2019-2020学年四川省成都市石室中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年四川省成都市石室中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集U=R，集合A={x|?1

A. (?5,3)

B. (?∞,3)

C. (?1,3)

D. (0,3)

2.下列函数中既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()

A. y=cosx

B. y=x12

C. y=2|x|

D. y=|lgx|

3.下列各组函数是同一函数的是()

A. f(x)=√?x3与g(x)=x√?x

B. f(x)=(2x?1)(x?2)

x?2

与g(x)=2x?1

C. f(x)=x0与g(x)=1

D. f(x)=x2?2x?1与g(t)=t2?2t?1

4.函数f(x)=6

x

?log2x的零点所在区间是()

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (3,4)

D. (4,+∞)

5.函数f(x)=√2?x+lg(x+1)的定义域为()

A. [?1,2]

B. [?1,2)

C. (?1,2]

D. (?1,2)

6.已知a，b>0，且a，b≠1，(e a)b=e，函数f(x)=log a x与函数g(x)=b?x的图象可能是()

A. B.

C. D.

7.已知a=1.50.2，，c=0.21.5，则()

A. a>b>c

B. b>c>a

C. c>a>b

D. a>c>b

8.已知幂函数f(x)=x n的图象过点(8,1

4

)，且f(a+1)

A. (?3,1)

B. (?∞,?3)∪(1,+∞)

C. (?∞,1)

D. (1,+∞)

9.若函数在[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是()

A. a>1

B. 1

2

1

C. 1

4

8

10. 函数f(x)={2x 2?4x +1,x >0

2×3x ,x ≤0

，则y =f(x)的图象上关于原点O 对称的点共有( )

A. 0对

B. 1对

C. 2对

D. 3对

11. 偶函数y =f(x)，当x ∈[0,∞)时，f(x)=x ?1，则f(x ?1)<0的解集为( )

A. {x|?1

B. {x|1

C. {x|0

D. {x|?2

12. 已知f(x)={3x (x ?0)

|log 2x|(x >0)

，则方程f(f(x))=1的实数根的个数是( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如果角α是第二象限角，则π?α的终边在第________象限． 14. 函数y =

2x?1x+2

的值域是____________

15. 已知函数f(x)=ax 3?bx +1，a ，b ∈R ，若f(2)=?1，则f(?2)=______． 16. 有下列说法：

①函数y =?cos2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=

kπ2

,k ∈Z}；

③在同一直角坐标系中，函数y =sinx 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点； ④函数f(x)=4sin(2x +π

3)(x ∈R)可以改写为y =4cos(2x ?π

6)； ⑤函数y =sin(x ?π

2)在[0,π]上是减函数． 其中，正确的说法是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设集合A ={y|y =2x ,1≤x ≤2}，B ={x|log 3x <1}，C ={x|t +1

(1)求A ∩B ；

(2)若A ∩C =C ，求t 的取值范围．

18. 已知二次函数f(x)=(lg a)x 2+2x +4lg a 的最小值为3，求(log a 5)2+log a 2·log a 50的值．

19. 某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，

售价为x 元/件，其中10≤x ≤30，且x ∈N ?。根据市场调查，当10≤x ≤15，且x ∈N ?时，每月的销售量?(万件)与(18?x)2成正比；当15≤x ≤30，且x ∈N ?时，每月的销售量?(万件)与1?10x

成反比。已知售价为15元/件时，月销售量为9万件。

(1)求该公司的月利润f(x)(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f(x)最大？并求出最大值。

20. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)=(1

2)x ?

x+33

．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2?2t)+f(2t 2?k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．

21. 已知函数f(x)定义在[?1,1]上的奇函数，且f(1)=1，对任意a,b ∈[?1,1],a +b ≠0时，有

f (a )+f (b )a+b

>0成立．

(1)判断f(x)的单调性，并证明； (2)解不等式f (x +1

2)

x?1)．

22. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx 为偶函数，?(x)=log 4(3?2x +a)．

(1)求实数k 的值；

(2)当a >?3时，求函数y =?4f(x)?kx +16?(x)在x ∈[0,1]上的最小值g(a)．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键，属于基础题．

根据补集交集的定义进行计算即可．

【解答】

解：?U B={x|x<3}，

则A∩(?U B)={x|?1

故选：C．

2.答案：C

解析：

【分析】

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．

【解答】

解：A.y=cosx是偶函数，在区间[0,1]上单调递减，故A不正确．

B.y=x12定义域为[0,+∞)，不是偶函数，故B不正确．

C.y=2|x|是偶函数，当x≥0时y=2x在区间[0,1]上单调递增，故C正确．

D.y=|lgx|定义域为(0,+∞)不是是偶函数，故D不正确．

故选C．

3.答案：D

解析：解：对于A：f(x)=√?x3与g(x)=x√?x定义域都是为x≤0，但两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，故A不正确．

=x+1(x≠2)，与g(x)=2x+1(x∈R)的定义域不同，∴不是同一函数；对于B：f(x)=(2x?2)(x?2)

x?2

故B不正确．

对于C：g(x)=1(x∈R)，与f(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同，∴不是同一函数．故C不正确．对于D：f(x)=x2?2x?1的定义域是R，g(t)=t2?2t?1的定义域是R，两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，故D正确．

故选D．

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．

本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题．

4.答案：C

解析：

【分析】

本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．根据连续函数

f(x)=6

x ?log2x，可得f(3)，f(4)的函数值的符号，由此得到函数f(x)=6

x

?log2x的零点所在的区

间．

【解答】

解：∵连续减函数f(x)=6

x

?log2x，

∴f(3)=2?log23>0，f(4)=6

4

?log24<0，

∴函数f(x)=6

x

?log2x的零点所在的区间是(3,4)，

故选C．

5.答案：C

解析：解：∵函数f(x)=√2?x+lg(x+1)，

∴{2?x≥0

x+1>0，

解得?1

∴函数f(x)的定义域为(?1,2]．

故选：C．

根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．

6.答案：B

解析：

【分析】

本题考查了函数图象的应用，涉及到对数函数、指数函数以及互为反函数性质的应用．

通过化简，得到f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，故f(x)与g(x)的图象关于直线

y=x对称，结合选项得到结果．

【解答】

解：∵(e a)b=e，

∴ab=1，

∴b=1

a

，

∴g(x)=b?x=a x，

∴f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，

∴f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，

故选B．

7.答案：D

解析：

【分析】

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．

【解答】

解：，∴a>c>b，

故选D．

8.答案：B

解析：

【分析】

本题主要考查了指数函数及其性质，属于基础题．

由幂函数f(x)=x n的图象经过点(8,1

4)，求得8n=1

4

?23n=2?2?n=?2

3

，进而求得答案．

【解答】

解：因为幂函数f(x)=x n的图象经过点(8,1

4

)，

所以8n=1

4?23n=2?2?n=?2

3

，

因为f(x)=x?23是偶函数，且在(0,+∞)上递减，

在(?∞,0)上递增，

所以由f(a+1)2，

解得a1．

故选B．

9.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查利用函数的增减性求参数．

【解答】

解：根据题意得，当a>1时，函数g(x)=ax2?x在区间[2,4]上是增函数，

所以{

1

2a

≤2

g(2)=4a?2>0

，解得a>1

2

，

所以a>1；

当0

所以{

1

2a

≥4

g(4)=16a?4>0

，解得无解，

综上所述，实数a的取值范围为：a>1．

故选A．

10.答案：C

解析：解：当x>0时，令g(x)=?f(?x)=?2?3?x，作出f(x)和g(x)在(0,+∞)上的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象有两个交点，

∴f(x)的图象上关于原点O对称的点共有2对．

故选：C．

作出f(x)在y轴左侧的函数图象关于原点对称的图象，根据图象交点个数得出结论．

本题考查了函数图象的对称性应用，函数图象变换，属于中档题．

11.答案：C

解析：解：∵f(x)是偶函数，

∴f(x)=f(|x|)，

∴f(x?1)=f(|x?1|)，

∴当x∈[0,+∞)时，f(x)=x?1，

∴f(x?1)=f(|x?1|)=|x?1|?1<0，

∴|x?1|<1，

∴0

∴f(x?1)<0的解集为{x|0

故选：C．

首先，根据f(x)是偶函数，得到f(x)=f(|x|)，从而得到f(x?1)=f(|x?1|)=|x?1|?1<0，从而解得结果．

本题重点考查了函数的基本性质，属于中档题．

12.答案：C

解析：

【分析】

本题考查了函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，属中档题．

求出f(x)=1的解，再根据f(x)的图象得出解的总个数．

【解答】

解：令3x=1得x=0，

令|log2x|=1得x=2或x=1

2

，

∵f(f(x))=1，

∴f(x)=0或f(x)=2或x=1

2

，

作出f(x)的函数图象如图所示：

由图象可知f(x)=0只有一解，

f(x)=2有两解，f(x)=1

2

有三解，

∴f(f(x))=1共有6解．

故选C．

13.答案：一．

解析：

【分析】

本题考查的象限角，属于基础题．

【解答】

解：∵π

2

+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z)，

∴?π?2kπ

2?2kπ(k∈Z)，?2kπ<π?α<π

2

?2kπ(k∈Z)，

∴π?α的终边在第一象限．

故答案为一．

14.答案：{y|y≠2}

解析：

【分析】

本题主要考查了分式函数的值域，解这一类值域问题常常利用函数的有界性进行解题，属于中档题．【解答】

解：y=2x?1

x+2=2(x+2)?5

x+2

=2?5

x+2

，

∵

5

x+2

≠0

∴y≠2，

故答案为{y|y≠2}．

15.答案：3

解析：

【分析】

本题考查函数的奇偶性的性质，函数值的求法，考查计算能力．

直接利用已知条件求出8a?2b的值，然后求解f(?2)..

【解答】

解：函数f(x)=ax3?bx+1，a，b∈R，

若f(2)=?1，

可得8a?2b+1=?1，

即：8a?2b=?2，

f(?2)=?(8a?2b)+1=2+1=3．

故答案为3．

16.答案：①④

解析：解：对于①、函数y=?cos2x的最小正周期是T=2π

2

=π，故①正确；

对于②、终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+π

2

,k∈Z}，故②错误；

对于③、令f(x)=x?sinx，f′(x)=1?cosx≥0，函数为(?∞,+∞)上的增函数，又f(0)=0，∴在同一直角坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③错误；

对于④、函数f(x)=4sin(2x+π

3)=4cos(?π

2

+2x+π

3

)=4cos(2x?π

6

)，故④正确；

对于⑤、函数y=sin(x?π

2

)=?cosx，在[0,π]上是增函数，故⑤错误．

∴正确的命题是①④．

故答案为：①④．

直接求出函数的周期判断①；写出终边在y轴上的集合判断②；构造函数，判断出函数y=sinx的图象和函数y=x的图象的公共点个数判断③；利用诱导公式变形判断④、⑤．

本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，是中档题．

17.答案：解：(1)由A中y=2x，1≤x≤2，得到2≤y≤4，即A={y|2≤y≤4}，

由B中不等式变形得：log3x<1=log33，即0

∴B={x|1

则A∩B={x|2≤x<3}；

(2)∵A∩C=C，∴C?A，

若C是空集，则2t≤t+1，解得：t≤1；

若C非空，则{t+1≥2

2t≤4

t+1<2t

，解得：1

综上所述，t的范围为t≤2．

解析：(1)求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可；

(2)由A与C的交集为C，得到C为A的子集，分C为空集与不为空集两种情况求出t的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

18.答案：解：因为f(x)=(lga)x2+2x+4lga存在最小值3，

所以lga>0，

f(x)min=f(?1

lg?a )=4lg?a?1

lg?a

=3，

即4(lga)2?3lga?1=0，

则lga=1，

所以a=10，

所以(log a5)2+log a2·log a50

=(lg5)2+lg2·lg50=(lg5)2+lg2(lg5+1)

=(lg5)2+lg2lg5+lg2

=lg5(lg2+lg5)+lg2=lg5+lg2=1．

解析：本题考查了二次函数和对数运算，由二次函数性质得f(x)min=f(?1lg?a)=4lg?a?1lg?a=3，得a=10，代入化简(log a5)2+log a2·log a50=(lg5)2+lg2·lg50=(lg5)2+lg2(lg5+1)，计算即可得出结果．

19.答案：解：(1)设?=k1(18?x)2?(10≤x≤15,x∈N?)

?=

k2

1?

10

x

(15≤x≤30,x∈N?)

因为当x=15时，?=9，

带入上述两式可得k1=1，k2=3

所以f (x ){(x ?8)(18?x )2,10≤x ≤15,x ∈N ?

3x (x?8)

x?10

,15≤x ≤30,x ∈N ?

(2)当10≤x ≤15,x ∈N ?时，f (x )=(x ?8)(18?x )2 所以f ′(x )=(x ?18)(3x ?34) 令f ′(x )=0，得x =343

．

列表如下：

因为x ∈N ?，且f (11)=147,?f (12)=144 所以当x =11时，f (x )取最大值147． 当15≤x ≤30,x ∈N ?时，f (x )=3x (x?8)x?10 令t =x ?10，则f (x )=g (t )=3(t+10)(t+2)

t

即g (t )=3(t +

20t

+12) (5≤t ≤20,t ∈N ?)

因为g ′(t )=3(1?20

t 2)>0，g (t )在5≤t ≤20且t ∈N ?上单调递增， 所以当t =20时，g (t )取最大值99，此时x =30 综上，当x =11时，f (x )取最大值147

答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f(x)最大，最大值147万元．

解析：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，同时也考察了利润函数模型的应用，并且考查了用导数法求三次函数在定义域上的最值问题是中档题． (1)求出每件产品的利润，乘以价格得到利润与每件产品的售价x 的函数关系式;

(2)求出利润函数的导函数，由x 得范围得到导函数零点的范围，分类讨论原函数在上的单调性，并求出a 在不同范围内的利润函数的最值．

20.答案：解：(1)定义域为R 的奇函数f(x)，

当x ≥0时，f(x)=(1

2)x ?

x+33

，

当x <0时，?x >0，则f(?x)=(1

2)?x ??x+33

.，

∵f(x)是奇函数， ∴?f(x)=(1

2)?x ?

?x+33

=2x ?3?x 3

，即f(x)=?2x +

3?x 3

，

∴f(x)的解析式为：f(x)={

(12)x

?x+33,x ≥0

?2x +

3?x 3

,x <0

． (2)不等式f(t 2?2t)+f(2t 2?k)<0恒成立， 即f(t 2?2t)

由题意得f(x)是定义域为R 的单调递减的奇函数， ∴t 2?2t >k ?2t 2， 即3t 2?2t >k ，

可得3(t ?1

3)2?1

3>k 对任意的t ∈R ． ∴k

故得实数k 的取值范围是(?∞,?1

3).

解析：本题主要考查了函数奇偶性、单调性、函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，属于一般题．

(1)定义域为R 的单调递减的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)=(1

2)x ?x+33

，即可求解x <0的解析式，

可得f(x)的解析式；

(2)利用单调性和奇偶性脱去“f ”，转化为求解二次不等式恒成立求解实数k 的取值范围．

21.答案：解：(1)因为函数f(x) 定义在[?1,1]上的奇函数，

所以f(?x 2)=?f(x 2) 任取?1≤x 1

f(x 1)?f(x 2)=f(x 1)+f(?x 2)=

f(x 1)+f(?x 2)

x 1?x 2

?(x 1?x 2)

∵?1≤x 1

f(x 1)+f(?x 2)

x 1?x 2

>0，又x 1?x 2<0，

∴f(x 1)?f(x 2)<0，即f(x)在[?1,1]上为增函数； (2)∵f(x)在[?1,1]上为增函数，

故有

由此解得{x|?3

2≤x

2,?1)．

解析：本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性的综合应用和不等式的解法，考查计算能力和转化能力，属中档题．

(1)由单调性定义判断和证明；

(2)由f(x)是奇函数和(1)的结论知f(x)在上[?1,1]是增函数，再利用定义的逆用求解．

22.答案：解：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(?x)=f(x)，

即，

则

，

解得k =?1

2；

=?(4x +1)+(3·2x +a)2 =8·22x +6a ·2x +a 2?1，

令t =2x ,t ∈[1,2]，则有y =m(t)=8t 2+6at +a 2?1

=8(t +38a)2?a 2

8

?1,

当a ≥?8

3时，即?3

8a ≤1时， g(a)=m(1)=a 2+6a +7， 当?3

3时，1

8a <2时，

g(a)=m(?3

8a)=?1?

a 28

．

综上函数在x ∈[0,1]上的最小值

g(a)={a 2+6a +7,a ??8

3,

?18a 2?1,?3

3

.

解析：本题主要考查函数的奇偶性，以及求最小值，属于中档题． (1)由f (?x )=f (x )可得k =?1

2；

(2)换元法求函数的最小值，令t =2x ,t ∈[1,2]，则有y =m(t)=8(t +3

8a)2?

a 28

?1, 对参数a 分

类讨论即可．