概率论试题与答案

一、填空题：(每题4分，共24分)

1．已知事件A 与B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，则概率()P B A 为 。

2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在

4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为 ， 3．若有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，则η～N （ ， ）

4．若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,则参数λ＝

5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<

η的概率密度为 。

6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ已知，12,,

n X X X 为来自总体的样本，则

统计量∑=-n

i i X 12)(

σ

μ

服从 分布。

二、选择题：(每小题4分，共20分)

1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的是（ ） A.()ABC AB C

B = B.A B

C A B C =

C.()A B A B -=

D.()()()A B C AC BC =

2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概

率是（ ）。

A.11

k m n m

k

n

C C C -- B. k n m C C. k n k m

n C C --1 D. 1r n

m k r n

C C =∑

3. 设EX μ=，2DX σ=，则由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥（ ） A.

1416 B. 1516 C. 15 D. 1615

4. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为：

则协方差),cov(ηξ=（ ）

A.-0.2

B. –0.1

C.0

D. 0.1 5. 设总体 ξ～2(,)N μσ ，（12,,

n X X X ）是 ξ 的简单随机样本，则为使

1

2

11

?()n i i

i C X

X θ

-+==-∑为2σ的无偏估计，常数C 应为( ) A.

1n B. 11n - C. 12(1)n - D. 12

n -

三、计算题：

待用数据（0.9750.9750.950.95(35) 2.0301,(36) 2.0281,(35) 1.6896,(36) 1.6883t t t t ====，

8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ975.0)96.1(=Φ,95.0)645.1(=Φ）

1．三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。若无人射中鸟不会坠地；只有一人射中的鸟坠地的概率为0.2；两人射中的鸟坠地的概率为0.6；三人射中的鸟一定坠地的； (1) 当三个人同时向鸟射击实，问分别有一人、两人、三人射中鸟的概率？(2) 三人同时向鸟射击一次,求鸟坠地的概率？

2．已知随机变量ξ的概率密度为()x

x Ae ?-= ，x -∞<<+∞

求：（1）系数A ；（2）求概率(01)P ξ<<;(3) ξ的分布函数。

3．已知随机变量(,)X Y 的概率密度

(34)0,012(,)0x y x y e f x y -+≤≤?=?

?

其他

求(1)二维随机变量(,)X Y 的边缘概率密度; (2)Y X + 的概率密度。 4．设总体ξ～],0[θU ，待定参数0>θ。12,,

n X X X 是来自总体的样本。 (1)

求θ的极大似然估计；（2）求θ的矩估计θ?；（3）证明：矩估计量θ?为参数θ的无偏估计。（14分）

5．（共10分）某中学入学考试中，设考生的数学考试成绩服从正态分布，从中

任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。 (1) 问在0.05的显著性水平下，是否认为全体考生的数学平均成绩为70分？ (2) 给出全体考生的数学平均成绩在置信水平为0.95下的置信区间。 答案

一．1． 0.5 ； 2. 25667； 3 . （-1，4）； 4. 2; 5. ??

?

??<<-=其他，

,

0,10,11

)(y y

y p

6. 2()n χ.

二．1. B; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C.

三．1 解：设{}i A i =第个人射中，（i=1,2,3）

，由题意知 123()0.5,()0.6;()0.7P A P A P A ===

（1）又设B 0={三人都射不中}；B 1={一人射中}；B 2={恰有两人射中}；B 3={三人同时射中}，C={鸟坠地}

0123()0,()0.2,()0.6,()1,P C B P C B P C B P C B ====0()0.06,P B =

1()0.29,P B = 2()0.44,P B = 3()0.21P B =

（2）由全概公式

3

0()()()02.53(2i i i P C P B P C B ===∑分）

2．解：（1）由于()1x

X dx Ae dx ?+∞

+∞

--∞

-∞

==?

?

21x A e dx +∞-=? 故1

2

A =

（2）(01)P ξ<<11

100111()221211x x

e e dx e ----==-=?（分）（分）（分） （3）0110122()111210222222

x x

x x x x x x x x e dx e x F x e dx e dx e dx e x -∞--∞---∞?=

3．（1）(34)300123()(,11)01x y x x x e

dy e f x f x y dy +∞

-+-+∞

-∞

?≤=?==???

??

（分）（分）（分）

其他

(34)400124()(,1101)x y y y y

e

dx e f x f x y dy +∞

-+-+∞

-∞

?≤=?==?

??

??

其他

（分）（分）（分）

(4)

0,0()(,)12,022z z x z f z f x z x dx e dx z +∞---∞

?

=-=?≥???

?（分）（分） ???

≥-<=--0

,12120,043z e e z z

z 4．似然函数为n

L θ

θ1

)(=， θθln )(ln n L -=

令

0)(ln <-=θ

θθn d L d 解得i

n i X ≤≤=1max ?θ （2） 因为2

θ

=

EX ，故矩估计量得X 2?=θ

θθθ====∑∑==n i n i i n EX n X E E 112

222?。

5．解：（1）设考生的数学考试成绩作为总体2~(,)X N μσ,由题意知

66.5,15X S ==。

01:70,:70.H H μμ=≠

构造统计量X T =

且4.13615|705.66|||=?-=T 而0.97512

(1)(35) 2.0301t

n t α-

-==，即12

(1)T t

n α

-

<-

故可以认为这次全体考生的数学平均成绩为70分。

（2）

因为T =

～(1)t n -故查表满足

{}12

(1)

1P t

n α

α-

≤-=-的临

界值得到置信水平为0.95的区间

1122((X t n X t n αα

--??--+-?? 即区间]57525.71,42475.61[。

一、 填空题（共20分，每小题4分）

1. 设事件,A B 仅发生一个的概率为0.3,且()()0.5,P A P B +=则,A B 至少有一个发生的概率为 。

2. 设离散型随机变量X 的分布函数为

022()2351

3x F x x x

<-???

=-≤

??≤? 则X 的分布律为

3. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计得到

(|3|4)P X -≥≤ 。

4. 若随机变量~[1,6]U ξ,则方程210x x ξ++=有实根的概率为 。

5. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体)4,0(N 的一个简单随机样本， 则当

a = ,

b = ,时统计量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从2χ分布。

二、 选择题（共20分，每小题4分）

1．若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ ） 。

A ．0

B ．X

C ．EX

D ．2)(EX 2．设A 和B 是任两个概率不为0的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 和B 不相容

（B ）A 和B 相容

（C ）()()()P AB P A P B =

（D ）()()P A B P A -=

3. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（ ）。

A ．2

2

)

(b a b + B ．)1)(()1(-++-b a b a b b C ．11-+-b a b D ．)(b a b + 4. 在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（ ）

A. 2,01

()0,x x f x <

其他

B ．2

,01

()0

,x x f x ?<<=?

?其他

C ．cos ,0()0,x x f x π

≤≤?=??其他 D ．2,0()0,0x e x f x x -?>=?≤?

5．若2

1

),5,2(~),3(~,-=Y X N Y P X ρ,且22+-=Y X Z ，则DZ=( )

A ．158-

B ．1528+

C ．1513-

D ．15223+

三、 计算证明题 ( 共60分 )

1．（10分） 设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。 （1） 求任取一个零件是废品的概率

（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的

概率。

2．（14分）若D 是以点（0，0），（-1，1），（1，1）为顶点的三角形内部区

域，二维随机变量（,X Y ）在区域D 内服从均匀分布 （1） 求出（,X Y ）的联合概率密度函数（4分） （2） 1()2

P Y x ≤ （4分）

（3） 求Z X Y =+概率密度的函数 （6分）

3．（12分）假设生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件产品的组装时间平均为5分钟，各件产品的组装时间彼此独立。试用中心极限定理求：

（1） 组装100件产品需要6到10小时的概率；（6分）

（2） 以95%的概率在8个小时之内最多可以组装多少件产品？（6分） (9974.0)8.2(=Φ,(1)0.8413,(2)0.9772,(1.65)0.95,(3)0.9987)Φ=Φ=Φ=Φ=

4．设总体X 的概率密度为

???

??<<-=--其他，，0

1011),(12x x x f θθ

θθ

其中1>θ是未知参数，),,,(21n x x x 是总体X 的样本观测值， 求：(1) θ的矩估计 （4分）

(2) θ的极大似然估计L ^

θ，并问L ^

θ是θ的无偏估计吗？请说明理由。（8分）

5．（12分）机器自动包装某食品，设每袋食品的净重服从正态分布，规定

每袋食品的标准质量为500g 。某天开工后，为了检查机器是否正常工作，从包装好的食品中随机抽取9袋检查，测得净重为

497, 507, 510, 475, 488, 524, 491, 515, 512

在下列两种情况下检验包装机是否工作正常（显著性水平为0.05α=）。 (1) 若2σ未知，该选用什么统计量，什么分布？

(2) 若2σ=16，通过Excel 计算得到以下表格，问判断包装机是否工作正

常。 z-检验: 双样本均值分析

变量 1 变量 2 平均 502.1111111 500

已知协方差 16 1E-11 观测值 9 1

假设平均差 0 Z 1.583333333

P(Z<=z) 单尾 0.056672755 z 单尾临界 1.644853627

P(Z<=z) 双尾 0.113345509 z 双尾临界 1.959963985

备查的临界值

答案

一．1．0.4; 2. 23(2),(3)55

P X P X =-===; 3. 163; 4. 0.8; 5. 201, 100

1. 二．1.C;

2. D;

3.D;

4. A;

5. D.

三．1 解：(1)设B ={取出的零件是废品}，1A ={零件是第一台机床生产的}， 2A ={零件是第二台机床生产的}，则122

1(),()33

P A P A ==, 由全概率公式得：

112221()(|)()(|)()0.030.060.0433

P B P B A P A P B A P A =+=?+?= (2)222(|)()0.02

(|)0.5()0.04

P B A P A P A B P B =

==

2．解：(1) 联合概率密度为 1(,)(,)0其他x y D

p x y ∈?=?

?

(2) 1()02

P Y X ≤=

(3)根据卷积公式()(,)Z p z p x z x dx +∞

-∞=-?，得：

21

00102()(,),022

002其他

z Z z z z z p z p x z x dx dx z z +∞-∞-

??

-

≤

??

3 解：（1）令i ξ为第i 件产品的组装时间，则1

~()5

i E ξ

9746

.0)8.2(1)2()8.2()2(}5

1005

10060051005

10051005

100360{

}600360{2

2

100

1

21001

=+-=--=??-≤

??-≤

??-=≤≤∑∑==ΦΦΦΦi i

i i P P ξ

ξ （2

）1

5(480)0.95n

i

n

i i n

P P ξ

ξ=-≤=≤

=Φ=∑∑

得81n =

4 解：（1）21

1

111

10

011111011EX x x dx x dx x θθ

θθθθθθ

θ----====--?? ∴矩估计为1

X

θ=

（2）设12,,...,n X X X 是来自总体的样本，1,...,n x x 为相应的样本观测值

似然函数为：22111111()()1

1n

n n i i i i L x x θθ

θθ

θθθ----====--∏

∏ n

i i L n x θθθθ=-=--+-∑1

2ln(())ln(1)ln()1 令

n

i i x d L n

d θθθθ==--=--∑12

ln()ln(())01(1) 解得：n

i

i L x n

θ==-

∑^

1

ln()

1

2221

1111111

0011101

E X x x dx x x x x dx θθθ

θ

θθθ

θ---++----=?=?-=--??(ln )ln ln

^

1

1()1(ln )1(1)n

L i i E E X n θθθ==-=--=∑

^

L θ∴是θ的无偏估计

5解： （1）2σ

未知时要选的统计量为：1

n T -=

8(即n-1)的t 分布 （2）令01:500,500H H μμ=≠：

从表格可以看出，0.113345509>=0.05p α=,

∴不拒绝0H

(或则，z=1.583333333<1.959963985 即观测值落在接受域 ∴不拒绝0H ）

一. 填空题（共20分，每空格4分）

1.设事件A,B 相互独立，且5.0)(,

2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ?＝ 2.设随机变量ξ的分布函数为F(x)，则18+=ξη的分布函数为

3.设θ是[]ππ,-上均匀分布的随机变量，θηθξcos ;sin ==，求ηξ,

的相关系数

4．设随机变量ξ的期望ξE 与方差ξD 都等于λ，又3)]4)(3[(=--ξξE ，则λ＝ 5. 设离散型随机变量ξ的分布函数为

??

?

??≥<≤--<=0

10107

.0100)(x x x x F

则ξ的分布律为 。 二、选择题（共16分，每小题4分）

1．设总体),(~2

σμξN ，（n X X X ,,,21 ）是ξ的样本， ∑==n

i i X n X 1

1是ξ的样

本均值，以下( )是总体方差2σ的无偏估计.

A ．2121X X n n i i -∑=

B ．212

11X n

n X n n i i --

∑= C ．21211X X n n i i --∑= D ．21

2

111X n n X n n i i ---∑= 2．设),5(~),1,0(~2

χηξN ηξ,相互独立,则

5

ηξ

～（ ） A.t(4) B.t(5) C.F(2) D. )5(2

χ 3. 设~X ),(2

σμN ，~Y )(λE ，则不正确的是（ ）

A ．λ

μ1

)(+

=+Y X E B ．2

2

1

)(λ

σ+

=+Y X D

C ．2

22222

)(λ

μσ+

+=+Y X E D ．2

22σμ+=EX ，2

22

λ

=EY

4. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，

则第二次取出黑球的概率为（ ）。

A ．)(b a a +

B ．11-+-b a a

C ． )1)(()1(-++-b a b a a a

D ．2

2)

(b a a +

三、判断题（共4分，每小题2分。对"√"，错"×"）

1.( )设X ～)1,0(N ，则2

1

)0()0(=

≤=

1. 如果P(A)=P(B)=P(C)=y,计算()P A B C --，并求y 的最大值

2. 如果P(A)=P(B)=P(C ）<

21,且16

9

)(=??C B A P ,求P(C) 五、（共10分）一台机器制造直径为ξ的轴，另一台机器制造内径为η的轴套，设

()ηξ,的密度函数为2500,0.490.51;0.510.53

(,)0,

x y p x y <<<

?其它

(1)求ηξ-的概率密度函数

(2)如果轴套内径比轴的直径大于0.004,但不大于0.036,二者能配合成套，

现随机选取，问二者配合成套的概率？

六、（共10分）设二维随机变量),(ηξ的联合密度为

???>>=--其它,00

,0,),(43y x ke y x p y x

1.求常数k ?

2.求相应的分布函数？

3.求(01,02)P ξη<<<

七、（共10分）如果在1500件产品中有100件不合格品，从中任意抽取15件进行检查，求从中查出的不合格品数的数学期望？ 八、（共10分）为检验饮用水合格率，随机抽取50升，化验每升水中A 种细菌的

大似然估计的方法）？

设装配时间总体服从正态分布2

2

(,),,

N 均未知。是否可以认为装配时间的

均值显著大于10？（取

0.05）

备查的临界值

通过Excel 计算得到以下表格：

列1

平均 10.2 标准误差 0.114017543 中位数 10.15 众数 9.6 标准差 0.509901951 方差 0.26 峰度 -0.817841244 偏度 0.521388375 区域 1.6 最小值 9.6 最大值 11.2 求和 204 观测数 20

答案：

一．1．4/9； 2. )8

1

(-y

F ; 3. 0; 4. 3; 5. 7.0)10(=-=ξP ,3.0)0(==ξP

二．D ， B ， B ， A 三．对，错

四．(1)由于A 、B 、C 两两独立,则满足

222()()(),()()(),()()(),

P AB P A P B y P BC P B P C y P AC P A P C y ====== 又ABC =?则()0P ABC =,

2()()()()()2000.5P A B C P A P AB P AC P ABC y y y --=--+=-≥?≤≤,故y 的

最大值为0.5. (2)

2()()()()()()()()93()3[()]()0.25,16

P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC P C P C P C =++---+?=-?=

而另外的一个解()0.750.5P C =>舍去.

五．解：(1) ()()(,)y x z

F z P z p x y dxdy ηξ-≤=-≤=??

当0z <时，()0F z =； 当00.02z ≤<时，

0.51

0.51

20.510.51

0.51()(,)25002500(0.51)1250z x

z

z

y x z

F z p x y dxdy dx dy z x dx z +---≤==

==+-=???

?

?

当0.020.04z ≤<时，

0.530.51

0.53

0.49

0.51

0.530.51

0.530.49

()(,)250025002500(0.51)25000.02(0.04)1250(0.04)

z

z x

z

y x z z

F z p x y dxdy dx dy dx dy

z x dx z z z -+--≤-===+=+-+-=-???

?

?

?

?

当0.04z ≥时，()1F z =

ηξ-的概率密度函数2500,

00.02()502500,0.020.040,z z p z z z ≤

=-≤

其他

0.0360.020.0360.004

0.004

0.02

22(0.004

0.036)

()2500(502500)(0.02)(0.004)2500

0.96P p z dz

zdz

z dz

六．（1）3430

4

1212

x y

x

k

k ke dxdy

e

dx

k

（2）0,0x

y

时

340

03400

34(,)

1212(1)(1)

x y

t s

x y t

s

t

s

F x y e

dtds

e dt

e

ds e e

（3）(01,02)P ξη<<<< 3

8

11

(1,2)(0,2)(1,0)

(0,0)

1F F F F e

e

e

七．解：设

1

1215

i

i i

i 第个产品为不合格

，，，第个产品为合格

则i

的分布律为

故115

i

E

。 设为查得的不合个品数，则1

n

i i

E =1

。

八．解：设一升水中A 细菌的个数~P （）分布

故01e

P

k k k

（=k ）=，，，，！

又E ，故求的极大似然估计

似然函数

1

i

i

x n

n i i i e

e

L x x

i

x n i=1

（

）=！

！

两边取对数，对求导，令其为0 解

1

九．解：0110H H ：，：>10

构造T 统计量/x t

t s n

（n-1）

n=20,查得0.050.05(201)(19)

1.7291t t .算得10.2,0.5099x

s

知的T 统计量观测值为 1.7540.5099/20

t >1.7291

故拒绝0H .