而V *

是一个对称的八面体，它在uvw 平面的第一卦限部分为1u v w ++=及坐标平面

0,0,0u v w ===所围成的区域，且有

1

11

(,,)1

114(,,)

1

1

1

u v w x y z -?=-=?-，(,,)11

(,,)(,,)4

(,,)

x y z J u v w u v w x y z ?===???.

所以

例2 设()f u 有连续导数，计算

33311[()][()]S

y y

x dydz f y dzdx f z dxdy z z y z

++++??

，

其中S 为0z >的锥面2220x y z +-=与球面2221x y z ++=，2224x y z ++=所围立

体的表面外侧(如图所示).

解 因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面S 为闭曲面，考虑用高斯公式.

∵3P x =，31 ()y Q f y z z =+，31 ()y

R f z y z

=+ 在所围区域V 上满足高斯公式的条

件（0z =的点不在V 内)，故有

3.6 利用两类曲面积分之间的联系

只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的），就可以

求出法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看

下例：

例1 计算积分

()()()S

I y z dydz z x dzdx x y dxdy =-+-+-??，

其中S 为半球：2222x y z Rx ++=，(0)z >被柱面222x y rx +=，(0)R >截下的部分. (如图所示)