2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1、若复数z 满足i iz 21+=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ）

.A )1,2(--.B )1,2(-.C )1,2(.D )1,2(-

2、“2log (23)1x -<”是“48x

>”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3、已知随机变量ξ服从正态分布(1,1)N ，若(3)0.976P ξ<=，则(13)P ξ-<<=（）

A.0.952

B.0.942

C.0.954

D.0.960

4、若数列{}n a 的前n 项和为2

n S kn n =+，且1039,a =则100a =（）

A. 200

B. 199

C. 299

D. 399

5、若(0,

)2π

α∈，若4

cos()65

πα+=，则sin(2)6πα+的值为（ ）

A ．

1237

25- B ．

7324

50

- C ．

2437

50

- D ．

1237

25

+ 6、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ?的顶点(0,4)A 和(0,4)C -，顶点B 在椭圆22

1925

x y +=上，则

sin()

sin sin A C A C

+=+( )

A ．35

B ．45

C ．54

D ．5

3

7、若,x y 满足4,

20,24,

x y x y x y +≤??

-≥??+≥?

则43y z x -=-的取值范围是（）

A.(,4][3,)-∞-?+∞

B. (,2][1,)-∞-?-+∞

C. [2,1]--

D. [4,3]-

8、从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）

A ．432

B ．378

C ．180

D ．362

F

E D 1

C 1

B 1

A 1

D

C B

A

9、已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3

π

个单

位长度后所得的函数过点(,1)6

π

-

，则函数()sin()f x x ω?=+（）

A.在区间[,]63ππ

-上单调递减 B.在区间[,]63ππ

-上单调递增 C.在区间[,]36ππ-

上单调递减 D.在区间[,]36

ππ

-上单调递增 10、在ABC ?中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 的交AD 于点,F 若EF ,AB AC λμ=+则λμ+=( )

A. 16-

B. 16

C. 1

3

- D. 1 11、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，

点F 在棱1CC 上，且12CF FC =，P 是侧面四边形11BCC B 内一点（含边界），

若1A P //平面AEF ，则直线1A P 与面11BCC B 所成角的正弦值的取值范围是（）

A.25529[

,]529 B.313529[,]1329 C.31322[,]133 D.2522[,]53

12、若存在两个正实数,x y ，使得等式2(2)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为()

A.11[,]2e -

B. 2(0,]e

C. 2(,0)[,)e -∞?+∞

D. 11(,)[,)2e

-∞-?+∞

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时,()2x

f x =,则4(lo

g 9)f 的值为__________．

14、已知6

1()x ax

+展开式的常数项是160，则由曲线2y x =和a y x =围成的封闭图形的面积为．

15、若点O 和点(3,0)F -分别是双曲线22

21(0)x y a a

-=>的对称中心和左焦点，点P 为

G

F

E

D

C

B

A 双曲线右支上任意一点，则

2

2

1

PF

OP +的取值范围为________________.

16、定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）当1,12x ??

∈??

??

时，13()|2|22f x x =--；

（2）(2)2()f x f x =．设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大一次为1x ，2x ，…，n x ，…．若

1

(,1)2

a ∈，则122n x x x +++=…．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos ),m x x n x =+=设函数()f x m n =.

（Ⅰ）求函数

()f x 的最小正周期及在(,]62

ππ

-

上的值域； （Ⅱ）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若

()4,4f A b ==，ABC ?的面积为3，求a 的值.

18、（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==，E 是AD 的中点，BE 与AC

交于点F ，GF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；

（Ⅱ）若AF FG =，求二面角E AG B --所成角的余弦值.

19、（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．

（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：

①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差．

附临界值表：

2

K 的观测值：2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=

++++（其中n =a+b+c+d ） 关于商品和服务评价的2×2列联表：

20、（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左顶点为A ，右焦点为2F ，过点2F 作

垂直于x 轴的直线交该椭圆于,M N 两点，直线AM 的斜率为1

2

． （Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；

（Ⅱ）若AMN ?的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，2F MD ?的面积为6

7

，求椭圆Γ的标准方程．

21、(本小题满分12分）已知函数2

1()(1)2

x f x x e ax =--

()a R ∈ ()I 当1a ≤时，求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=

的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围.

22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程

已知直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为2

sin 4cos 0.ρθθ+=

()I 写出曲线M 的直角坐标方程及直线l 的参数方程； ()II 若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值.

2021届四川省成都市石室中学高三上学期期中考试

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． DAADC BABDB BC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

1133-、; 1

143

、; 265153+、(1,]; 16n 、3(2-1).

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、解析：（Ι）

()23sin 222cos f x m n x x =?=++

3sin 2cos 232sin 236x x x π?

?=++=++ ??

?…………………3分

22

T π

π∴=

=………………4分 (,],62x ππ

∈-

72(,],666x πππ

∴+∈- ∴当7266x ππ+=

时，即2

x π

=时,()min 2,f x = 当26

2

x π

π

+

=

时，即6

x π

=

时,

()max 5,f x =

()(,]62

f x x ππ

∴∈-

在上的值域为[2,5].………………6分

（Ⅱ）

()12sin 234,sin 2662f A A A ππ???

?=++=∴+= ? ????

?

1352,2666663A A A π

ππ

πππ??

+

∈∴+=∴= ?

??

…………8分 1

sin 32

ABC S bc A ?==1c ∴=，………10分

2222cos 1313a b c bc A a ∴=+-=∴=………12分

18、解析：(Ι)∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ?∽CBF ?， ∴

2

1

===BC AE BF EF CF AF …1分 又∵矩形ABCD 中，2,1=

=AD AB ，∴3,2

2

==

AC AE 在BEA Rt ?中，2622=

+=

AE AB BE ∴3331==AC AF ，2633

BF BE == 在ABF ?中，222221)3

6

()33(

AB BF AF ==+=+ ∴ 90=∠AFB ，即BE AC ⊥ ……………2分

∵⊥GF 平面ABCD ，?AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥……………3分

又∵F GF BE = ，?GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………4分

(Ⅱ)由（Ι）得FG BE AD ,,两两垂直,以点F 为原点，FG FE FA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则????

??0,0,33A ，???? ??-0,36,0B ，???? ??33,0,0G ，???

?

??0,66,0E ， ???? ??--=0,36,33AB ，???? ??-=33,

0,33AG ， ???? ??-=33,66,0EG ，36,,036AE ??=- ? ???

…………6分 设),,(z y x n =是平面ABG 的法向量，则

????

?=?=?0

n AG n AB ，即???

????=+-=--03

333036

33z x y x ，取2=x ，得)2,1,2(-=n ………8分 设(,,)m x y z =是平面AEG 的法向量，则

00

AE n AG n ??=??

?=??，即3

6

036

33

033

x y x z ?-+=????-+=??

，取1x =，得(1,2,1)m =………10分

x

y

z

设平面AEG 与平面ABG 所成角的大小为θ，则

10

cos 10

m n m n

θ?=

=

………………11分

∵平面AEG 与平面ABG 成钝二面角 ∴二面角E AG B --所成角的余弦值为10

10

-

. ……………. 12分

19、解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

对服务好评 对服务不满意

合计 对商品好评 120 40 160 对商品不满意

20 20 40 合计 140

60

200

…2分

2200(120202040)9.5247.8971406040160

k ??-?=≈>???…4分

故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．….…5分

（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，………6分 X 的取值可以是0,1,2,3．

其中P （X=0）=0.43

=

8125； P （X=1）=C 31?0.6?0.42

=36125；……..7分 P （X=2）=C 32?0.62?0.4=54125； P （X=3）=C 33?0.63

=27125

．……..9分

X 的分布列为： X 0

1

2

3

P 8

125 36125 54125 27125

… 10分

②由于X ～B （3，0.6），则E （X ）=3×0.6=1.8，D （X ）=3×0.4×0.6=0.72…12分．

20、解：（Ι）由题意, 22

(,0),(,),(,)b b A a M c N c a a

--………………1分

2

1

2AM b a c a k c a a -∴===+………………3分

1

2

c e a ∴

==………………4分

(Ⅱ)设椭圆的方程为22

22143x y c c

+=………………5分

AMN ?的外接圆圆心为0(,0)T x ,则2

2

0092()4

c TA TM x c x c =?+=-+ 08

c

x ∴

=-………………6分

34

238

TM

c

k c c ∴

==+

∴过M 的切线方程为:3944

c

y x =-

+………………7分 联立切线与椭圆方程: 2222

221437*********

x y c c x cx c c y x ?+=???-+=??=-+??………………8分

∴ 2

2

111607

M D c c x x ?=>= ∴

117

D c

x =

………………9分 ∴

2213113622777

F MD

c c c S c ?=??-==………………11分 ∴ 2c =

∴椭圆的方程为 22

186

x y +=………………12分 21、解：()I ()()x

x

f x xe ax x e a '=-=-…（1分）

当0a ≤时，0x e a ->，∴(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减

(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增…（2分）

当01a <≤时，令()0f x '=得0ln x x a ==或

(i) 当01a <<时，ln 0a <，故：

(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，

(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；…（4分）

(ii) 当1a =时，ln 0a =，()(1)x

x

f x xe ax x e '=-=-0≥恒成立，

()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无减区间；…（5分）

综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，单调减区间是(,0)-∞；

当01a <<时，()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和，单调减区间是(ln ,0)a ； 当1a =时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. …（6分）

()II 由()I 知()x f x xe ax '=-

当(0,+)x ∈∞时，()y f x '=的图象恒在3

2

(1)y ax x a x =+--的图象上方 即3

2

(1)x

xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立 即210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立…（7分）

记2

()1x g x e ax x =---(0)x >，∴()()21x

g x e ax h x '=--=

()'2x h x e a ∴=-…（8分）

(i) 当12

a ≤

时，()'20x

h x e a =->恒成立，()g x '在(0,)+∞上单调递增， ∴()'(0)0g x g '>=∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=，符合题意；…（10分）

(ii) 当1

2

a >

时，令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时，()'0h x <，∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减 ∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<=∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减，

∴(0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=，不符合题意…（11分）

综上可得a 的取值范围是1

(,]2

-∞. …（12分）

22、解：（Ι）对于C ：由2

sin 4cos 0.ρθθ+=，得2

2

sin 4cos 0.ρθρθ+=，进而得曲线M 的直角坐标方程为：2

4.y x =-；………………2分

直线l 过点(1,0)且倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为1cos ,

sin ,

x t y t αα=+??

=?()t 为参数(4分)

（Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,

sin ,

x t y t αα=+??

=?()t 为参数带入M 的直角坐标方程24,y x =-得：22sin 4cos 40,t t αα?+?+=

①当sin 0α=时，适合题意，此时0;α=（6分） ②当sin 0α≠时，2216cos 16sin 0αα-=，此时3.4

4

π

παα==

或 综上，直线l 的倾斜角的值为0α=或3.4

4

π

π

αα==

或（10分）