高三数学试卷(文科)精选
高三数学试卷(文科)
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e]B．（0，e）C．（e，+∞）D．[e，+∞）
2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，）
4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（）
A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）
A．19 B．20 C．21 D．22
6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）
7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）
A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106
8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）
A．B．C．D．
9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）
A．B．C．2 D．3
10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）
A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为．
12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．
13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为．
14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为．
15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）
=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．
17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分
析，所得学生的及格情况统计如表：
物理及格物理不及格合计
数学及格28836
数学不及格162036
合计442872
（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．
附：x2=．
0.1500.1000.0500.010
P（X2≥
k）
k 2.072 2.706 3.841 6.635
18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．
（1）求证：PA⊥平面CMN；
（2）求证：AM∥平面PBC．
19．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．
20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．
21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（1，）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（x Q，y Q）（点Q异于点P），若0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；
（3）若以点P为圆心作n个圆P i（i=1，2，…，n），设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i（M i、N i皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．
2018年高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e]B．（0，e）C．（e，+∞）D．[e，+∞）
【分析】先求出集合A，由此能求出C U A．
【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}，
函数f（x）=的定义域为A，
∴A={x|x＞e}，
∴?U A={x|0＜x≤e}=（0，e]．
故选：A．
【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．
2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z===﹣i﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，）
【分析】与反方向的单位向量=﹣，即可得出．
【解答】解：=（3，4）．
∴与反方向的单位向量=﹣=﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（）
A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m
【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．
【解答】解：m=0.52=，n=20.5=＞1，p=log20.5=﹣1，
则n＞m＞p．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）
A．19 B．20 C．21 D．22
【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是
计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可．
【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，
该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，
由S=≥210，解得n≥20，
∴输出n的值为20．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．
6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．
【解答】解：q：（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．
又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，则实数k＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（）
A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106
【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．
【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，
则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，
故选：D．
【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．
8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．
【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．
∴函数y=sin（x+φ）．
当x=π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin（+φ）=±1，
可得：φ=．
∴φ=kπ，k∈Z．
当k=1时，可得φ=．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题．
9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）
A．B．C．2 D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到定点（﹣1，﹣1）的斜率，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），z=
的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，﹣1）的斜率，
由图象知可知PA的斜率最大，
由，得A（1，3），
则z==2，
即z的最大值为2，
故选：C．
【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（）
A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣
【分析】作出f（x）的图象和g（x）的图象，它们恰有一个交点，求出g（x）的恒过定点坐标，数形结合可得答案．
【解答】解：函数f（x）=与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，﹣2），
而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1﹣a，0）．
从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点，
当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点．当g（x）过（1，﹣2）时，可得a=，恒过定点坐标为（，0），往右走图象只有一个交点．∴a＞1或a≤﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．
【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于（4，0）、（0，4）两点，
即A、B的坐标为（4，0）、（0，4），
经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，
而△AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，
则有2r=|AB|=4，即r=2，
圆心坐标为（2，2），
其该圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．
【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．
12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．
【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．
∴该几何体的体积V==．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为4．
【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．
【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．
又x≥0，∴0≤x＜2．
∴满足0≤x＜2的概率为，得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题．
14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为2．
【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则=，解得实数a的值．
【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，
则丨MF丨=d=1+=5，则p=8，
所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；
又双曲线的左顶点为A（﹣a，0），渐近线为y=±，
直线AM的斜率k==，由=，解得a=3．
∴a的值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．
15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）
=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是
[，] ．
【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g（x）和偶函数f（x）的表达式，将等式af（x）+g （2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．
【解答】解：解：∵g（x）为定义在R上的奇函数，f（x）为定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），
又∵由f（x）+g（x）=2x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=2﹣x，
∴f（x）=（2x+2﹣x），g（x）=（2x﹣2﹣x）．
等式af（x）+g（2x）=0，化简为（2x+2﹣x）+（22x﹣2﹣2x）=0．
∴a=2﹣x﹣2x
∵x∈[1，2]，∴≤2x﹣2﹣x≤，
则实数a的取值范围是[﹣，﹣]，
故答案为：[﹣，﹣]．
【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g（）=，sinB=cosA，求b的值．
【分析】（1）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（2）运用图象变换，可得g（x）的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），
函数f（x）=（+）?=（sinx+cosx，）?（sinx，﹣1）
=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣（1﹣2sin2x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即有函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）由题意可得g（x）=sin（2（x+）﹣）=sin2x，
g（）=sinA=，
即sinA=，cosA=±=±，
在△ABC中，sinB=cosA＞0，
可得sinB=，
由正弦定理=，
可得b===3．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．
17．（12分）某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分
析，所得学生的及格情况统计如表：
物理及格物理不及格合计
数学及格28836
数学不及格162036
合计442872
（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
（2）从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．
附：x2=．
0.1500.1000.0500.010
P（X2≥
k）
k 2.072 2.706 3.841 6.635
【分析】（1）根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；
（2）分别计算选取的数学及格与不及格的人数，
用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算X2==≈8.416＞6.635，
因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
（2）选取的数学及格的人数为7×=2人，
选取的数学不及格的人数为7×=5人，设数学及格的学生为A、B，
不及格的学生为c、d、e、f、g，则基本事件为：
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、
cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，
其中满足条件的是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，
故所求的概率为P=．
【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．
（1）求证：PA⊥平面CMN；
（2）求证：AM∥平面PBC．
【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN ⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．
（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．
【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，
∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，
∵PC⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PC⊥AD，
又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，
∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，
又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，
∵MN∩CN=N，MN?平面CMN，CM?平面CMN，
∴PA⊥平面CMN．
解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，
∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，
又∵PC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC，
∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．
∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，
∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，
∵AQ?平面PBC，BC?平面PBC，∴AQ∥平面PBC，
∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，
∵AM?平面AMQ，∴AM∥平面PBC．
【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．
19．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）数列{c n}满足c n=b n+（﹣1）n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
可得2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d，q．即可得出．．
（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n?2n．可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣
1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]．对n分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．
∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
∴2+d=q2，3×2+=6q，
联立解得d=q=2．
∴a n=2+2（n﹣1）=2n，b n=2n﹣1．
（2）c n=b n+（﹣1）n a n=2n﹣1+（﹣1）n?2n．
∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]=+[﹣2+4﹣
6+8+…+（﹣1）n?2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n?2n]．
∴n为偶数时，T n=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．
=2n﹣1+n．
n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．
=2n﹣2﹣n．
∴T n=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．
【分析】（1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；
（2）问题可转换为（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax＞0恒成立，构造函数G（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，通过二次求导，得出结论．
【解答】解：（1）g（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，
g'（x）=xe x﹣a﹣1，g''（x）=e x（x+1）＞0，
∵f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，
∴g'（0）=﹣a﹣1＜0，g'（1）=e﹣a﹣1＞0，
∴﹣a＜a＜e﹣1；
（2）当a≤﹣1时，f（x）＜0，
∴（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax＞0恒成立，
令G（x）=（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax，
G'（x）=xe x﹣a﹣1，G''（x）=e x（x+1）＞0，
∴G'（x）在（0，1）单调递增，
∴G'（x）≥G'（0）=﹣a﹣1≥0，
∴G（x）在（0，1）单调递增，
∴G（x）≥G（0）=0，
∴（x﹣1）（e x﹣1）﹣ax≥0，
∴当a≤﹣1时，f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．
【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．
21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（1，）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q（x Q，y Q）（点Q异于点P），若0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；
（3）若以点P为圆心作n个圆P i（i=1，2，…，n），设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线
PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i（M i、N i皆异于点P），证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【分析】（1）根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x Q，由0＜x Q＜1，即可求得k
的取值范围；
（3）由题意可知：故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得x i，x i′，根据直线的斜率公式，即可求得=，==…=，则M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，
将P（1，）代入椭圆方程：，解得：b2=1，则a2=4，
∴椭圆的标准方程：；
（2）设直线l的方程y﹣=k（x﹣1），
则，消去y，整理得：（1+4k2）x2+（4k﹣8k2）x+（4k2﹣4k﹣1）=0，
由x0?1=，由0＜x0＜1，则0＜＜1，
解得：﹣＜k＜，或k＞，经验证，满足题意，
直线l斜率k的取值范围（﹣，）∪（，+∞）；
（3）动圆P的半径为PA i，PB i，故PA i=PB i，△PA i B i为等腰三角形，故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，设PA i的斜率k i，则直线PB i的斜率为﹣k i，
设直线PA i的方程：y﹣=k i（x﹣1），则直线PB i的方程：y﹣=﹣k i（x﹣1），
，消去y，整理得：（1+4k i2）x2+（4k i﹣8k i2）x+（4k i2﹣4k i﹣1）=0，设M i（x i，y i），N i
（x i′，y i′），
则x i?1=，则x i=，
将﹣k i代替k i，则x i′=，
则x i+x i′=，x i﹣x i′=﹣，y i﹣y i′=k i（x i﹣1）++k i（x i﹣1）﹣=k i（x i+x i′）﹣2k i，
=k i×﹣2k i，
=，
则==，
故==…=，
∴M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．