数学中考数学压轴题(讲义及答案)含答案

一、中考数学压轴题

1．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ． （1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；

（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．

2．已知抛物线217

22

2

y

x mx m

的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；

（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．

3．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

4．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接

BE ，DE ．

（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；

（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且

DF CD =，求证：12

AB EF =；

（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系

5．已知：如图，二次函数213

222

y x x =-

++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直

线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90?，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．

（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ?的面积最大时点D 的坐标；在DEB ?的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．

（2）在DEB ?的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．

6．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=?．

（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ?的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．

（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ?的面积为8时，求t 的值．

7．如图，直线y ＝

12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣3

2

x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当

3

2

MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．

8．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．

（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °

（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．

②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．

（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．

9．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；

（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若

161A E EC

=，求n

m 的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

10．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．

(1) 依题意补全图形； (2) 求证：EG ⊥AD ；

(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较

()()11a b ++与

9+62之间的大小关系，并证明．

11．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

123BC =，6CD =，63DA =，在四边形内部是否存在点P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 12．已知：如图①，在等腰直角ABC ?中，斜边2AC =．

（1）请你在图①的AC 边上求作一点P ，使得90APB ∠=?；

（2）如图②，在（1）问的条件下，将AC 边沿BC 方向平移，使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ，连接AQ ，BQ ．若平移的距离为1，求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积；

（3）将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ，是否存在这样的m ，使得在直线DE 上有一点M ，满足30AMB ∠=?，且此时四边形ABDE 的面积最大？若存在，求出四边形

ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值；若不存在，请说明理由． 13．已知AM //CN ，点B 为平面内一点，AB ⊥BC 于B ． （1）如图1，直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系；

（2）如图2，过点B 作BD ⊥AM 于点D ，求证：∠ABD =∠C ；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ，若∠FCB +∠NCF =180°，∠BFC =5∠DBE ，求∠EBC 的度数．

14．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）． （1）计算矩形EFGH 的面积；

（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 3

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ，将矩形

1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩

形2212E F G H ，设旋转角为α，求cos α的值．

15．已知抛物线2

y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=?，求点Q 的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在

x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛

物线2

12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．

（1）当//DE AB 时， ①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，

H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．

（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在

x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．

点E 的坐标． 17．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ；②DQ=PQ ．

18．问题提出

（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究

（2）如图2，在等腰ABC 中，AB AC =，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点

C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点,

D

E ，若5,6AB BC ==，求线段BP 的取值范围，并求AD CE +的最大值．

问题解决

（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点

P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨

道，分别为BB '、CC '、DD '．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和(

)

BB CC DD '''

++最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．

19．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和

y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的

速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．

（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；

（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2，AC=4．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC、AD于点E、F．

（1）当α=_____°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意4个点为顶点构造四边形，

①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；

②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．

21．在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一点，点M在CB的延长线上，且

PC PM

=，连接PA．

()1如图①，求证：PA PM

=；

()2如图②，连接,

AM PM与AB交于点,120

PC AM；

O ADC?

∠=求证 =

()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是

22．如图①，在ABC ?中，90C ∠=?，10,8AB BC ==．点,D E 分别是边,AC BC 上的动点，连接DE ．设CD x =（0x >），BE y =，y 与x 之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式； （2）将DCE 沿DE 翻折，得DME ．

①点M 是否可以落在ABC ?的某条角平分线上?如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由；

②直接写出．．．．DME 与ABC ?重叠部分面积的最大值及相应x 的值．

23．已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点E 在BC 延长线上，连接DE ，∠A ＋

∠E ＝180°．

（1）如图1，求证：CD=DE ；

（2）如图2，过点C 作BE 的垂线，交AD 于点F ，请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________；

（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC 的平分线，交CD 于G ，交CF 于H ，连接FG ，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE 的长． 24．（1）探究发现

数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”

经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：

在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，

'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．

因为2y x n =+过点()31，

'--A ， 所以61n -+=-， 所以5n =，

填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为 （2）类比运用

已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式； （3）拓展运用

将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．

25．如图，抛物线2

(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴

交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线

段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存

在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题

1．G

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）GB

13

10 15

．

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的性质可知∠BDC=∠DBA，∠A=90°，再结合已知条件∠BDC+45°=∠BFD，通过角的等量代换可得出∠EBD=45°，又因为∠BED=90°，即可得出结论；

（2）过点K 作 KS⊥BE，垂足为 R，交 AB 于点 S．证明△SRB≌△HRK，得出SB=HK，再证

明△ABF≌△GKS，即可得出结论；

（3）过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线，垂足分别为 Q 和 T，连接 OC．通过证明

△OQD≌△OTC，得出AD=CN=BC，连接ON，证△NOC≌△BOC，得出∠BCO=∠NCO

设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α，由此得出∠MOC=2α，过点 M 作 MW⊥OC，垂足为 W

在 OC 上取一点 L，使 WL=OW，连接 ML，设OM=ML=LC=a，根据勾股定理可求出OM的值,继而求出MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26，再解直角三角形即可．

【详解】

解：（1）如图1，∵矩形 ABCD

∴AB∥CD，∠A=90°

∴∠BDC=∠DBA，BD是⊙O的直径

∴∠BED=90°

∵∠BFD=∠ABF+∠A，∠BFD=∠BDC+45°

∴∠ABF+∠A=∠BDC+45°

即∠ABF+90°=∠DBA+45°

∴∠DBA-∠ABF=45°

∴∠EBD=45°

∴∠EBD=∠EDB

（2）证明：如下图，在图2中，过点K 作 KS⊥BE，垂足为 R，交 AB 于点 S．

∵KG⊥AB

∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°

∴∠SBR=∠HKR

∵∠RBK=∠RKB=45°

∴BR=KR

∵∠SRB=∠HRK=90°

∴△SRB≌△HRK

∴SB=HK

∵SB=BG+SG，HK=BG+AF

∴BG+SG=BG+AF

∴SG=AF

∵∠ABF=∠GKS，∠BAF=∠KGS=90°

∴△ABF≌△GKS

∴AB=KG

（3）如下图，在图3中，过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线，垂足分别为 Q 和 T，连接 OC．∵∠APO=∠CPO

∴OQ=OT

∵OD=OC，∠OQD=∠OTC=90°

∴△OQD≌△OTC

∴DQ=CT

∴AD=CN=BC

∵OC=OC ，ON=OB ∴△NOC ≌△BOC ∴∠BCO=∠NCO 设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α ∴∠MOC=2α

过点 M 作 MW ⊥OC ，垂足为 W 在 OC 上取一点 L ，使 WL=OW ，连接 ML ∴MO=ML

∴∠MOL=∠MLO=2α ∴∠LCM=∠LMC=α ∴ML=CL 设OM=ML=LC=a

则OD=a+8=OC ，∴OL=8，OW=WL=4 ∵OM 2-OW 2=MW 2=MC 2-CW 2 ∴ 24450a a +-=

1a = -（9 舍去），2a = 5

∴OM=5

∴MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26 ∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW ，tan ∠MCW=

13 ∴tan ∠GKB=tan ∠CBD=tan ∠ADB=tan ∠BCO=tan ∠MCW=13

∴CD=GK=AB 13

105

=

在 Rt △GKB 中，tan ∠GKB= 1

3

GB GK = ∴GB 13

1015

=

本题是一道关于圆的综合题目，难度很大，综合性很强，考查了圆周角定理、矩形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形等多个知识点，和三角形,四边形相比，圆这部分知识综合性比较强，与各方面联系比较广，所以一道题往往有多种证明方法，添加辅助线的原则是：一,运用基本图形的性质,补全基本图形，以利证明；二,运用图形转化的思想，将图形中的分散的条件相对集中，产生新的图形，运用基本图形的性质证明． 2．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或4

17k 或

4

17k

时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】 【分析】 （1）从2

17202

2

x mx

m

的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；

（2）根据抛物线的对称轴32b x

a

来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转

化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；

（3）根据平行四边形的性质得到：2

15

|1(3)|42

2

MN k k k

CD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2

1

51(3)42

2

MN k k k

，通过

解该方程可以求得k 的值；

②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)42

2

NM k k

k ，通过解该方程可以求

得k 的值． 【详解】 解：（1）

2

2

17()4(2)(2)32

2

m m m

， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，

2

(2)3

0m ，

∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程217202

2

x mx

m

总有两个不相等的实数

根，

∴无论m 为何实数，抛物线217

22

2

y x mx

m

与x 轴总有两个不同的交点． （2）

抛物线的对称轴为直线3x =，

3

122

m ，即3m =，

此时，抛物线的解析式为22

1513(3)22

2

2

y x x

x ，

∴顶点C 坐标为(3,2)-；

（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，

∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线

的下方），如图所示，

由已知2

15(3,2),(,1),(3)2

2

D M k k N k k k

，， (3,2)C ，

4CD ∴=，

2

1

51(3)42

2

MN

k k k

CD

，

①当四边形CDMN 是平行四边形，

2

1

51(3)42

2

MN

k k k

，

整理得，28150k k -+=，

解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，

2153(1)

42

2

NM

k k

k ，

整理得2810k k ， 解得，12

4

174

17k k ，，

综上，5k =或4

17k

或4

17k

时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行

四边形． 【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

3．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知

m +n =12，得到12

2

a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明． 【详解】

解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ， 又∵029a ≤≤，

∴a 的可能取值为1，2，3，4；

∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ，

当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意， ∴m+n =12，

∴a+m =12?m +2a ，解得：12

2

a m +=

， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8；

当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++

1100()11()a b c d =+++

由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+，

∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，

即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除， ∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

【点睛】

本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．

4．B

解析：（1）93CE =-；（2）详见解析；（3）61

2

BD DE EF =- 【解析】 【分析】

（1）过点B 作BH AC ⊥于点H ，分别求出BH ，BE ，根据勾股定理问题得解； （2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ，先证明

()ACD GFD SAS ??≌，再证明()ECB DGE AAS ??≌，问题得证；

（3）过点D 作AE 的垂线，构造出一个30，60?，90?的三角形和一个等腰直角三角形,借助（2）的结论，设222EF AB AC x ===，2ED y =，通过解两个直角三角形，代

换x 和y 的关系，得出结论． 【详解】

解：（1）如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ， 在等边ABC ?中∵23BC = ∴3AH HC ==，223BH BC CH =-=,

∵点E 在BD 的垂直平分线上，

∴310BE DE == ， 在Rt BHE ?中229EH BE BH =

-=

∴93CE EH HC =-=-

（2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ∵DF CD = ∴FCD CFD ∠=∠ ∴ACD EFD ∠=∠ 在ACD ?和GFD ?中，

DF CD ACD EFD FG AC =??

∠=∠??=?

∴()ACD GFD SAS ??≌ ∴AD DG = ∴60A DGA ∠=∠=? ∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=? 设EBD EDB α∠=∠= ∴120CBE α∠=?- 在ADE ?中

∴18060120AED αα∠=?-?-=?- ∴120AED CBE α∠=∠=?- 在ECB ?和DGE ?中

120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠??

∠=∠=???=?

∴()ECB DGE AAS ??≌ ∴BC GE =

∴AB AC BC GE FG ====

1

2

AB EF =

（3）如图，设222EF AB AC x ===，DP=y ， 过点DP ⊥AE ，垂足为P ， ∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED AED =

==∠?，23sin sin 603

DP y AD A ===

∠?，

∴2

=

y DE , ∴BD=AD-AB =

2323

2161

22

y x DE EF DE EF -=-=-， 故答案为：61

2

BD DE EF =

-． 【点睛】

本题涉及知识点较多，设计新颖，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造直角三角形或构造全等是解题关键．

5．D

解析：（1）D 点坐标为()2,3，矩形MONC 的最小值为64

5

；（2）交点坐标为（1393132+），（31393132-），（1515

2

-），（515

+）． 【解析】 【分析】

（1）当△DEB 的面积最大时，直线DN 与抛物线相切，可求出直线DN 的解析式和点D 的坐标，当矩形面积最小时，MG 最小，求出MG 的最小值即可．

（2）分两种情况讨论，以DB 为边和以DB 为对角线，分别求出此时ON 的解析式，联立求出交点坐标即可． 【详解】

解：（1）如图1所示，过点D 作y 轴的平行线交MB 于点H ，过点O 作OQ 垂直MB 于点Q ，